Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия


Триъгълник – Теорема на Талес. Подобни триъгълници. Ъглополовящи. Медиани. Височини и симетрали

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС


Теория

I. Теорема на Талес

Бележка:
Навсякъде в долните формули се използват означенията: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, ma, mb, mc – медиани към съответните страни; l, lb, lc – ъглополовящи към съответните страни; ha, hb, hc – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.
  • Права теорема – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
    (1): .
  • Следствие – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
    (2): .
    • От (1) следва, че, ако AB || CD, то .
    • Но (Фиг. 1) OD = OB + BD, OC = OA + AC, тогава: Теорема Талес свойство
  • Обратна теорема на Талес – Ако (Фиг. 1), то AB || CD.

II. Подобни триъгълници

  • Определение – Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1, то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие (Фиг. 2).
  • I признак – Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

    Ако A = A1 и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.

  • II признак – Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

    Ако и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.

  • III признак – Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

    Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1.

  • IV признак (само за правоъгълни триъгълници) – Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет и хипотенуза от един триъгълник са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от друг триъгълник, т.е.

    Δ ~ Δ1.

  • Свойства на подобни триъгълници – Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1, то свойства подобни триъгълници

    (4): = k2.

III. Ъглополовящи в триъгълник

  • Център на вписаната в триъгълника окръжност – Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в триъгълника окръжност.
  • Свойства (Фиг. 3):

    (5): Ако LAB = LAC .

    (6): la2 = AB.AC – BL.CL.

    (7): .

    Бележка:
    Формули (6) и (7) може да се запишат и за ъглополовящите към другите страни в триъгълника.
  • Основни задачи
    Зад. №1:
    Даден е равнобедрения ΔABC със страни AB = c, BC = AC = a. Ъглополовящите при върховете А и В пресичат страните ВС и АС съответно в точките N и M.
    а) Да се докаже, че MN е успоредна на АВ.
    б) Намерете дължината на отсечката MN.
    подобни триъгълници
    Зад. №2:
    Даден е ΔABC със страни AB = c и AC = b. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP || AC. Намерете отношението SΔLPB : SΔABC.
    подобни триъгълници и ъглополовяща

IV. Медиани в триъгълник

  • Медицентър – Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
  • Теорема за медицентър – Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
  • Формула за медианите в триъгълник:

    (8): 4ma2 = 2(b2 + c2) – a2.

  • Формули за връзка между страна и медиани:

    (9): 9a2 = 4(2mb2 + 2mc2 – ma2).

    Бележка:
    Формули (8) и (9) може да се запишат и за медианите към другите страни в триъгълника.
  • Основни задачи
    Зад. №3:
    Нека медианата от върха С на ΔABC пресича АВ в т. C1, а точка М е медицентърът на ΔABC с лице S. Да се докаже, че:
    а) всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника;
    б) триъгълниците АМВ, ВМС и СМА са равнолицеви,
    т.е. SΔAMB = SΔBMC = SΔCMA = S.
    в) трите медиани на ΔABC го разделят на 6 равнолицеви триъгълника.
    медиана в подобни триъгълници медиана и лице в триъгълници
    Зад. №4:
    Нека точка М е медицентърът на ΔABC с лице S и CC1 и BB1 са медиани. Да се намери лицето на ΔC1MB1.
    медиана и лице в подобни триъгълници
    Зад. №5:
    Нека точките М, N и Р са среди съответно на страните АС, ВС и AB на ΔABC и триъгълник ABC има лице S. Да се:
    а) докаже, че ΔAPM ~ ΔMNC ~ ΔBPN ~ ΔPNM ~ ΔABC.
    б) намери лицето на ΔMNC.
    в) намери лицето на ΔMNP.
    лице и медицентър в подобни триъгълници

V. Височини и симетрали в триъгълник

Височини и симетрали в триъгълник
  • Пресечна точка на височините – Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. На чертежа ортоцентърът е отбелязан с т. Н, като на Фиг. 4 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 5 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 6 ΔABC е тъпоъгълен.
  • Пресечна точка на симетралите – Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежа ортоцентърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 7 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 8 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 9 ΔABC е тъпоъгълен.
  • Основна задача:
    Зад. №6:
    Нека A1, B1, C1 са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и ABC = β, BAC = α, ACB = γ. Да се докаже, че:
    а) ако т. Н е ортоцентър на ΔABC, то BHC = 180° – α, AHB = 180° – γ, AHC = 180° – β;
    б) ΔAB1C1, ΔA1BC1, ΔA1B1C, ΔA1B1C1 са подобни на ΔABC и за първите три триъгълника да се намери коефициента на подобие;
    в) C1A1B1 = 180° – 2α, A1B1C1 = 180° – 2β, A1C1B1 = 180° – 2γ;
    г) B1C1 = acos α; C1A1 = bcos β; A1B1 = ccos γ;
    д) височините на ΔABC са ъглополовящи на ΔA1B1C1.
    височини в триъгълници
  • Бележка:
    • В равностранен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност съвпадат, т.е. те лежат върху височината.
    • В равнобедрен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност лежат върху височината към основата, но не съвпадат.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама