Теорема на Талес. Подобни триъгълници

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Триъгълник – Теорема на Талес. Подобни триъгълници. Ъглополовящи. Медиани. Височини и симетрали

Съдържание на темата:

Теорема на Талес.
Подобни триъгълници.
Ъглополовящи в триъгълник.
Медиани в триъгълник.
Височини и симетрали в триъгълник.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС

Теория

I. Теорема на Талес

Бележка:

Навсякъде в долните формули се използват означенията: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, m_a, m_b, m_c – медиани към съответните страни; l_, l_b, l_c – ъглополовящи към съответните страни; h_a, h_b, h_c – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.

Права теорема – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
(1): .
Следствие – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
(2): .
От (1) следва, че, ако AB || CD, то .

Но (Фиг. 1) OD = OB + BD, OC = OA + AC, тогава:
Обратна теорема на Талес – Ако (Фиг. 1), то AB || CD.

II. Подобни триъгълници

Определение – Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие (Фиг. 2).
I признак – Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:
Ако A = A₁ и B = B₁ ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
II признак – Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:
Ако и B = B₁ ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
III признак – Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:
Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
IV признак (само за правоъгълни триъгълници) – Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет и хипотенуза от един триъгълник са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от друг триъгълник, т.е.
Δ ~ Δ₁.
Свойства на подобни триъгълници – Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то
(4): = k².

III. Ъглополовящи в триъгълник

Център на вписаната в триъгълника окръжност – Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в триъгълника окръжност.
Свойства (Фиг. 3):
(5): Ако LAB = LAC .

(6): l_a² = AB.AC – BL.CL.

(7): .

Бележка:
Формули (6) и (7) може да се запишат и за ъглополовящите към другите страни в триъгълника.
Основни задачи

Зад. №1:

Даден е равнобедрения ΔABC със страни AB = c, BC = AC = a. Ъглополовящите при върховете А и В пресичат страните ВС и АС съответно в точките N и M.
а) Да се докаже, че MN е успоредна на АВ.
б) Намерете дължината на отсечката MN.

Зад. №2:

Даден е ΔABC със страни AB = c и AC = b. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP || AC. Намерете отношението S_ΔLPB : S_ΔABC.

IV. Медиани в триъгълник

Медицентър – Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
Теорема за медицентър – Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
Следствие – Ако медианата е CC₁, а т. М – медицентър на триъгълника, то:
CM = CC₁, MC₁ = CC₁.

Бележка:
За извод виж ОЗ.4.1.
Формула за медианите в триъгълник:
(8): 4m_a² = 2(b² + c²) – a².
Формули за връзка между страна и медиани:
(9): 9a² = 4(2m_b² + 2m_c² – m_a²).

Бележка:
Формули (8) и (9) може да се запишат и за медианите към другите страни в триъгълника.
Основни задачи

Зад. №3:

Нека медианата от върха С на ΔABC пресича АВ в т. C₁, а точка М е медицентърът на ΔABC с лице S. Да се докаже, че:
а) всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника;
б) триъгълниците АМВ, ВМС и СМА са равнолицеви,
т.е. S_ΔAMB = S_ΔBMC = S_ΔCMA = S.
в) трите медиани на ΔABC го разделят на 6 равнолицеви триъгълника.

Зад. №4:

Нека точка М е медицентърът на ΔABC с лице S и CC₁ и BB₁ са медиани. Да се намери лицето на ΔC₁MB₁.

Зад. №5:

Нека точките М, N и Р са среди съответно на страните АС, ВС и AB на ΔABC и триъгълник ABC има лице S. Да се:
а) докаже, че ΔAPM ~ ΔMNC ~ ΔBPN ~ ΔPNM ~ ΔABC.
б) намери лицето на ΔMNC.
в) намери лицето на ΔMNP.

V. Височини и симетрали в триъгълник

Пресечна точка на височините – Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. На чертежа ортоцентърът е отбелязан с т. Н, като на Фиг. 4 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 5 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 6 ΔABC е тъпоъгълен.
Пресечна точка на симетралите – Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежа ортоцентърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 7 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 8 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 9 ΔABC е тъпоъгълен.
Основна задача:

Зад. №6:

Нека A₁, B₁, C₁ са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и ABC = β, BAC = α, ACB = γ. Да се докаже, че:
а) ако т. Н е ортоцентър на ΔABC, то BHC = 180° – α, AHB = 180° – γ, AHC = 180° – β;
б) ΔAB₁C₁, ΔA₁BC₁, ΔA₁B₁C, ΔA₁B₁C₁ са подобни на ΔABC и за първите три триъгълника да се намери коефициента на подобие;
в) C₁A₁B₁ = 180° – 2α, A₁B₁C₁ = 180° – 2β, A₁C₁B₁ = 180° – 2γ;
г) B₁C₁ = acos α; C₁A₁ = bcos β; A₁B₁ = ccos γ;
д) височините на ΔABC са ъглополовящи на ΔA₁B₁C₁.

Бележка:

В равностранен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност съвпадат, т.е. те лежат върху височината.
В равнобедрен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност лежат върху височината към основата, но не съвпадат.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура