Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия
Призма
Съдържание на темата:
I. Определение и елементи II. Видове призми III. Сечения на призма с равнина IV. Повърхнина и обем на призма V. Призма и сфера
Теория
I. Определение и елементи
(1): Тяло ограничено от два еднакви n – ъгълника лежащи в успоредни равнини, а останалите му стени са успоредници (Фиг. 1).
- Долна и горна основа – успоредните многоъгълници ABCDE и A1B1C1D1E1.
- Околни стени – успоредниците ABB1A1 и т.н..
- Основни ръбове – всички страни на долната и горната основа. Например: AB, A1B1 и т.н..
- Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове).
Например: AA1, BB1 и т.н.. - Височина – перпендикуляр спуснат от точка на едната основа до равнината на другата основа. Например, C1O = h.
- Диагонал – Отсечка, която свързва два върха на призмата нележащи в една и съща стена. Например, EB1 = d.
II. Видове призми
O – Призма, на която основите са триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, призмата на Фиг. 1 е петоъгълна.
O – Призма, на която околните ръбове са перпендикулярни на основата (Фиг. 2).
(2): Височината на правата призма е равна на нейния околен ръб, т.е. h = CC1.
(3): Околните стени на правата призма са правоъгълници.
- Правилен многоъгълник – многоъгълник, на който всички страни и всички ъгли са равни. Например, на Фиг. 3 ABCDE е правилен, защото AB = BC = CD = DE = EA = b.
- Правилна права призма – Права призма с основи правилни многоъгълници (Фиг. 3).
O – Призма, на която основите са успоредници. (Фиг. 4).
- Всички стени на паралелепипеда са успоредници.
- Елементи на паралелепипеда (Фиг. 4):
- измерения на паралелепипеда – дължина a, ширина b, околен ръб c и височина h.
- диагонали – d1 = AC1, d2 = BD1, d3 = CA1 и d4 = DB1.
(4): Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разполовяват от нея.
(5): d12 + d22 + d32 + d42 = 4(a2 + b2 + c2).
- Видове паралелепипеди:
- прав паралелепипед – права призма, на която основите са успоредници. Околните стени на правия паралелепипед са правоъгълници, т.е. околните ръбове са перпендикулярни на основите.
- правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5) – Права призма, на която всички стени са правоъгълници.
- свойства на правоъгълен паралелепипед:
(6): Височината на правоъгълния паралелепипед съвпада с околния ръб, т.е. h = c = AA1 = BB1 = CC1 = DD1.
(7): Четирите му диагонала са равни, т.е. d = AC1 = BD1 = CA1 = DB1.
(8): В сила е твърдение (4), а твърдение (5) се записва с формулата
d2 = a2 + b2 + c2.
O – Призма, на която всички околни стени и основи са квадрати, т.е. всички ръбове (основни и околни) са рани. Например, на a.
(9): За диагонал на куб е в сила равенството d2 = 3a2 или d = a.
III. Сечения на призма с равнина
O – Сечение на призма с равнината, която минава през два несъседни околни ръба. На Фиг. 6 успоредника ACC1A1 е диагонално сечение на четириъгълна призма с равнина.
(10): Всички диагонални сечения на правоъгълния паралелепипед са еднакви правоъгълници.
O – Сечение на призма с равнината, успоредна на основата. На Фиг. 7 успоредника MNPQ е успоредно сечение на четириъгълна призма с равнина.
O – Сечение на призма с равнина, перпендикулярна на околните ръбове на призмата. На Фиг. 8 успоредника MNPQ е перпендикулярно сечение на четириъгълна призма с равнина.
IV. Повърхнина и обем на призма
Лицето на околната повърхнина S на призма е равно на сумата от лицата на околните стени.
(11): За права призма е в сила формулата S = P.h, където P e периметъра на основата, а h – дължината на височината на призмата.
(12): За правилна права призма е в сила формулата S = n.b.h, където n е броят на страните на основата, b – дължината на основният ръб, а h – дължината на височината на призмата.
- Лицето на пълната повърхнина S1 на призма е равно на сумата от лицето на околната повърхнина S и лицата на двете основа B на призмата, т.е.:
(13): S1 = S + 2B.
- Лице на пълна повърхнина на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5).
(14): S1 = 2(a.b + b.c + a.c), където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
- Лице на пълна повърхнина на куб.
(15): S1 = 6a2, където a е дължината на ръбовете на куба.
- Обем V на произволна призма – Ако B е лицето на основата, а h – височината на призмата, то
(16): V = B.h.
- Обем на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5).
(17): V = a.b.c, където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
- Обем на куб.
(18): V = a3, където a е дължината на ръбовете на куба.
V. Призма и сфера
O – Всяка стена на призмата е допирателна до сферата (Фиг. 9).
(19): В права призма може да се впише сфера тогава и само тогава, когато в основата на призмата може да се впише окръжност, като височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност.
(20): Ако призма с пълна повърхнина S1 и обем V е описана около сфера (Фиг. 9) с радиус r, то r = .
- Проекцията на сферата върху основата на права призма е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът на вписаната окръжност в основата на призмата е равен на радиуса на сферата. На Фиг. 9 радиусът r на сферата е равен на радиуса на вписаната в основата ABCD окръжност.
- Твърдение (19) може да се изкаже и за произволна призма „Призма може да се опише около сфера, тогава и само тогава, когато в перпендикулярното сечение на призмата може да се впише окръжност с диаметър равен на височината на призмата”.
Oпределение – Сферата минава през всички върхове на призмата (Фиг. 10).
(21): Призма може да се впише в сфера, когато тя е права и около основата ѝ може да се опише окръжност, като ортогоналната проекция на центъра на сферата съвпада с центъра на описаната около основата окръжност.
(22): Всяка правилна призма или всяка права триъгълна призма може да се впише в сфера.
(23): За всеки куб са в сила формулите r = a; R = a, където r – радиуса на вписаната сфера, R – радиуса на описаната сфера, a – страната на куба.
Вижте доказателство:
Доказваме формулата r = a (Фиг. 11):
I начин:
- Сферата е вписана в куб със страна a.
- Сферата се допира до всяка стена на пирамидата, но всички стени са квадрати допирните точки са пресечните точки на диагоналите на квадратите (т. О от Фиг. 11 ).
- През тези точки построяваме прави успоредни на ръб на куба и затова QR || AB и QR = AB = a.
- Центърът H на сферата лежи в квадрата QRST, а радиуса на сферата е r = HN = MN = QR = a.
II начин:
- Проекцията на сферата върху основата на куба е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът на вписаната окръжност в основата на куба е равен на радиуса на сферата.
- Нека точките Q и R са допирните точки на вписаната в ABCD окръжност, а т. O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на квадрата ABCD.
- Построяваме QR || AB и QR = AB = a. Тогава r = OR = QR = a.
Доказваме формулата R = a (Фиг. 12):
- Сферата е описана около куб със страна a.
- Центърът H на сферата. лежи в средата на диагонала на диагоналното сечение ACC1A1, тогава R = HA = AC1. Последователно намираме:
- От Питагорова теорема за ΔABC получаваме:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2 AC = a. - От Питагорова теорема за ΔACC1 получаваме:
AC12 = AC2 + CC12 = 2a2 + a2 = 3a2 AC1 = a. - R = HA = AC1 = a.
- От Питагорова теорема за ΔABC получаваме:
Върни се нагоре Начало Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: