Функции. Граници и производна на функция

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

От лявата страна на неравенството имаме сложна функция и затова на местото на аргумента х във функцията f(x) поставете стойността на g(x).

От лявата страна на неравенството имаме сложна функция и затова

f(g(x)) = 2^g(x) – 1 = 2^{x + 1} – 1.
f(g(x)) ≤ 1 2^{x + 1} – 1 ≤ 1 2^{x + 1} ≤ 2 x + 1 ≤ 1 x ≤ 0.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Абсцисите на общите точки (ако има такива) на графиките на две функции са решенията на уравнението f(x) = g(x).

f(x) = g(x) x² – 3x + 2 = x² + 5x – 6 x = 1, т.е. двете функции имат една обща точка с абсциса x = 1.
Ординатата на търсената точка намираме като заместим х в една от функциите, т.е. f(1) = 1² – 3.1 + 2 = 0.
Търсената точка има координати M(1; 0).

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Параболите имат единствена обща точка, ако уравнението f(x) = g(x) има едно решение.

Общата точка намираме от решенията на уравнението f(x) = g(x), т.е.
x² – 1 = 3x² – 2ax + 1 x² – ax + 1 = 0.
Това уравнение има едно решение, когато D = 0, т.е. a² – 4 = 0 a_1/2 = ±2.
Търсените стойности на параметъра са a_1/2 = ±2.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме неопределеност , затова разложете числителя на множители.

Разлагаме числителя на множители, т.е. 9x² + 12x – 5 = 9 = (3x + 5)(3x – 1).
+ 5 = 6.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме неопределеност и в числител имаме корен, затова умножете числителя и знаменателя със спрегнатия израз на числителя.

Имаме неопределеност и в числител имаме корен. За да премахнем тази неопределеност умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатия израз на числителя:
Прилагаме Теорема 3 и получаваме
.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме неопределеност . За да я премахнете разделете числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или изнасяме неизвестното с най-висока степен) и приложете Формула (8).

Имаме неопределеност . За да я премахнем разделяме числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или изнасяме неизвестното с най-висока степен) и използваме Формула (8):

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме неопределеност . Решаваме я както задача 6, но тук използваме това, че = |x| = –x, когато x → – ∞.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме неопределеност от вида ∞ – ∞. Тя се премахва, като я преобразувате в неопределеност от вида или . Това става, като умножим и разделим със спрегнатия израз.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме граница от тригонометрични функции, затова умножете числител и знаменател с подходящо число така, че да използвате Формула (12).

.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Имаме граница от тригонометрични функции. За да използвате Формула (12) трябва за числител и знаменател да приложите Тригонометрични формули (ТФ.3.1) и (ТФ.1.2) от Таблица на всички тригонометрични тъждества.

.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Щом търсим първата производна на сложна тригонометрична функция използваме правилата за диференциране на тригонометрична функция от Таблица №1.

.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Разпишете модула като нулирате подмодулната величина и разгледате два случая. След това записвате функцията за тези случаи.

Разписваме модула като записваме функцията във вида
Намираме производната на функцията в съответния интервал и получаваме

Бележка:

Функцията f (x) няма производна при x = –, защото лявата и дясната граница са = 2; = –2, т.е. те не съвпадат и затова границата y' (x) = не съществува.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула (15) от геометричния смисъл на производната.

Намираме първата производна: y' = 6x² – 18x +12.
По условие търсим допирателната успоредна на оста 0x, затова α = 0, а от там k = 0 и от формула (15) записваме 6x² – 18x + 12 = 0 |:6 x² – 3x + 2 = 0 x₁ = 1; x₂ = 2.
Тогава y(1) = 2.1³ – 9.1² + 12.1 + 1 = 6 и y(2) = 2.2³ – 9.2² + 12.2 + 1 = 5.
Следователно върху графиката на дадената функция има две точки с координати (1; 6) и (2; 5), за които допирателната е успоредна на Ox.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула (15) от геометричния смисъл на производната.

Намираме първата производна: y' = 2x – 2.
Намираме коефициента k = tg = – 1.
От геометричния смисъл на производна (15) следва, че: 2x – 2 = – 1 x = 0,5. Тогава y(0,5) = – 0,5.
Търсената точка е с координати (0,5; –0,5).

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формули (16) и (17).

Заместваме х с –x:
= – f (x).
Изпълнено е условие (17), т.е. функцията f (x) е нечетна.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формули (17) от Функции.

Намираме f(–x) = (a – 2)(–x)² – 3a(–x) + 2a – 4 = (a – 2)x² + 3ax + 2a – 4.
Дадената функция е нечетна когато е изпълнено (17), т.е. f(–x) = – f(x) (a – 2)x² + 3ax + 2a – 4 = – (a – 2)x² + 3ax – 2a + 4 2(a – 2)x² + 2(a – 2) = 0 2(a – 2)(x² + 1) = 0.
Решаваме това уравнение спрямо a:
- a – 2 = 0, т.е. a = 2.
- x² + 2 = 0. Решенията на това уравнение не зависи от параметъра a.
Търсената стойност на параметъра е a = 2.