УНСС – София
Тест от предварителен изпит по МАТЕМАТИКА
МОДУЛ 2 „Математика – основи”

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест МОДУЛ 2 „МАТЕМАТИКА–ОСНОВИ” – юли 2009 година

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

На колко е равна стойността на израза
- А)– 2
- Б)
- В)–
- Г)2
- Д)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Извършете означените действия като спазвате техния приоритет. От всички математични действия най-напред се извършва действието степенуване, след това умножение и делене и накрая събиране и изваждане.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Най-напред извършваме действие делене, а след това – събиране и изваждане:
  = – 2.
- Верен отговор А).

Едната страна на правоъгълник е увеличена с 40 %. С колко процента трябва да се увеличи другата страна така, че лицето на правоъгълника да се увеличи с 47 %?
- А)3 %
- Б)4 %
- В)5 %
- Г)6 %
- Д)7 %
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека да направим следните обозначения: a и а' – едната страна преди и след увеличението; b и b' – другата страна преди и след увеличението, S и S' – лицето преди и след увеличението. Тогава по условие имаме a' = 14 % от a и S' = 47 % от S.
2. Използвайте формулата за лице на правоъгълник, за да намерите връзката между b и b'.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека да направим следните обозначения: a и а' – едната страна преди и след увеличението; b и b' – другата страна преди и след увеличението; S и S' – лицето преди и след увеличението.
- По условие имаме
  - a' = a + 40 % от a a' = 1,4a.
  - S' = S + 0,47S = 1,47S.
- Но S = a.b и S' = a'.b', т.е.:
  a'.b' = 1,47.a.b 1,4.a.b' = 1,47.a.b b' = 1,05.b, т.е. b' = b + 5%.b.
- Верен отговор В).

Ако log_x 3 . log₃ 81 = 2, то x е равно на:
- А)8
- Б)2
- В)9
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (15) от Бележките към Свойство 4.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ: x > 0, x ≠ 1.
- Извършваме умножението на логаритмите по формула (15) от Бележките към Свойство 4:
  log_x 3 . log₃ 81 = 2 log_x 81 = 2 81 = x² x = ±9, но само x = 9 принадлежи на ДМ.
- Верен отговор В).

Множеството от решения на неравенството 2^{x + 2} ≤ 4^{x – 2} e:
- А)[4; +∞)
- Б)[5; +∞)
- В)(– ∞; 6]
- Г)(0; 6]
- Д)[6; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете показателното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (13):
  2^{x + 2} ≤ 4^{x – 2} 2^{x + 2} ≤ 2^{2(x – 2)} x + 2 ≤ 2x – 4 x ≥ 6.
- Верен отговор Д).

За аритметична прогресия е дадено, че a₅ + a₇ + a₁₅ + a₁₇ = 38. Да се намери a₃ + a₁₉.
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)19
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство 2 на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От свойството на равната отдалеченост (свойство 2) при аритметична прогресия получаваме, че a₃ + a₁₉ = a₇ + a₁₅ = a₅ + a₁₇.
- Тогава от даденото получаваме:
  a₅ + a₇ + a₁₅ + a₁₇ = 38 2(a₃ + a₁₉) = 38 a₃ + a₁₉ = 19.
- Верен отговор Д).

Решението на неравенството (5x + 2) > е:
- А)x < 3
- Б)x > –3
- В)x < 1
- Г)x > –1
- Д)Неравенството няма решение
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на линейно неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Привеждаме под общ знаменател и решаваме полученото линейно неравенство:
  (5x + 2) > 15x + 6 > – 10 + 10x + 1, т.е. x > – 3.
- Верен отговор Б).

Множеството от решения на неравенството ≤ x + 2 е:
- А)(– 1, 0)
- Б)(– 1, 0]
- В)[– 1, 0]
- Г)(– ∞, 0]
- Д)[– 1, +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (8):
- Верен отговор В).

За кои стойности на параметъра a уравнението x² – (a +1)x + a + 4 = 0 има двoен корен?
- А)Само a = 5
- Б)a = –3 и a = 5
- В)a = 3 и a = –5
- Г)a = 3 и a = 5
- Д)Няма такива стойности на a
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (4).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Уравнението е квадратно и то има двоен корен, когато дискриминантата му е нула, т.е.:
  D = (a + 1)² – 4(a + 4) = a² – 2a – 15 = 0, a₁ = – 3, a₂ = 5.
- Верен отговор Б).

Множеството от решения на неравенството е:
- А)(1; 2)
- Б)[1; 2)
- В)(– ∞; 1)
- Г)(– ∞; 1) (2; +∞)
- Д)(–∞; 1] (2; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме дробното неравенство:
- Верен отговор Г).

Да се пресметне sin 28° . cos 62° – cos 28° . cos 152°.
- А)1
- Б)
- В)– 1
- Г)
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: : Използвайте тригонометрична формула (4. 1)..

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме таблица 2:
  cos 152° = cos (90° + 62°) = – sin 62°.
- Заместваме в даденото равенство и прилагаме тригонометрична формула (4. 1).:
  sin 28° . cos 62° – cos 28° . cos 152° = sin 28° . cos 62° – cos 28° . (– sin 62°) = sin 28° . cos 62° + cos 28° . sin 62° = sin (28° + 62°) = sin 90° = 1.
- Верен отговор А).

Коя от изброените стойности на x е решение на уравнението = 1?
- А)x = 10°
- Б)x = 5°
- В)x = 6°
- Г)x = 12°
- Д)x = 7°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте тригонометрична формула (4. 6) и решете полученото тригонометрично уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме тригонометрична формула (4. 6):
  = 1 cotg (10x – 15°) = 1.
- За да решим тригонометричното уравнение използваме таблица 1:
  10x – 15° = 45° + k.180° 10x = 60° + k.180°.
- Всички дадени отговори са в I квадрант, т.е. k = 0 и получаваме 10x = 60°, т.е. x = 6°.
- Верен отговор В).

Дефиниционното множество на функцията е:
- А)x > 1
- Б)x ≠ 1
- В)x (0, 1) (1, +∞)
- Г)x ≠ –1, x ≠ 0 и x ≠ 1
- Д)x ≠ 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна функция и на логаритмична функция (не разглеждаме ДМ на ирационална функция, защото коренният показател е нечетно число).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- ДМ на ирационална функция с коренен показател нечетно число е всяко х. Затова разглеждаме ДМ на дробна функция и на логаритмична функция:
- Верен отговор В).

Намерете границата
- А)1
- Б)2
- В)– 1
- Г)– 2
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете граница при неопределеност .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Имаме неопределеност и умножаваме числител и знаменател със спрегнатия израз на знаменателя:
- Верен отговор Б).

Дадена е функцията . Намерете .
- А)1
- Б)2
- В)– 1
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете първата производна като използвате таблица №1.
2. Заместете с x = 45°
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме правилата за диференциране от таблица 1:
  .
- Заместваме с x = 45° = :
- Верен отговор А).

Един от катетите на правоъгълен триъгълник има дължина 6. Кои от следните двойки числа могат да бъдат дължини на проекциите на катетите върху хипотенузата:
а) 3 и 9; б) 2 и 15; в) 4 и 5.
- А)Само а)
- Б)Само б)
- В)Само в)
- Г)Само б) и в)
- Д)Само а) и в)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадените отговори получаваме хипотенузата c:
  а) Ако b₁ = 3 и a₁ = 9, то тогава c = b₁ + a₁ = 3 + 9 = 12.
  б) Ако b₁ = 2 и a₁ = 15, то тогава c = b₁ + a₁ = 2 + 15 = 17.
  в) Ако b₁ = 4 и a₁ = 5, то тогава c = b₁ + a₁ = 4 + 5 = 9.
- Като използваме формула (5) установяваме, че само за отговори а) и в) се изпълнява, защото при а) имаме 36 = 3.12; при в) имаме 36 = 4.9.
- Верен отговор Д).

Равнобедрен триъгълник има основа с дължина 5 и бедро с дължина 20. Намерете дължината на ъглополовящата на ъгъл при основата.
- А)4
- Б)2
- В)3
- Г)6
- Д)8
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойствата на ъглополовяща.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (5) за ъглополовящата AL:
  4 CL = 4LB.
- Намираме CL и LB:
  BC = CL + LB = 4LB + LB = 5LB 20 = 5LB LB = 4, CL = 16.
- Използваме формула (6):
  AL² = AB . AC – CL . LB = 5.20 – 4.16 = 36 AL = 6.
- Верен отговор Г).

В ΔABC са дадени BC = 5, AB = 8 и B = 60°. Да се намери дължината на радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.
- А)3
- Б)2
- В)4
- Г)
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От косинусова теорема намерете АС.
2. Намерете лицето на ΔABC.
3. От формулата S = p.r намерете r – радиуса на вписаната окръжност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
  AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cos 60° = 8² + 5² – 2.8.5. = 49 AC = 7.
- Прилагаме формула (2) за ΔABC:
  S = . AB . BC . sin 60° = . 8 . 5 . = 10.
- Намираме радиуса r на вписаната окръжност като използваме формула (4):
  - p = = 10.
  - S = p . r 10 = 10 . r r = .
- Верен отговор Г).

За ΔABC е дадено, че AB = 12 и BAC = 45°. Да се намери дължината на височината към страната AC.
- А)8
- Б)7
- В)6
- Г)7
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте тригонометрична функция синус за ΔABH.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (10) за ΔABH:
  sin 45° = AH = 6.
- Верен отговор Д).

Периметърът на правоъгълник е 28, а лицето му е 48. Да се намери дължината на диагонала на правоъгълника.
- А)12
- Б)11
- В)10
- Г)9
- Д)8
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Съставете система и намерете дължините на страните a и b на правоъгълника;
2. От формулата a² + b² = d² намерете диагонала d.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От формулите за периметър и лице на правоъгълник съставяме система с неизвестни страните на правоъгълника и я решаваме чрез заместване:
- Т.е. и за двата случая, страните са 6 и 8.
- Използваме формула (12):
  d² = 6² + 8² = 100 d = 10.
- Верен отговор В).

Равнобедрен трапец има височина с дължина 1, а дължините на бедрото и малката основа са равни. Намерете лицето на трапеца, ако дължината на малката основа е половината от дължината на голямата основа.
- А)
- Б)
- В)
- Г)3
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете голямата и малката основа на трапеца – Отбележете петата на височината с т. Н и изразете отсечката АН чрез голямата и малката основа и след това от ΔAHD намерете малката основа.
2. Намерете лицето на трапеца.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение: