Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура

Прави и равнини

Основни типове задачи за Софийски и Технически университети

ОЗ 1:: Докажете, че всеки околен ръб на правилна триъгълна пирамида е перпендикулярен на кръстосания с него основен ръб на пирамидата.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра.

Нека CM е околен ръб, а AB – основен ръб и трябва да докажем, че CM AB:

ABCM – правилна триъгълна пирамида ΔABC е равностранен.
Нека точка D е среда на AB, тогава CD – височина и т. O – медицентър на ΔABC, т.е. MO е височина на пирамидата.
Ортогоналната проекция на CM в равнината на основата (ABC) на пирамидата е CO.
Но CD AB и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че CM AB.

ОЗ 2:

Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Докажете, че ако едно от следните три твърдения е вярно, то са вери и останалите две.

а) Околните ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

б) Ортогоналната проекция на M в равнината (ABC) е центърът на описаната окръжност около основата, т.е. около ΔABC.

в) Правите AM, BM, CM сключват равни ъгли с равнината (ABC), т.е. околните ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.

Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Предполагаме, че околните ръбове са равни, т.е. твърдение а) е вярно. Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC).
Ще докажем б):
ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO, т.е. точка O е център на описаната около ΔABC окръжност.
Доказваме в):
- AO, BO и CO са проекциите съответно на AM, BM и CM в равнината на основата, затова (AM, ABC) = OAM, (BM, ABC) = OBM, (CM, ABC) = OCM.
- От ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM OAM = OBM = OCM.
По подобен начин се доказва, че ако е изпълнено б) следват а) и в) или, ако е изпълнено в) следват а) и б).

ОЗ 3:: Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM с връх M, като AM = BM = CM = DM. Докажете, че ако O е ортогоналната проекция на върха M в равнината на основата, то OA = OB = OC = OD, т.е. четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност.

Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD).

I начин:

ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM ≅ ΔDOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM = DM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO = DO, т.е. точка O е център на описаната около ABCD окръжност.

II начин:

По условие AM = CM ΔACM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. AO = CO.
По условие BM = DM ΔBDM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. BO = DO.
ΔAOM ≅ ΔBOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO.
Така доказахме, че AO = BO = CO = DO = R, т.е. окръжност с радиус R е описана около четириъгълника ABCD.

ОЗ 4:: Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е центърът на вписаната в триъгълника ABC окръжност. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC и CA са равни.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC), а допирните точки до AB, BC и AC на вписаната в основата окръжност, са съответно точките D, K и N.
Тогава OD = OK = ON = r и OD AB, OK BC и ON AC.
Но проекциите на MD, MK и MN са съответно OD, OK и ON. От Теоремата за трите перпендикуляра MD AB, MK BC, MN AC.
Затова за двустените ъгли имаме:
(ABM, ABC) = ODM, (BCM, ABC) = OKM, (ACM, ABC) = ONM.
ΔODM ≅ ΔOKM ≅ ΔONM – по І признак, защото: 1) OD = OK = ON = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° ODM = OKM = ONM = φ.

ОЗ 5:: Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM основата на която ABCD е четириъгълник, описан около окръжност с център O. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е точка O. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC, CD и DA са равни.

Използвайте Теоремата за трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.

Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD), а допирните точки до AB, BC, CD и AD на вписаната в основата окръжност са съответно P, K, Q и L.
Тогава OP = OK = OQ = OL = r и OP AB, OK BC, OQ CD и OL AD.
Но проекциите на MP, MK, MQ и ML са съответно OP, OK, OQ и OL. От Теоремата за трите перпендикуляра MP AB, MK BC, MQ CD, ML AD.
Затова за двустените ъгли имаме:
(ABM, ABC) = OPM, (BCM, ABC) = OKM, (CDM, ABC) = OQM. (ADM, ABC) = OLM.
ΔOPM ≅ ΔOKM ≅ ΔOQM ≅ ΔOLM – по І признак, защото: 1) OP = OK = OQ = OL = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° OPM = OKM = OQM = OLM = φ.

ОЗ 6:: Дадена е правилна триъгълна пирамида. Намерете двустенните ъгли (ъглите между съседни стени) на пирамидата, ако основния ръб е a, а околния ръб – b.