Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра


I. Функции

  • Определение – Правилото f, посредством което на всяка стойност на x се съпоставя точно една стойност на y, се нарича функция и обикновено се отбелязва: y = f (x).
  • Понятията аргумент и функция – Величината x наричаме аргумент, а величината y – функция.
  • Дефиниционно множество ДМ – Стойностите, които може да заема аргумента, се наричат дефиниционно множество ДМ или дефиниционна област на функцията.
  • Функционално множество (множество от стойностите на функцията) ФМ – Множеството от стойности, които може да заема y, се нарича функционално множество ФМ (Фиг. 1). Множеството ФМ е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС), т.е.:

    ФМ [НМС; НГС].

  • Кога е определена една функция – За да бъде определена една функция, трябва да са дадени:
    • Дефиниционното множество ДМ.
    • Правилото f, което съпоставя на всяко x ДМ точно едно определено y ФМ.
  • Дефиниционно множество на някои функции
  • Начини за задаване на функция:
    • Таблично – Задава се чрез стойностите на наредената двойка (x, y), където y = f (x). Таблицата обикновено се попълва опитно или чрез наблюдение, т.е. в даденото правило задаваме стойности на аргумента x и получаваме стойностите на функцията f (x).
    • Аналитично – Когато правилото f е зададено чрез формула.
      Например:y = f(x) = 2x2 – 1; .
      Ако нищо не е казано за дефиниционната област ДМ на функцията y = f(x), се смята, че тя се състои от всички стойности на аргумента x, за които могат да се извършат действия посочени във формулата.
    • Словесно – Когато правилото f, което съпоставя на всяко x точно определено y, е зададено описателно.
      Например: На всяко x съпоставяме най-голямото ненадминаващо го цяло число, т.е. при x = 1,4 имаме y = 1, при x = – 1,4 имаме y = – 2.
    • Графично – Графика на функцията y = f(x) се нарича множеството от всички точки с координати (x, y=f(x)), където x ДМ, определени в правоъгълна координатна система.
      Всяка функция има графика.
      Една функция y = f(x), където x ДМ, се нарича константа, ако за всяка стойност на x функцията приема една и съща стойност и се записва f(x) = const. В зависимост от дефиниционното множество графиката на константната функция f(x) = const е точка, права или отсечка.
  • Точки лежащи на графиката на функция – Нека да е дадена точката M(x1;y1) и функцията y = f(x). Тази точка ще лежи на графиката на функцията, ако е изпълнено равенството

    y1 = f (x1).

    Пример: Виж Зад.№2

  • Сложна функция – Нека да е дадена функцията y = f(u), където u = f(x), тогава функцията y = f(f(x)), се нарича сложна (съставна) или функция от функция.
    Например: .

    Пример: Виж Зад.№1

II. Граници на функции

Ако функциите f (x) и g (x) имат граница при x → a, то

Теорема 1: (1): [f (x) ± g (x)] = f (x) ± g (x).

Теорема 2: (2): [f (x) . g (x)] = f (x) . g (x).

Следствие 1: (3): [k . f (x)] = k . f (x), където k е константа.

Следствие 2: (4): [f (x)]n = [ f (x)]n, където n е цяло положително число.

Теорема 3: (5): , където g (x) ≠ 0.

  • Видове неопределености – Ако някое аритметично действие няма стойност, то резултатът наричаме неопределеност. При граници на функции имаме няколко вида неопределеност:
    • Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 3, ако f (x) = 0 и g (x) = 0.
    • Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 3, ако f (x) = ∞ и g (x) = ∞.
    • Неопределеност от вида ∞ – ∞: Тя се получава от Теорема 1, ако f (x) = +∞ и g (x) +∞, то [f (x) + g (x)] = +∞, но [f (x) – g (x)] може, както да съществува, така и да не съществува.
    • Неопределеност от вида 0.∞: Тя се получава от Теорема 2, ако f (x) = 0, g (x) = ∞
  • Някои начини за намиране на граници: При решаване на задачи с граници, първо прилагаме непосредствено теоремите за граници на функции (от (1) до (5)). Ако получим число, то това число е търсената граница. Ако получим неопределеност, то решението е в зависимост от вида на неопределеността:
    • Неопределеност от вида – За да премахнем тази неопределеност, числителят и знаменателят се преобразуват по следните начини: като се разложат на множители (при квадратен тричлен); като се изнесе общ множител пред скоби, за да се съкрати; умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатите им изрази (един израз е спрегнат, когато при умножаването му с дадения се получава рационален израз).
      Бележки:
      1. Ако има корен само в числителя (или знаменателя), умножаваме само с него.
      2. Ако числителят и знаменателят изглежда като формулите a3 – b3, a3 + b3 и т.н., за образуването на спрегнатите му се използва втората част от тези формули.
        Например: Спрегнатият на a3 – b3 е (a2 + ab + b2).

      Пример: Виж Зад.№4

    • Неопределеност от вида – За да премахнем тази неопределеност разделяме числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или изнасяме неизвестното с най-висока степен) и използваме (8).

      Пример: Виж Зад.№6

    • Неопределеност от вида ∞ – ∞ – Тази неопределеност се премахва, като я преобразува в неопределеност от вида или . Това става, като умножим и разделим със спрегнатия израз.

      Пример: Виж Зад.№8

    • Неопределеност от вида 0.∞ – Тази неопределеност се премахва, като я преобразува в неопределеност от вида или . Това става, като умножим и разделим със спрегнатия израз.
    • Граници от тригонометрични функции – Преобразуваме тригонометричната функцията така, че да се сведе до търсене на основна граница (от (12) до (14)).

      Пример: Виж Зад.№9

III. Непрекъснатост на функция

Функцията f(x) е непрекъсната в точка а, ако:

  • Точката а принадлежи на ДМ на f(x).
  • Функцията f(x) има граница при x → a и тази граница е равна на стойността на функцията в тази точка, f (x) = f (a).

Ако не е изпълнено едно от условията описани в определението, казваме, че функцията f(x) е прекъсната в точката а (Фиг.2). Ако функцията f(x) не е дефинирана в точката а, но има граница в тази точка (т.е. съществува f (x) = A), то ДМ на функцията може да се разшири като положим f(a) = A. Така функцията f(x) става непрекъсната в точката а. В такъв случай казваме, че точката а е точка на отстранимо прекъсване.

IV. Диференцируемост на функция

  • Определение – Една функция е диференцируема в дадена точка, ако има първа производна в тази точка.
    Първата производна на функцията y в дадена точка (виж Фиг. 3) се дефинира, като границата (ако съществува) на отношението (нарастването на функцията и нарастването на аргумента), когато нарастването на аргумента клони към нула, т.е. f' (x) = y' = .
    За намирането на първа производна се използва Таблица №1. производна
  • Механичен смисъл на производната – Ако функциите f (x) и g (x) имат граница при x → a, то

    Теорема 1: Скоростта на едно тяло, движещо се по път s = f(t) в даден момент t0, е равна на първата производна на пътя, т.е. v = s' (t0).

    Теорема 2: Ускорението a на тяло, движещо се със скорост v = f(t), е равно на първата производна от скоростта, т.е. a = v'(t0) = s'' (t0).

  • Геометричен смисъл на производната – Нека графиката на функцията y=f(x) е кривата MN (Фиг. 3). Нека през двете точки M и N да построим права q, която сключва с абсцисната ос ъгъл β. Когато точката N се приближава към точката M, права q се стреми към една гранична права t0. Тази гранична права се нарича допирателна към графиката на функцията f(x) в дадената точка (на Фиг. 3 тази точка е M). Нека ъгълът, който сключва допирателната с оста Ox, означим с α. Производната на функцията f(x) е границата = f' (x). Тангенсът на ъгъла, когато допирателната към кривата в дадена точка сключва с абсцисната ос, се нарича ъглов коефициент k на допирателната в тази точка и се означава с k = tg α. За ъгловия коефициент k имаме

    (15): k = tg α = tg β = = f' (x).

    Изразът (15) ни дава геометричния смисъл на понятието производна, т.е. стойността на първата производна на една функция в дадена точка е равна на ъгловия коефициент на допирателната към графиката на функцията в същата точка.

    Пример: Виж Зад.№13

V. Четност

Една функция е четна за всяко х ДМ, ако графиката ѝ е симетрична на ординатната ос y (фиг. 4), т.е. изпълнено е равенството

(16): f (x) = f (–x).

Например:
  1. Всеки квадратен тричлен f(x) = ax2 + bx + c е четна функция, ако b = 0.
  2. Функцията f(x) = x2n e винаги четна.
  3. y = |x| е винаги четна и т.н.
  4. От тригонометричните функции само функцията cos x е четна.

VI. Нечетност

Функцията y = f(x) е нечетна за всяко x ДМ, ако графиката ѝ е централно симетрична фигура спрямо началото на координатната система (фиг. 5), т.е. изпълнено е равенството

(17): f (–x) = –f (x).

Например:
  1. Функцията y = x2n+1 е винаги нечетна (и въобще всяка функция която съдържа само нечетни степени на аргумента, е нечетна);
  2. Всички тригонометричните функции са нечетни, без cos x.

Пример: Виж Зад.№15

VII. Периодичност

Функцията f(x) се нарича периодична, ако съществува число а такова, че за всяко х ДМ е изпълнено x – a ДМ. и x + a ДМ, и освен това стойността на функцията не се променя, т.е.

(18): f (x – a) = f (x + a) = f (x).

Най-малкото такова положително число (ако съществува) се нарича елементарен период на функцията.

Например:
  1. Функциите y = sin x и y = cos x са периодични с елементарен период 2π, а функциите y = tg x и y = cotg x са периодични с елементарен период π.
  2. Функцията f(x) = const е периодична, защото всяко положително число е период на тази функция.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама