Системи. Прогресии. Редици

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Системи. Редици. Аритметична прогресия. Геометрична прогресия

Съдържание на темата:

Системи уравнения от първа степен с две неизвестни.
Системи уравнение от втора степен с две неизвестни.
Решаване на Системи уравнение от втора степен с две неизвестни.
Редици.
Видове редици.
Начини за задаване на редици.
Монотонност на редица.
Ограничена редица.
Аритметична прогресия.
Геометрична прогресия.
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

I. Системи уравнения от първа степен с две неизвестни

Най-често системи от този вид се решават по два начина:

Чрез заместване
Правило за решаване
- от едното уравнение се изразява едното неизвестно;
- заместваме в другото уравнение и го решаваме;
- намерената стойност на неизвестното се замества в израза получен от първата стъпка.
Например:
Чрез събиране
Правило за решаване
- умножаваме едното уравнение (или двете уравнения) с подходящо число (най–често това са коефициентите пред неизвестното, което искаме да съкратим, но с обратен знак) така, че след събирането им едното неизвестно да се съкрати;
- събираме двете уравнения и решаваме полученото уравнение;
- полученото неизвестно се замества в едно от уравненията на сис-темата.
Например:

II. Системи уравнение от втора степен с две неизвестни

Т₁ – При замяна на кое да е уравнение от една система с еквивалентно уравнение се получава еквивалентна система.

Например:

Т₂ – Ако едното уравнение в дадена система S е еквивалентно на две уравнения, то дадената система S е еквивалентна на две системи S₁ и S₂, във всяка от които едното уравнение е заменено с едното еквивалентно уравнение, а другото остава същото.

Например

Преобразуваме системата
Първото уравнение се разпада на две уравнения, затова получаваме две нови системи:
и
Те се решават по описаните по-долу начини.

III. Решаване на Системи уравнение от втора степен с две неизвестни

В математиката универсален начин за решаване на системи от този вид не са познати. Възможно е да се използват подходящи методи за решаване на определени групи системи. Тези групи са следните:

Ако едното уравнение в системата е от първа степен, а другото е от втора или по-висока степен – От уравнението от първа степен изразяваме едното неизвестно и го заместваме във второто уравнение. След решаването му намираме стойностите на второто неизвестно.

Например:

(–y)² + y² = 7 2y² = 7 y_1/2 = ±; x_1/2 = ±.
Ако неизвестните в системата участват чрез едни и същи симетрични изрази. Най-често тези изрази са: x + y; x.y; x – y; x² – y²; ; и т.н. Тези изрази се полагат като нови неизвестни и най-напред се решава получената за тях система.
Решена Зад.№1
Ако неизвестните участващи в уравненията са само от втора степен: Чрез подходящи преобразувания от двете уравнения получаваме уравнение от първа степен, което заедно с едното уравнение на дадената система образуват еквивалентна система.
Решена Зад.№2
Системи, в които едното уравнение е хомогенно, а другото е произволна функция, т.е. система от вида
(1):
където a≠0, b≠0, c≠0, са произволни числа, а f(x,y) е произволна функция.
Степен на едночлен – Степен на едночлен се намира като съберем степените на неизвестните.
Например:
Едночлена 3xy е от втора степен, а едночлена x²y е от трета степен.

Определение за хомогенна функция – Многочлен, в който всички едночлени са от една и съща степен, се нарича хомогенен многочлен (хомогенна функция).
Например:
Функцията x²+xy+y² е хомогенна, защото всички едночлени са от втора степен.
Функцията x³+2x²y+y³ е хомогенна, защото всички едночлени са от трета степен.

Определение за хомогенно уравнение – Уравнение, лявата страна на което е хомогенна функция, а дясната е равна на нула, се нарича хомогенно уравнение.
Например:
Уравнението x²–2xy+3y²=0 е хомогенно от втора степен, а уравнението x³–3x²y–3xy²–y³=0 е хомогенно от трета степен, но уравнението x²–2xy+3y=0 не е хомогенно, защото третият едночлен не е от втора степен.
Пресмятаме f(0,0), т.е. допускаме, че y=0, заместваме във второто уравнение и ако получим, че и x=0, то x=0 и y=0 са решения на дадената система. Ако получим, че x≠0, то x и y не може едновременно да са нули т.е x≠0 или y≠0

Разделяме хомогенното уравнение на y² (или x²) и получаваме: a + b + c = 0. Полагаме = z и получаваме квадратно уравнение спрямо z т.е. az²+bz+c=0. Нека z₁ и z₂ са корените му. Тогава система (1) се разпада на следните две системи: и
Решенията им са решения и на дадената система.
Решена Зад.№3
Системи уравнения, при които и в двете уравнения левите страни са хомогенни функции, а десните има числа са различни от нула, се решават, като въведем ново неизвестно, което е равно на отношението между двете неизвестни в системата.
Решена Зад.№4
Системи уравнения съдържащи параметър.
Решена Зад.№5

IV. Редици

Нека да имаме естествените числа 1, 2, ..., n и на всяко от тях да съпоставим произведението му с числото 3. Така получаваме следната редица от числа 3, 6, 9, ..., 3n. т.е.

Членовете на редицата се отбелязват по следния начин: първият член с a₁, вторият член – a₂ и т.н. до n–тият член – a_n. Числото а_n се нарича общ (n–ти) член на редицата. В горния пример общия член е зададен с помощта на формулата a_n = 3n. Ако една редица е зададена с формулата за общия си член, може да запишем редицата {a_n} или в горния пример {3n}.

V. Видове редици:

Крайни – когато се знае последният им член;
Безкрайни – за която не се знае последният член.

VI. Начини за задаване на редици

Аналитично – Чрез формулата за общия си член.

Например:

Ако имаме a_n = , редицата е 2; ; ; ...; .
Словесно (описателно)

Например:

На естествените числа съпоставяме простите числа 2, 3, 5, ... .
С рекурентна зависимост – Задава се първият член a₁ и връзката между два съседни члена на редицата (т.е. задава се първият член и правилото за получаване на всеки следващ).

Например:

Ако a₁ = 1 и a_n = a_n–1 + n, редицата е 1, 3, 6, 10, ... .

VII. Монотонност на редица

Растяща редица – Една редица е растяща (строго растяща), когато всеки неин член след първия е по–голям или равен на предходния, т.е. a_n+1≥a_n. (за строго растяща редица имаме a_n+1>a_n).
Намаляваща редица – Една редица е намаляваща (строго намаляваща), когато всеки неин член след първия е по–малък или равен на предходния, т.е. a_n+1≤a_n. (за строго намаляваща редица имаме a_n+1<a_n).

O – Всяка растяща или намаляваща редица се нарича монотонна.

От горните определения следва, че за да се докаже монотонността на редица достатъчно е да се изследва знака на разликата a_n – a_n–1.
Ако тя е положителна – редицата е растяща, ако е отрицателна – редицата е намаляваща.
В някои случаи е по–удобно да определим монотонност на редица като делим два съседни члена, т.е. образуваме частното и ако то е по-голямо от 1, редицата е растяща, ако е по-малко от 1 редицата е намаляваща.

Бележка:

За да определим редицата от кой вид е може да използваме и следното правило: Една редица е намаляваща (строго намаляваща), когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния, т.е. a_n+1 ≤ a_n. (за строго намаляваща редица имаме a_n+1 < a_n).

VIII. Ограничена редица

Редицата е ограничена отгоре, ако съществува число ε, за което имаме изпълнено a_n ≤ ε, за всяко n.
Редицата е ограничена отдолу, ако съществува число ε, за което имаме изпълнено a_n≥ε за всяко n.

IX. Аритметична прогресия

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава като към предходния му се прибавя едно и също число d (което число се нарича разлика на аритметичната прогресия), т.е. a_n = a_n–1 + d или d = a_n – a_n–1.

Т₁ (за общия член): Ако имаме аритметична прогресия с първи член a₁ и разлика d, то за всеки член е в сила равенството: a_n = a₁ + (n – 1)d.

Т₂ (за сумата на първите n члена): Нека да имаме аритметичната прогресия a₁, a₂, ..., a_n, с разлика d, то сумата S_n на членовете ѝ е S_n = .n или S_n = .n.

Св₁: За три последователни члена на аритметичната прогресия е в сила равенството:
a_k = , т.е. всеки член без първия е средно аритметично на съседните му два члена.

Св₂: За коя да е аритметична прогресия са в сила равенствата:
a₁ + a_n = a₂ + a_n–1 = ... = a_k + a_n–k+1, т.е. сумата на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равно на сумата на двата крайни члена.

Бележка:

От определението следва, че при d > 0 аритметичната прогресия е растяща, а при d < 0 – намаляваща.

X. Геометрична прогресия

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава като предходният му се умножи с едно и също число q (което число се нарича частно на геометричната прогресия), т.е. b_n = b_n–1.q или q = , ако b_n–1 ≠ 0.

Т₁ (за общият член): Ако имаме геометрична прогресия с първи член b₁ и разлика q, то за всеки член е в сила равенството: b_n = b₁.q^n–1.

Т₂ (за сумата на първите n члена): Нека да имаме геометрична прогресия b₁, b₂, ..., b_n, с частно q, то сумата S_n на членовете ѝ е S_n = b₁. или S_n = .

Св₁: За три последователни члена на геометрична прогресия е в сила равенството: b_k²=b_k+1.b_k–1, т.е. всеки член без първия е средно геометрично на съседните му два члена.

Св₂: За коя да е геометрична прогресия са в сила равенствата:
b₁.b_n = b₂.b_n–1 = ... = b_k.b_n–k+1, т.е. произведението на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равно на произведението на двата крайни члена.

Бележка:

От определението следва, че при q > 1 геометричната прогресия е растяща, при 0 < q < 1 – намаляваща, а при q < 0 – нито растяща нито намаляваща. Ако q = 1 – всички членове са равни, ако q = 0 и b₁ ≠ 0 – всички членове след първия са равни на нула (например: 4, 0, 0, ...,), ако q = – 1 – прогресията се състои от една двойка противоположни числа (например: –2, 2, –2, 2, ...,).
Геометрични прогресии с q = 0 и q = ± 1 не представляват интерес и затова полагаме, че
q ≠ 0 и q ≠ ± 1.

XI. Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Нека да имаме безкрайната геометрична прогресия b₁, b₂, ..., b_n ... с частно q и сума на първите n члена, която се определя от формулата S_n = b₁. (Теорема 2).

О₁ – Безкрайна геометрична прогресия, за която |q| < 1, се нарича безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

О₂ – Границата S_n (ако съществува) на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, се нарича сума на безкрайната прогресия.

Т – Сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първи член b₁ и частно |q| < 1 е S = .

Решена Зад.№13

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура