Решение:

• Решаваме системата чрез събиране:
  • Намираме x:
  • Намираме y:
    от уравнението 2x + y = 9 2.4 + y = 9 y = 1.
  • Решенията на дадената система са (4; 1).
• Верен отговор В).

Решение:

• Решаваме системата чрез събиране:
• Верен отговор Г).

Решение:

• Решаваме системата чрез събиране:
  + 0.x = 0 x.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Решаваме системата чрез заместване:
  • Намираме x от първото уравнение:
    x² + 2x – 3 = 0, x₁ = –3, x₂ = 1.
  • Заместваме във второто уравнение:

    При x₁ = –3 (–3)² + y² – 3y = 3 y² – 3y + 6 = 0, D = 9 – 24 = –15 < 0, т.е. НР.

    При x₂ = 1 1² + y² – 3y = 3 y² + y – 2 = 0, y₁ = –2, y₂ = 1.

  • Решенията на дадената система са (1; 1) и (1; –2).
• Верен отговор Б).

Решение:

• Решаваме системата чрез заместване:
  • Намираме y:
    + y² + 2(y – 1) = 13 y² + 2y – 15 = 0, y₁ = –5, y₂ = 3.
  • Заместваме в x² = y – 1:

    При y₁ = –5 x² = –5 – 1 x² = –6, т.е. НР.

    При y₂ = 3 x² = 3 – 1 = 2 x² = 2 x = ± .

  • Решенията на дадената система са (–; 3) и (; 3).
• Верен отговор В).

Решение:

• От даденото и Теорема 1 за аритметична прогресия съставяме система:
  + 5d = –10 d = –2.
• Верен отговор А).

Решение:

• От даденото и Теорема 1 за аритметична прогресия съставяме система:
• Верен отговор Б).

Решение:

• От Свойство 2 на аритметична прогресия следва, че:
  a₃ + a₁₉ = a₇ + a₁₅ = a₅ + a₁₇ = x, защото 3 + 19 = 7 + 15 = 5 + 17 = 12, т.е. членовете от прогресията с тези номера са раноотдалечени.
• От даденото следва:
  a₅ + a₇ + a₁₅ + a₁₇ = x + x = 2x = 38 x = 19, т.е. a₃ + a₁₉ = 19.
• Верен отговор Д).

Решение:

• От Теорема за общ член на геометрична прогресия намираме a₁ и q:
• От Теорема за сумата на първите n члена на геометрична прогресия намираме S₆:
  S₆ = a₁. = 728.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме a₁ и a₂ като разгледаме случаите:
  • При n = 1 от условието намираме S₁ = 6.1² – 5.1 = 1. Понеже в сумата участва само един член, то a₁ = S₁ = 1.
  • При n = 2 от условието намираме S₂ = 6.2² – 5.2 = 14, но S₂ = a₁ + a₂ = 14 1 + a₂ = 14 a₂ = 13.
• Намираме d:d = a₂ – a₁ = 13 – 1 = 12.
• Намираме a₃ от Теорема за общ член на аритметична прогресия:
  a₃ = a₁ + 2d = 1 + 2.12 = 25.
• Верен отговор А).

Решение:

• Решаваме системата:
  x [–5; 1] {5}.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Решаваме системата чрез събиране:
  + 0.x = 2a.
• Това линейно уравнение е от вида (3) и има решение всяко х, когато a = 0.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Решаваме системата чрез събиране:
  + –2ay – y = 0 | . (–1) 2ay + y = 0 (2a + 1)y = 0.
• Решаваме параметричното уравнение:

  I случай: При 2a + 1 ≠ 0 a ≠ – решенията са y = = 0.

  II случай: При 2a + 1 = 0 a = – решенията са 0.y = 0, т.е. y.

• Извод:
  • При a ≠ – решенията са y = 0.
  • При a = – решенията са y.
• Верен отговор Д), защото няма стойност на a, при която уравнението да няма решение.

Решение:

• За a₂, a₃, a₄ и a₅ използваме Теорема за общ член на аритметична прогресия и съставяме системата:
• Верен отговор Д).

Решение:

• За S₁₆, и a₁₆ използваме Теорема за сумата на първите n члена и Теорема за общ член на аритметична прогресия и съставяме системата:
• Верен отговор A).

Решение:

• От Свойството за равната отдалеченост на членовете на аритметична прогресия следва, че:
  a₄ + a₂₀ = a₉ + a₁₅ = a₅ + a₁₉ = x x + x = 40 x = 20, т.е. a₅ + a₁₉ = 20.
• Верен отговор Г).

Решение:

• За a₂, a₃, a₄ и a₅ използваме Теорема за общ член на геометрична прогресия и съставяме системата:
• Верен отговор В).

Решение:

• За лявата страна на даденото уравнени използваме Теорема за общ член на геометрична прогресия:
  a₄ a₈ = 49 a₁ q³ a₁ q⁷ = 49 a₁² q¹⁰ = 49 (a₁ q⁵)² = 49 (a₆)² = 7² a₆ = ±7.
• По условие a₁ и q са отрицателни затова a₆ = 7.
• Верен отговор Г).

Решение:

• От Свойство за три поредни члена на геометрична прогресия следва, че:
  a₂² = a₁ . a₃ (x²)² = 1 . (x² + 2) x⁴ – x² – 2 = 0.
• Решаваме биквадратното уравнение:
  • Полагаме x² = y ≥ 0.
  • Решаваме квадратното уравнение:
    y² – y – 2 = 0, y₁ = –1 ∉ ДМ_y, y₂ = 2.
  • От полагането следва, че:
    x² = 2 x = ± .
• Получаваме дадените членове на геометричната прогресия:
  a₁ = 1, a₂ = x² = = 2, a₃ = x² + 2 = + 2 = 4.
• Намираме частното на геометричната прогресия:
  q = = 2.
• Верен отговор В).

Решение: