Призма

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия

Вижте:

ТеорияОсновни задачи

Тест – Софийски и Технически университет

Дадена е правилна триъгълна призма с дължина на основния ръб 20. Лицето на околната повърхнина на призмата е равно на сбора от лицата на двете ѝ основи. Обема на призмата е:
- А)50
- Б)300
- В)400
- Г)1000
- Д)1500
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула (7), за да намерите лицето на основата.
2. От твърдение (11) намерете височината на призмата.
3. От твърдение (16) намерете обема.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадената призма е правилна, следователно основите ѝ са равностранни триъгълници, т.е. ΔABC – равностранен и от формула (7) получаваме:
  S_ΔABC = B = a² = .20² = 100.
- Нека h е височината на призмата.
- Намираме обема на призмата:
  - По условие S = 2B = 2.100 = 200.
  - Използваме твърдение (11):
    S = P . h = 3 . 20 . h = 60 . h 200 = 60 . h h = .
  - Използваме твърдение (16):
    V = B . h = 100 . = 1 000.
- Верен отговор Г).

Основният ръб на правилна триъгълна призма AABCA₁B₁C₁ е равен на 2 cm, а диагоналът на околна стена е 5 cm. Ъгълът между равнината на основата ABC и равнината ABC₁ е:
- А)45°
- Б)30°
- В)60°
- Г)75°
- Д)90°
Зад. от изпит в ТУ, 9.07.2012 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постойте двустенния (ABC, ABC₁) = φ, като използвате твърдение (38).
2. Приложете питагоровата теорема за подходящи правоъгълни триъгълници.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме ъгъла между равнината на основата (ABC) и равнината (ABC₁):
  - Равнините (ABC) и (ABC₁) имат пресечница AB.
  - Дадената призма е правилна, т.е. основата е равностранен триъгълник, а околните стени са правоъгълници с равни диагонали, т.е. ΔABC – равностранен, ΔABC₁ – равнобедрен (AC₁ и BC₁ – бедра).
  - Нека т. К среда на АВ, т.е. КС₁ – медиана в равнобедрения ΔABC₁ KC₁ – височина.
  - Проекцията на КС₁ в равнината на основата е КС, защото KCC₁ = 90°.
  - От теоремата за трите перпендикуляра (ABC, ABC₁) = CKC₁ = φ.
- Намираме φ:
  - т. К – среда на АВ AK = KB = AB = .2 = 1.
  - От питагорова теорема за ΔKBC₁ получаваме:
    KC₁² + KB² = BC₁² KC₁² + 1² = ()² KC₁ = 2.
  - От питагорова теорема за ΔAKC получаваме:
    KC² + AK² = AC² KC² + 1² = 2² KC = .
  - От тригонометрична функция косинус за ΔCKC₁ получаваме:
    cos φ = φ = 30°.
- Верен отговор Б).

На фигурата е дадена правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁, като точката М е среда на ръба CC₁, а равнината, определена от точките A, B и M, сключва с основата ъгъл равен на 60°. Намерете обема на призмата, ако S_ΔABM = 8.
- А)12
- Б)24
- В)48
- Г)48
- Д)36
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете височините на ΔABM и ΔABC.
2. За ΔCMP приложете тригонометрична функция тангенс и намерете СМ.
3. Намерете височината на призмата и след това приложете твърдение (16).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Проекцията на ΔABM в равнината на основата е ΔABC и от твърдение (39) получаваме:
  S_ΔABC = B = S_ΔABM . cos 60° = 8 . = 4 .
- Проекцията на МР в равнината на основата е СР, защото проекцията на т. М в равнината на основата е т. С.
- (ABM, ABC) = CPM = 60° – по условие и MP AB, тогава CP AB, т.е. СР – височина в ΔABC, но ΔABC – равностранен (защото призмата е правилна) и намираме CP:
  - Използваме формула (7):
    S_ΔABC = B = a² 4 = .a² a = 4.
  - Използваме формула (6):
    CP = .a = .4 = 2.
- Прилагаме тригонометрична зависимост за ΔCPM:
  tg 60° = CM = 6.
- По условие т. М среда на CC₁ CC₁ = 2CM = 2.6 = 12, но СC₁ е височина на призмата, т.е. h = CC₁ = 12.
- Използваме твърдение (16):
  V = B . h = 4 . 12 = 48.
- Верен отговор В).

На чертежа е дадена правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁. Дължината на основният ръб е 2, а CBC₁ = 60°. Лицето на ΔABC₁ е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)3
- Д)5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От правоъгълния ΔBCC₁ намерете CC₁.
2. От равностранния ΔABC намерете СР.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете PC₁.
4. Намерете лицето на ΔABC₁ по формула (1).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За ΔBCC₁ прилагаме формула за тригонометрична функция тангенс:
  tg 60° = CC₁ = 2.
- Призмата е правилна, следователно ΔABC е равностранен и СР е височина в този триъгълник.
- Използваме формула (7):
  S_ΔABC = B = a² = . 2² = .
- Намираме височината CP на основата, като използваме формула (6):
  CP = a = . 2 = .
- Използваме питагорова теорема ΔPCC₁:
  PC₁² = CP² + CC₁² = ()² + (2)²= 15 PC₁ = .
- Използваме формула (1):
  = .
- Верен отговор В).

Дадена е правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ с основен ръб равен на 2. Ъгълът между BC₁ и равнината (ABB₁A₁) е равен на 30°. Лицето на околната повърхнина на призмата е равно на:
- А)4
- Б)8
- В)12
- Г)12
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте (BC₁, ABB₁A₁).
2. Намерете височината на основата на призмата.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете дължината на основния ръб.
4. Използвайте твърдение (11), за да намерите търсената величина.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме (BC₁, ABB₁A₁):
  - Построяваме т. Н – проекцията на т. C₁ в равнината (ABB₁A₁).
  - Тогава BH е проекцията на BC₁ в равнината (ABB₁A₁) и C₁HB = 90°.
  - (BC₁, ABB₁A₁) = C₁BH = 30°.
- C₁H – височина в равностранния ΔA₁B₁C₁ и от формула (6) получаваме:
  C₁H = A₁B₁ = . 2 = .
- В ΔBC₁H прилагаме формула за тригонометрична функция синус:
  sin 30° = BC₁ = 2.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBC₁B₁:
  BC₁² = BB₁² + C₁B₁² (2)² = BB₁² + 2² BB₁ = h = 2.
- Използваме твърдение (11):
  S = P . h = 3.2.2 = 12.
- Верен отговор Г).

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагоналът AB₁ на околната стена ABB₁A₁ има дължина 5, а диагоналът на призмата A₁C е с дължина 7. Да се намери обемът на призмата.
- А)36
- Б)24
- В)11
- Г)52
- Д)44
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Съставете система, като приложите питагорова теорема за ΔABB₁ и твърдение (8), за да намерите основните и околните ръбове на призмата.
2. Намерете обема на призмата от твърдение (17).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От условието следва, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е правоъгълен паралелепипед с основа квадрат.
- Нека AB = BC = a, BB₁ = c.
- Намираме a и c:
  - От питагорова теорема за ΔABB₁ a² + c² = 5² a² + c² = 25.
  - От твърдение (8) A₁C² = AB² + BC² + BB₁² 7² = a² + a² + c² 2a² + c² = 49.
  - От тези две равенства съставяме система и я решаваме:
    a² = 24 a = 2, c = 1.
- Използваме твърдение (17):
  V = a . a . c = 2 . 2 . 1 = 24.
- Верен отговор Б).

Диагоналът на основата на правилна четириъгълна призма е равен на 3, а диагоналът на околна стена е 6. Диагоналът на призмата е равен на:
- А)6
- Б)9
- В)4
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи правоъгълни триъгълници намерете измеренията на призмата.
2. Използвайте твърдение (8), за да намерите търсения диагонал.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От условието следва, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е правоъгълен паралелепипед с основа квадрат.
- Нека имаме AB = BC = a, BB₁ CC₂ = c, а търсим A₁C = d.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABC:
  AB² + BC² = AC² a² + a² = (3)² a² = 9 a = 3.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABB₁:
  AB² + BB₁² = AB₁² 3² + c² = (6)² c² = 63.
- От твърдение (8) A₁C² = AB² + BC² + CC₁² = 9 + 9 + 63 = 81 d = 9.
- Верен отговор Б).

Дадена е права триъгълна призма ABCA₁B₁C₁. През основния ръб AB е построена равнина α, която пресича противоположния околен ръб CC₁. Да се намери лицето на сечението, ако лицето на основата е равно на S, а равнината α сключва с равнината на основата ъгъл равен на 45°.
- А)S
- Б)S
- В)S
- Г)2S
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте (α, ABC).
2. Използвайте твърдение (39).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Сечението на равнината α с призмата е ΔABN.
- Построяваме NM – височина в ΔABN.
- Проекцията на NM в равнината на основата на призмата е CM.
- Тогава AMN = 90° и от теоремата за трите перпендикуляра следва, че BMC = 90°, т.е. (α, ABC) = CMN = 45°.
- Проекцията на ΔABN в равнината на основата на призмата е ΔABC и от твърдение (39) получаваме:
  S_ΔABC = S_ΔABN . cos CMN S = S_ΔABN . cos 45° S = S_ΔABN . S_ΔABN = S . .
- Верен отговор Б).
- ΔMCN – правоъгълен с MCN = 90° MNC = 45°, т.е. ΔMCN – равнобедрен (MC = NC).
- Нека MC = NC = h₁.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔMCN:
  MN² = MC² + NC² = 2h₁² MN = h₁.
- S_ΔABN = AB . MN = . AB . h₁ = . AB . h₁ = S_ΔABC = S.
- Верен отговор Б).

Основата на права призма е ΔABC със страни AB = 10 cm, BC = 6 cm и ABC = 120°. Най-голямото лице измежду лицата на трите околни стени е 140 cm². Обемът на призмата е:
- А)150 cm³
- Б)150 cm³
- В)150 cm³
- Г)90 cm³
- Д)90 cm³
Зад. от изпит в ТУ, 21.04.2012 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте косинусова теорема, за да намерите АС.
2. Съобразете, че стената ACC₁A₁ има най-голямо лице и намерете височината на призмата.
3. Използвайте твърдение (16), за да намерите обема на призмата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
  AC² = AB² + BC² – 2AB . BC . cos 120° = 10² + 6² – 2.10.6. = 196 AC = 14.
- По условие призмата е права, т.е. AA₁ = BB₁ = CC₁ = h.
- От BC < AB < AC следва, че правоъгълникът ACC₁A₁ има най-голямо лице и от формула (13) получаваме:
  = AC . CC₁ 140 = 14 . h h = 10.
- Прилагаме формула (2):
  B = S_ΔABC = AB . BC . sin 120° = .10.6. = 15.
- Прилагаме твърдение (16):
  V = B . h = 15 . 10 = 150.
- Верен отговор А).

В права триъгълна призма страните на основата имат дължини 3 cm, 4 cm и 5 cm, а височината на призмата е 10 cm. Лицето на сечението на призмата с равнина през околен ръб и най-малката височина на основата е равно на:
- А)10 cm²
- Б)18 cm²
- В)20 cm²
- Г)24 cm²
- Д)100 cm²
Зад. от изпит в ТУ, 5.04.2014 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че основата на призмата е правоъгълен триъгълник и намерете височината на този триъгълник.
2. Докажете, че търсеното сечение е правоъгълник и намерете лицето му.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За основата имаме 3² + 4² = 5², т.е. ΔABC е правоъгълен с хипотенуза АС.
- Призмата е права, т.е. AA₁ = BB₁ = CC₁ = h – височина на призмата.
- Прилагаме формула (7) за ΔABC:
  BH . AC = AB . BC BH . 5 = 3 . 4 BH = 2,4.
- Знаем, че в правоъгълен триъгълник две от височините съвпадат с катетите.
- Тогава в ΔABC (B = 90°) от BH < AB < BC следва, че правоъгълникът BHH₁B₁ е търсеното сечение.
- От формула (13) намираме лицето на този правоъгълник:
  S = BB₁ . BH = 10 . 2,4 = 24 cm².
- Верен отговор Г).

Основата на права призма е ромб. Диагоналите на призмата са съответно равни на 20 и 18, а височината ѝ е равна на 16. Основният ръб е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи правоъгълни триъгълници намерете диагоналите на основата.
2. Приложете питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите основния ръб на призмата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Диагоналите на призмата са AC₁ = CA₁, BD₁ = DB₁, тогава по условие имаме AC₁ = 20, BD₁ = 16, а височината на призмата е CC₁ = DD₁ = 16.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔACC₁ (ACC₁ = 90°):
  AC₁² = AC² + CC₁² 20² = AC² + 16² AC = 12.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBDD₁ (BDD₁ = 90°):
  BD₁² = BD² + DD₁² 18² = BD² + 16² BD = 2.
- AC и BD са диагонали на ромб, следователно:
  AOB = 90°, AO = . AC = . 12 = 6, BO = . BD = . 2 = .
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAB0 (AOB = 90°):
  AB² = AO² + BO² = 6² + ()² = 53 AB = a = .
- Верен отговор В).

На чертежа е дадена призма с основа равнобедрен ΔABC с бедра AC = BC = 9 и основа AB = 6. Точка O е ортогоналната проекция на върха A₁ в равнината на основата ABC. Околният ръб AA₁ е с дължина 12 и сключва с равнината ABC ъгъл равен на 45°. Обемът на призмата е равен на:
- А)108
- Б)112
- В)211
- Г)216
- Д)121
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете височината на призмата от подходящ правоъгълен триъгълник.
2. Използвайте хероновата формула, за да намерите лицето на основата на призмата.
3. Използвайте твърдение (16), за да намерите обема на призмата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие имаме, че т. O е ортогоналната проекция на върха A₁ в равнината на основата ABC, т.е. A₁O = h е височина на призмата.
- В ΔAOA₁ имаме AOA₁ = 90°, OAA₁ = 45° ΔAOA₁ – равнобедрен с бедра AO = A₁O = h.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAOA₁ (AOA₁ = 90°):
  AA₁² = AO² + A₁O² 12² = h² + h² h² = 72 h = 6.
- Намираме лицето на основата ΔABC по хероновата формула:
- Намираме обема на призмата:
  V = B . h = 18 . 6 = 216.
- Верен отговор Г).

Основата на призма с обем 36 е успоредник със страни 3 и 4 и ъгъл 60°. Основния ѝ ръб е 4. Ъгълът между околния ръб и основата е:
- А)30°
- Б)45°
- В)60°
- Г)90°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте височината на призмата.
2. Намерете лицето на основата.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете търсения ъгъл, като използвате тригонометрична функция синус.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека т. О е проекцията на т. A₁ в равнината на основата на призмата. Тогава височината на призмата е A₁O = h, а търсеният ъгъл е OAA₁ = φ.
- Използваме формула (8), за да намерим лицето на основата:
  B = S_ABCD = AB . AD . sin 60° = 4 . 3 . = 6.
- Използваме твърдение (16), за да намерим височината на призмата:
  V = B . h 36 = 6 . h h = 2.
- За ΔAOA₁ (AOA₁ = 90°) имаме:
  sin φ = .
- От таблица №1 следва, че φ = 60°.
- Верен отговор В).

Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁с дължина на ръба 4. Намерете лицето на ΔKLM, където K, L и M са среди съответно на ръбовете AB, AD и AA₁.
- А)6
- Б)3
- В)
- Г)12
- Д)9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че ΔKLM е равностранен и използвайте формула (7), за да намерите лицето му.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб следва, че всичките му стени са равни квадрати с равни диагонали.
- LK = LM = MK като средни отсечки в еднаквите ΔABD, ΔADA₁ и ΔABA₁ ΔKLM – равностранен.
- Намираме лицето на ΔKLM:
  - Прилагаме питагорова теорема за ΔABD (BAD = 90°):
    BD² = AB² + AD² = (4)² + (4)² = 96 BD = 4.
  - KL – средна отсечка в ΔABD LK = BD = . 4 = 2.
  - Прилагаме формула (7):
    S_ΔKLM = . LK² = .
- Верен отговор А).

Телесен диагонал на куб е 3 cm. Лицето на пълната повърхнина на куба е:
- А)56 cm²
- Б)54 cm²
- В)48 cm²
- Г)45 cm²
- Д)32 cm²
Зад. от изпит в ТУ, 16.04.2016 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте твърдение (9), за да намерите ръба на куба.
2. Използвайте твърдение (15), за да намерите верния отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Може да използваме готовата формула от твърдение (9), за да намерим основния ръб на куба, но ние ще използваме друг подход.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABD (BAD = 90°):
  BD² = AB² + AD² = a² + a² = 2a² BD = a.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBDD₁ (BDD₁ = 90°):
  BD₁² = BD² + DD₁² (3)² = (a)² + a² a² = 9 a = 3.
- Използваме твърдение (15), за да намерим лицето на пълната повърхнина:
  S₁ = 6a² = 6 . 3² = 54 cm².
- Верен отговор Б).

Дадени са два куба. Ръб на първия куб е диагонал на стена на втория куб. Обемът на първия куб се отнася към обема на втория куб така, както:
- А)3 : 1
- Б)2 : 1
- В)3 : 1
- Г)4 : 1
- Д)2 : 1
Зад. от изпит в ТУ, 16.04.2015 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изразете ръба на втория куб чрез ръба на първия и приложете твърдение (18).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека първият куб има ръб AB = a (Фиг. 1), тогава вторият куб има диагонал на стена BD = a и ръб AB = x (Фиг. 2).
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABD на Фиг. 2):
  a² = x² + x² = 2x² a = x x = .
- От твърдение (18) за Фиг. 1) V₁ = a³.
- От твърдение (18) за Фиг. 2) V₂ = x³ = a³.
- Намираме търсеното отношение:
- Верен отговор Д).

Основата на прав паралелепипед е ромб с диагонали 8 и 6. Да се намери обемът на паралелепипеда, ако по-големият диагонал на паралелепипеда сключва с равнината на основата ъгъл равен на 45°.
- А)96
- Б)144
- В)192
- Г)288
- Д)384
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете проекцията на връх C₁ в равнината на основата.
2. Постройте (C₁A, ABCD) и докажете, че ΔACC₁ е равнобедрен.
3. Използвайте твърдение (16), за да намерите обема на паралелепипеда.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- т. С е проекцията на т. С₁ в равнината на основата, тогава СА е проекцията на С₁А в равнината на основата, т.е. (C₁A, ABCD) = C₁AC = 45°.
- Така доказваме, че ΔACC₁ е равнобедрен CC₁ = CA = 8.
- Намираме обема на паралелепипеда:
  - ABCD – ромб и от формула (11) B = S_ABCD = AC . BD = . 8 . 6 = 24.
  - За паралелепипеда прилагаме твърдение (16) V = B . CC₁ = 24 . 8 = 192.
- Верен отговор В).

Правоъгълен паралелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ има диагонал AC₁ = 13 и диагонали на околни стени AB₁ = 3 и BC₁ = 4. Обемът на паралелепипеда е:
- А)144
- Б)112
- В)422
- Г)224
- Д)414
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете сбора от квадратите на a и c.
2. Използвайте твърдение (8), за да намерите b.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете с.
4. Търсения обем намерете от твърдение (17).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABB₁ (ABB₁ = 90°):
  AB₁² = AB² + BB₁² (3)² = a² + c² (1): a² + c² = 153.
- Заместваме в твърдение (8), за да намерим b:
  a² + b² + c² = AC₁² = 13² 153 + b² = 169 b² = 16 b = 4.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
  BC₁² = BC² + CC₁² (4)² = 4² + c² c² = 144 c = 12.
- Заместваме в (1), за да намерим а:
  a² + c² = 153 a² + 12² = 153 a² = 9 a = 3.
- От твърдение (17) намираме търсения обем:
  V = a . b . c = 3 . 4 . 12 = 144.
- Верен отговор А).

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с основа квадрата ABCD и AC₁ = 3,5 и BC₁ = 2,5. Обемът на паралелепипеда е:
- А)2
- Б)3
- В)4
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете a² + c².
2. Използвайте твърдение (8), за да намерите a.
3. Търсения обем намерете от твърдение (17).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
  BC₁² = BC² + CC₁² 2,5² = a² + c² (1): a² + c² = 6,25.
- Заместваме в твърдение (8), за да намерим a:
  a² + a² + c² = AC₁² = 3,5² a² + 6,25 = 12,25 a² = 6 a = .
- Заместваме в (1), за да намерим c:
  a² + c² = 6,25 ()² + c² = 6,25 c² = 0,25 a = 0,5.
- От твърдение (17) намираме търсения обем:
  V = a . a . c = . . 0,5 = 3.
- Верен отговор Б).

Сфера с радиус 2 cm е вписана в правоъгълен паралелепипед така, че се допира до всички негови стени. Обемът на паралелепипеда е:
- А)8 cm³
- Б)64 cm³
- В)65 cm³
- Г)81 cm³
- Д)100 cm³
Зад. от изпит в ТУ, 2.04.2016 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. По условие сферата се допира до всички стени на паралелепипеда, следователно паралелепипеда е куб.
2. Търсения обем намерете от твърдение (18).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Сферата се допира до всяка стена на паралелепипеда, следователно a = b = c = 2r = 2 . 2 = 4, т.е. паралелепипедът е куб.
- От твърдение (18) намираме търсения обем:
  V = a³ = 4³ = 64 cm³.
- Верен отговор Б).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура