Призма

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия

Основни типове задачи за Софийски и Технически университети

Зад. №1:: Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ръб AB = 4. Точките M и N са средите съответно на ръбовете BC и CC₁. Да се намери лицето на сечението на куба с равнина γ, определена от точките A, M и N.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Докажете, че сечението е равнобедрен трапец и намерете лицето му.

Зад. №2:: Дадена е правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ с околна повърхнина S = 54 cm². Намерете обема на призмата, ако радиусът на вписаната в основата окръжност е 1 cm.

Намерете височината на основата на призмата, като използвате това, че височина и медиана в равностранен триъгълник съвпадат.
От даденото лице на околната повърхнина намерете височината на призмата.
От формула (16) намерете обема на призмата.

ABCA₁B₁C₁ – правилна триъгълна призма ΔABC – равностранен, т.е. AB = BC = AC = a.
Намираме страната a:
- Построяваме AK – височина в ΔABC, но тя е и медиана, защото ΔABC – равностранен.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABK:
  AK² = AB² – BK² = a² – a² AK = a.
- Нека т. M е медицентър в ΔABC MK = r = 1 cm и MK = AK 1 a a = 2.
Намираме обема на призмата:
- B = = 3.
- S = P.h = 3a.h 54 =3.2.h h = 3.
- V = B.h = 3.3 = 27.
- Т.е. V = 27 cm³.

Зад. №3:: Намерете обема на правилна четириъгълна призма, ако диагоналът ѝ сключва с околна стена ъгъл 30°, а диагонал на основата ѝ е равен на 5.

Намерете дължината на основен ръб.
Намерете диагонала BC₁ на околната стена (BCC₁B₁).
Намерете дължината на околен ръб, защото той е височина на призмата.
Намерете обема по формула (16).

ABCDA₁B₁C₁D₁ – правилна четириъгълна призма ABCD – квадрат, т.е. AB = BC = CD = AD = a.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC:
AC² = 2AB² = 2a² a = 5.
BC₁ е проекцията на AC₁ в околната стена (BCC₁B₁) AC₁B = 30° и ABC₁ = 90°.
От ΔABC₁ – правоъгълен cotg AC₁B = BC₁ = 5.
Прилагаме Питагорова теорема за ΔBCC₁:
CC₁² = BC₁² – BC² h² = – 5² = 25.2 h = 5.
Намираме обема на призмата:
- B = a² = 5² = 25.
- V = B.h = 25.5 = 125.

Зад. №4:: Всички стени на паралелепипед са ромбове с остър ъгъл 60° и страна 2 cm. Намерете лицата на диагоналните му сечения.

Докажете, че петата на височината на паралелепипеда лежи върху диагонала на основата.
Докажете, че диагоналното сечение BDD₁B₁ е квадрат.
Докажете, че диагоналното сечение ACC₁A₁ е успоредник.

По условие имаме BAD = 60° ΔABD – равностранен, т.е. AB = BD = AD = a = 2.
Построяваме височината на паралелепипеда:
- Построяваме височините A₁G и A₁F в еднаквите ромбове ADD₁A₁ и ABB₁A₁, т.е. A₁G = A₁F.
- Ако т. E е проекцията на т. A₁ в равнината на основата ABCD и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че EG и EF са проекции на A₁G и A₁F в равнината на основата (ABCD), т.е. EG AD и EF AB.
- Равни наклонени A₁G и A₁F имат равни проекции EG и EF.
- Тогава т. E лежи на ъглополовящата на BAD, но AC е диагонал на ромба ABCD следователно, т. E лежи на AC и височината на паралелепипеда е A₁E.
Доказваме, че диагоналното сечение BDD₁B₁ е квадрат и намираме неговото лице:
- AC и BD – диагонали в ромба ABCD BD AC.
- Проекцията на AA₁ в равнината на основата е AE, която е част от AC, т.е. BD AE и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че BD AA₁.
- Но AA₁ || DD₁ BD DD₁. Доказахме, че BD = a = 2 BDD₁B₁ – квадрат.
- Лицето на квадрата BDD₁B₁ е S = a² = 2² = 4 cm².
Доказваме, че диагоналното сечение ACC₁A₁ е успоредник и намираме неговото лице:
- AC и A₁C₁ диагонали в два еднакви ромба следователно те са успоредни и равни, т.е. ACC₁A₁ е успоредник с височина A₁E.
- За диагоналите на ромба използваме формула (9):
  AC² + BD² = 4AB² AC² + 2² = 4.2² AC² = 12 AC = 2.
- От ΔAFA₁ – правоъгълен AF = AA₁ cos FAA₁ = 2.cos 60° = 2. = 1.
- От ΔAFE – правоъгълен AE = .
- От Питагорова теорема за ΔAEA₁ A₁E² = AA₁² – AE² = 2² – .
- Лицето на успоредника ACC₁A₁ е S = AC . A₁E =2.. = 4 cm².

Зад. №5:

Как ще се измени обема на куб, ако:

а) увеличим ръба му 3 пъти;

б) намалим ръба му с 2 cm.

Използвайте формула (18), за да намерите обемите на двата куба.

Нека с V и a да отбележим обема и ръба на стария куб, а с V₁ и a₁ – обема и ръба на новия куб.

а) Ръбът на новия куб е a₁ = 3a и тогава новия обем е V₁ = a₁³ = (3a)³ = 27a³ = 27V, т.е. обемът му се увеличава 27 пъти.

б) Ръбът на новия куб е a₁ = a – 2 и тогава новия обем е V₁ = a₁³ = (a – 2)³ = a³ – 6a² + 12a – 8 = V – (6a² – 12a + 8), т.е. обемът му се намалява с 6a² – 12a + 8.

Зад. №6:: Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с периметър на две околни стени 12 cm и 16 cm, който да има най-голяма височина.

Изразете периметрите на дадените две околни стени чрез височината на паралелепипеда.
Намерете стойностите, до които може да достига тази височина.
Използвайте формула (11), за да получете лицето на околната повърхнина на паралелепипеда като функция на височината и изследвайте така получената функция.

Нека измеренията на паралелепипеда са a, b и c.
Дадените периметри на околни стени са:
- P₁ = 2a + 2c 12 = 2a + 2c a = 6 – c.
- P₂ = 2b + 2c 16 = 2b + 2c b = 8 – c.
Намираме в какви граници може да се мени височината c:
от c > 0, 6 – c > 0 и 8 – c > 0 c (0; 6).
Изразяваме лицето на околната повърхнина чрез височината c:
- P_осн = 2a + 2b = 2(6 – c) + 2(8 – c) = 12 – 2c + 16 – 2c = 28 – 4c.
- От формула (11) S = P_осн . h = (28 – 4c).c = 28c – 4c², т.е. S = – 4c² + 28c.
Функцията S(c) е квадратна спрямо c и графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото коефициента пред най-високата степен на неизвестното c е отрицателен, т.е. функцията S(c) има най-голяма стойност при c_V = = 3,5 (0; 6).
Тогава:
- a = 6 – c = 6 – 3,5 = 2,5.
- b = 8 – c = 8 – 3,5 = 4,5.
V = a.b.c =2,5.4,5.3,5 = 37,375 cm².

Зад. №7:

Сфера е описана около правилна четириъгълна призма с височина 6 и диагоналът ѝ сключва с равнината на основата ъгъл равен на 60°. Намерете:

а) радиуса на сферата;

б) лицето на повърхнината и обема на призмата.

а) За да намерите радиуса на сферата, използвайте това, че центърът на сферата лежи в средата на диагонал на диагоналното сечение.

б) Използвайте формули (13) и (16).

а) Проекцията на D₁ в равнината на основата (ABCD) е т. D, т.е. (BD₁; ABCD) = DBD₁ = 60°.

Центърът H на сферата лежи в средата на диагонала BD₁ на диагоналното сечение DBB₁D₁, защото ΔDBD₁ е правоъгълен, тогава R = HB = BD₁. Последователно намираме:

От ΔDBD₁ – правоъгълен sin 60° = BD₁ = 4.
R = HB = BD₁ = .4 = 2.

б) Щом дадената призма е правилна четириъгълна, то основата ѝ ABCD е квадрат.

Намираме страната на квадрата:
- От ΔDBD₁ – правоъгълен cos 60° = DB = 2.
- От Питагорова теорема за ΔABD AB² + AD² = DB² a² + a² = a = .
Намираме лицето на повърхнината на призмата:
- S = P.h = 4..6 = 24.
- B = a² = = 6.
- S₁ = S + 2B = 24 + 2.6 = 24 + 12.
Намираме обема на призмата:
V = B.h = 6.6 = 36.

Зад. №8:: Сфера е вписана в права триъгълна призма с основни ръбове a = 8, b = 10 и c = 6. Да се намери радиуса на сферата и лицето на повърхнината на призмата.

Използвайте бележката след формули (19) и (20).
Използвайте формули (11) и (13).

Проекцията на сферата върху основата на призмата е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът OL = r на вписаната окръжност в основата ABC на призмата е равен на радиуса HO = r на сферата.
Намираме радиуса OL = r на вписаната в ΔABC окръжност:
- p = = 12.
- Прилагаме Херонова формула за ΔABC:
  B = S_ΔABC = = 24.
- Но S = p.r 24 = 12.r r = 2.
Т.е. HO = r = 2.
Намираме лицето на повърхнината на призмата:
- h = OO₁ = 2r = 2.2 = 4.
- S = P.h = (a + b + c).h = (8 + 10 + 6).4 = 96.
- S₁ = S + 2B = 96 + 2.24 = 144.

Зад. №9:: Права призма има за основа правоъгълен трапец с основи a = 8 и b = 4. Намерете радиуса на вписаната в призмата сфера и лицето на повърхнината и обема на призмата.

Използвайте бележката след формули (19) и (20).
Използвайте формули (11) и (13).

Проекцията на сферата върху основата на призмата е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът на вписаната окръжност в основата ABCD на призмата е равен на радиуса на сферата.
Намираме радиуса r = ON = OM = OQ = OP:
- Четириъгълник APOM е квадрат, защото A = M = P = 90° и OM = OP = r AP = AM = r. Тогава PB = AB – AP = 8 – r. Но трапецът ABCD е описан BN = BP = 8 – r.
- По подобен начин доказваме, че DM = DQ = r, CN = CQ = CD – r = 4 – r.
- Т. O – център на вписаната окръжност следователно CO и BO са ъглополовящи , т.е. ABO = CBO = α₁, DCO = BCO = β₁.
- 2α₁ + 2β₁ = 180° (като прилежащи ъгли на AB || CD) α₁ + β₁ = 90°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔBOC следва, че
  α₁ + β₁ + BOC = 180° 90° + BOC = 180° BOC = 90°, т.е. ΔBOC е правоъгълен.
- ON е височина в ΔBOC ON² = BN . CN r² = (8 – r)(4 – r) 12r = 32 r = .
Т.е. радиусът на вписаната в правата призма сфера е r = .
Намираме лицето на повърхнината на призмата:
- h = 2r = 2. = .
- ABCD е описан трапец AD + BC = AB + CD = 8 + 4 = 12, тогава P_ABCD = AB + CD + AD + BC = 8 + 4 + 12 = 24.
- S = P.h = 24. = 128.
- B = S_ABCD = 32.
- S₁ = S + 2B = 128 + 2.32 = 192.
Намираме обема на призмата:
V = B.h = 32..

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура