Решение:

• В дадената функция заместваме x с x – 1:
  f(x – 1) = 2(x – 1)² + 1 = 2(x² – 2x + 1) + 1 = 2x² – 4x + 3.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Имаме неопределеност и затова разлагаме числител и знаменател на множители:
  • x² – 4 = (x – 2)(x + 2).
  • x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2), защото D = 9, x₁ = –1, x₂ = 2.
• Намираме границата:
  .
• Верен отговор Б).

Решение:

Решение:

• Имаме неопределеност от вида безкрайност върху безкрайност. За да я премахнем разделяме числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното:
• Верен отговор Г).

Решение:

Решение:

• Използваме Таблица 1:
  y = x⁵ + + tg x = x⁵ + .
• Верен отговор Г).

Решение:

• Използваме Таблица 1:
  y = sin (x² + 3x) + (x² – 1)² = cos(x² + 3x).(2x + 3) + 2(x² – 1).2x = (2x + 3)cos(x² + 3x) + 4x(x² – 1).
• Верен отговор Д).

Решение:

• Стойността на първата производна на една функция в дадена точка е равна на ъгловия коефициент на допирателната към графиката на функцията в същата точка, т.е.:
  • Намираме първата производна:
    f'(x) = 2x + 5.
  • Графиката на функцията f(x) пресича ординатната ос в точка, при която x = 0, т.е.:
    k = f'(0) = 2.0 + 5 = 5.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Използваме това, че:
  • от тригонометричните функции само косинуса е четна функция, т.е. отпадат отговори (А) и (Г);
  • всяка степенна функция с четен степенен показател е четна функция, т.е. отпадат отговори (Б) и (Д).
• Верен отговор В).

Решение:

• За всяка функция използваме формули (16) и (17) и Таблица 2:

  а) f(–x) = –x cos (–2x) = – x cos 2x = – f(x), т.е. тази функция е нечетна.

  б) f(–x) = (–x)² + cotg (–x) = x² – cotg x ≠ f(x), т.е. тази функция е нито четна, нито нечетна.

  в) f(–x) = –x + sin (–3x) = –x – sin 3x = –(x + sin 3x) = – f(x), т.е. тази функция е нечетна.

• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме f[f(x)] като във функцията f(x) заместим x с 1 – 3x:
  f[f(x)] = 1 – 3(1 – 3x) = 1 – 3 + 9x = 9x – 2.
• Решаваме неравенството:
  f[f(x)] > 1 9x – 2 > 1 x > .
• Верен отговор Г).

Решение:

• Полагаме s = x + 1 x = s – 1.
• Във функцията f(x + 1) заместваме x с s:
  f(s) = (s – 1)² – 3(s – 1) + 2 = s² – 2s + 1 – 3s + 3 + 2 = s² – 5s + 6.
• Неизвестното може да се отбележи с произволна буква, т.е. в представянето на f(s) неизвестното s може да се замести с x и получаваме f(x) = x² – 5x + 6.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Използваме Таблица 1:
  .
• Верен отговор Б).

Решение:

• Преобразуваме функцията като използваме формула (7):
  y = 2 sin^–3 2x.
• От Таблица 1 намираме производната на степен и след това на сложна тригонометрична функция:
  y ' = 2.(–3) sin^{– 3 – 1} 2x . cos 2x . 2 = –12 sin^{– 4} 2x . cos 2x = .
• Верен отговор В).

Решение:

• От Таблица 1 намираме производната на корен и дроб:
  .
• Верен отговор В).

Решение:

• Намираме първата производна на функцията f (x):
  f'(x) = –3x² + 3.
• Намираме y координатата на точка с абсциса x = 2:
  f'(2) = –3.2² + 3 = –9.
• От формула 15 определяме ъгъла:
  tg α = f'(2) = –9 < 0.
• От Таблица 1 се вижда, че tg α < 0 във втори квадрант, т.е. ъгълът α е тъп.
• Верен отговор А).

Решение:

• Намираме първата производна на функцията f (x):
  f'(x) = 2x – 3.
• Намираме y координатата на точка с абсциса x = 1:
  f'(1) = 2.1² – 3 = – 1.
• От формула 15 определяме ъгъла:
  tg α = f'(1) = –1.
• От Таблица 1 се вижда, че tg α = –1 при α = .
• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме f(–x) като във f(x) заместим x с –х:
  f(–x) = (a – 2)(–x) + 3a – 4 = –(a – 2) x + 3a – 4.
• Една функция е четна когато е изпълнено условие (16):
  f(–x) = f(x) –(a – 2) x + 3a – 4 = (a – 2)x + 3a – 4 –ax + 2x + 3a – 4 = ax – 2x + 3a – 4 a = 2.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме f(–x) като във f(x) заместим x с –х:
  f(–x) = (a – 1)(–x)² – 3(–x) + a – 1 = (a – 1)x² + 3x + a – 1.
• Една функция е нечетна когато е изпълнено условие (17):
  f(–x) = –f(x) (a – 1) x² + 3x + a – 1 = –[(a – 1) x² – 3x + a – 1] 2(a – 1) x² + 2a – 2 = 0
  2(a – 1) (x² + 1) = 0.
• Това уравнение е изпълнено когато a – 1 = 0 (защото x² + 1 ≠ 0 за всяко x и освен това x е произволно число), т.е. a = 1.
• Верен отговор Б).

Решение:

• С помощта на условията (16) и (17), и Таблица 2 проверяваме всяка функция от кой тип е.

  А) y (–x) = (–x) cos (–x) = – x cos x = – y (x), т.е. тази функция е нечетна.

  Б) , т.е. тази функция е четна.

  В) , т.е. тази функция е нечетна.

  Г) y (–x) = [tg 2(–x)]² + 3(–x)² = (–tg 2x)² + 3x² = tg² 2x + 3x² = y (x), т.е. тази функция е четна.

  Д) y (–x) = sin 5(–x) + cos 2(–x) = – sin 5x + cos 2x, т.е. тази функция е нито четна нито нечетна.

• Верен отговор Д).