Квадратни неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Квадратни неравенства. Дробни (рационални) неравенства

Съдържание на темата:

Определение за квадратно неравенство.
Начини за решаване на квадратни неравенства.
Неравенства от вида (ax + b)(cx + d) ≥ 0 или (ax + b)(cx + d) ≤ 0.
Дробни неравенства.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

I. Определение за квадратно неравенство

O – Неравенство от вида:
(1): ax² + bx + c > 0,
се нарича квадратно.

II. Начини за решаване:

Графичен начин
1. Намираме корените на квадратния тричлен. Например те да са x₁ и x₂, като x₁ < x₂.
2. Решенията на неравенството определяме от следната таблица:
  
  Таблица № 1 може да приложим и за неравенството ax² + bx +c < 0, ако умножим двете му страни с “– 1”.
  Бележка:
  За да не умножаваме всеки път с “– 1”, можем да определим знака на a по следния начин:
  - a > 0, ако знакът пред x² и знакът на неравенството съвпадат;
  - a < 0, ако знакът пред x² и знакът на неравенството са различни.
Метод на интервалите
1. Намираме корените на квадратния тричлен. Например те да са x₁ и x₂, като x₁ < x₂ и го разлагаме на множители.
2. Нанасяме тези корени върху числовата ос, т.е. накъсваме ДМ. на подинтервали;
3. Определяме знака на най-десния интервал, като преброим колко минуса има пред неизвестното, и ако те са четен брой, записваме „+”, ако те са нечетен брой – записваме „–”;
4. Определяме знаците на следващите подинтервали, редувайки ги алтернативно отдясно наляво;
5. Решенията на неравенството са тези интервали, които отговарят на знака на неравенството.
  Методът на интервалите трябва да се прилага много внимателно в случаите:
  
  когато числото е на квадрат (или е на четна степен);
  
  когато след нулирането корените се повтарят;
  
  когато след нулирането уравнението няма решение.
  
  Бележка:
  
  В частните случаи на метода на интервалите, в стъпка 2, при накъсване на ДМ на подинтервали, числото идващо от частните случаи не се включва в подинтервалите.
  
  Виж Зад.2 и Зад.3
Използване на таблица
1. Намираме корените на квадратния тричлен. Например те да са x₁ и x₂, като x₁ < x₂ и го разлагаме на множители.
2. Нанасяме тези корени върху числовата ос, т.е. накъсваме ДМ. на подинтервали;
3. Всеки множител го нанасяме на отделен ред от таблицата и определяме знака му в дадения подинтервал.
4. Последния ред попълваме, като използваме данните от предходните редове.

III. Неравенства от вида

(2): (ax + b)(cx + d) ≥ 0 или (ax + b)(cx + d) ≤ 0

Решаване чрез системи
- Ако имаме неравенството (ax + b)(cx + d) ≥ 0, то решаваме системите:
  (3):
- Ако имаме неравенството (ax + b)(cx + d) ≤ 0, то решаваме системите:
  (4):
Метод на интервалите
1. Нулираме всяка от скобите и намираме корените на получените уравнения.
2. Нанасяме тези корени върху числовата ос, т.е. накъсваме ДМ. на подинтервали;
3. Определяме знака на най-десния интервал, като преброим колко минуса има пред неизвестното, и ако те са четен брой, записваме „+”, ако те са нечетен брой – записваме „–”;
4. Определяме знаците на следващите подинтервали, редувайки ги алтернативно отдясно наляво;
5. Решенията на неравенството са тези интервали, които отговарят на знака на неравенството.
Бележка:
И тук може да имаме частни случаи. Тогава прилагаме методите описани по-горе.

IV. Дробни (рационални) неравенства

Неравенства от вида

(5): ≥ 0.

Начини за решаване

Определяме ДМ: Една дроб има смисъл, когато знаменателят ѝ е различен от 0, т.е. ДМ: G (x) ≠ 0.
Преобразуваме неравенството (без да привеждаме двете му страни под общ знаменател) до основното неравенство (5).
Разлагаме F(x) и G(x) на множители.
Бележка:
Неравенство (5) може да се запише във вида:
(6): F(x).G(x) ≥ 0,
ако G(x) ≠ 0. Затова неравенства (5) и (6) са напълно еквивалентни, само когато G(x) ≠ 0.
Прилагаме Методa на интервалите или решаваме чрез таблица.
Бележки:
1. Може да не търсим ДМ, ако при накъсването на числовата ос на подинтервали отчетем, че знаменателят на дробта не може да е 0.
2. Ако в (5) знаем, че G(x) > 0 за всяко x, то може да се освободим от знаменателя, като приведем под общ знаменател двете страни на неравенството.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура