Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра


I. Модул (абсолютната стойност)

О – Модулът (абсолютната стойност) на едно число може да бъде: |a| = a, ако a ≥ 0 и |a| = –a, ако a ≤ 0. От това определение следва, че

(1): |a| ≥ 0 за всяко a.

II. Модулни уравнения

  • Основен вид на модулно уравнение:

    (2): |f(x)| = g(x), където f(x) e произволна функция, а g(x) е или число или функция.

  • Пример:

    |x – 4| = 8, или |2 – 3x| = 2x + 4.

  • Дефиниционно множество (ДМ) – От (1) следва, че решенията на (2) зависят от знака на g(x):
    • Ако g(x) < 0, то (2) няма решение;
    • Ако g(x) ≥ 0, то (2) има решение.
    Бележка:
    Решенията на неравенството g(x) ≥ 0 определят ДМ. на модулното уравнение (2).

III. Начини за решаване на модулни уравнения

  • Алгебричен метод – Удобно е този метод да се прилага, когато g(x) = c не е отрицателно число. Решенията му се намират по следните начини:

    I начин: Ако c > 0, то уравнение (2) се свежда до решаването на двете уравнения:
    f(x) = c или f(x) = – c.

    II начин: За да се освободим от модула повдигаме на квадрат двете страни на (2) и решаваме полученото уравнение.

    Например: x – 1| = 4

    I начин: x – 1 = 4 x1 = 5 или x – 1 = – 4 x 2 = – 3

    II начин: (|x – 1|)2=42 x2–2x+1=16 x2 – 2x – 15 = 0 x1 = 5, x 2 = – 3

  • Метод на подинтервалите – Може да се прилага при всички модулни уравнения. Удобно е да използваме следното правило:
    Правило:
    • Стъпка А: Решаваме уравнението f(x) = 0, за всеки от модулите, участващи в уравнението (2). Нека да предположим, че решението на горното уравнение е x0
    • Стъпка В: Определяме знаците на всеки от модулите вляво и вдясно от x0. Ако модулите са повече от един, добре е тези резултати да нанесем в таблица.
    • Стъпка C: Накъсваме дефиниционната област (ДМ.) на подинтервали, като нанесем числата x0 и определяме подинтервала отляво да е затворен, а отдясно – отворен (когато лявата страна е – ∞ или число, непринадлежащо на ДМ., интервалът отляво не се затваря).
    • Стъпка D: Решаваме уравнението (2) във всеки от подинтервалите като заместим модулите със знаците от таблицата и проверяваме дали получените решения принадлежат на разглеждания подинтервал. Отпадат тези, които не принадлежат.
    • Стъпка E: Обобщаваме всички решения.

IV. Модулни неравенства и начини за решаването им

  • Ако имаме неравенството |f(x)| < c, където c е число, то решенията му зависят от числото с
    • При c ≤ 0 неравенството няма решение;
    • При c > 0 решенията на неравенството се определят от системата

      (3):

  • Ако имаме неравенството |f(x)| > c, където c е число, то решенията му зависят от числото с
    • При c ≤ 0 неравенството има решение за всяко x;
    • При c > 0 даденото неравенство се разпада на две неравенства

      (4): f(x) > c или f(x)<–c.

  • Ако имаме неравенството |f(x)| > g(x) или |f(x)| < g(x), където g(x) съдържа неизвестно, то полагаме, че: g(x) > 0 и прилагаме формула (I. 6) или (I. 7).
  • Ако имаме неравенството |f(x)| > g(x) или |f(x)| < g(x), където g(x) съдържа неизвестно и други модули, то прилагаме Метода на подинтервалите.

    Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама