Модулни уравнения и неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Вижте:

ТеорияОсновни задачиТест за УНСС

Тест – Технически университет и матура

Решенията на уравнението |6 – 2x| – 5 = 0 са:
- А)–0,5 и 1
- Б)–5,5 и 0,5
- В)–0,5 и 5,5
- Г)5,5 и 0,5
- Д)Няма решение
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете модулното уравнение в основен вид и го решете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Привеждаме уравнението в основен вид:
  |6 – 2x| – 5 = 0 |6 – 2x| = 5.
- За дясната страна имаме 5 > 0 и решенията му са:
  - 6 – 2x = 5 x = = 0,5.
  - 6 – 2x = –5 x = = 5,5.
- Верен отговор Г).

Колко решения има уравнението |5 – |2 – 2x|| = 5?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Разпишете най-външният модул.
2. Решете получените две модулни уравнения, които не са в основен вид.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Спрямо най-външният модул, уравнението е в основен вид с дясна страна 5 > 0 и затова разписваме две уравнения:
  A) 5 – |2 – 2x| = 5.
  B) 5 – |2 – 2x| = –5.
- Привеждаме уравнение А в основен вид и го решаваме:
  –|2 – 2x| = 5 – 5 |2 – 2x| = 0.
  Дясната страна на това уравнение е 0 и разписваме само едно уравнение:
  2 – 2x = 0 x₁ = 1.
- Привеждаме уравнение B в основен вид и го решаваме:
  –|2 – 2x| = –5 – 5 |2 – 2x| = 10.
  Дясната страна на това уравнение е 10 > 0 и разписваме две уравнения:
  - 2 – 2x = 10 x₂ = –4.
  - 2 – 2x = –10 x₃ = 6.
- Даденото уравнение има три решения.
- Верен отговор Г).

Решенията на уравнението |x² + 2x – 15| = x + 5 са:
- А)–5, –3, 2, 4
- Б)–5, 2, 4
- В)2, 4
- Г)–2, 4, 5
- Д)–5, 2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Модулното уравнение |f(x)| = g(x) има решение когато g(x) ≥ 0. Даденото уравнение е в основен вид.
1. Намерете ДМ.
2. Разпишете две уравнения.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Даденото уравнение е в основен вид. Намираме ДМ.:
  x + 5 ≥ 0 x ≥ –5.
- В това дефиниционно множество разглеждаме две уравнения:
  - x² + 2x – 15 = x + 5 x² + x – 20 = 0, x₁ = –5, x₂ = 4. И двата корена принадлежат на ДМ.
  - x² + 2x – 15 = –(x + 5) x² + 3x – 10 = 0, x₁ = –5, x₂ = 2. И двата корена принадлежат на ДМ.
- Крайните решения на даденото уравнение са числата –5, 2 и 4.
- Верен отговор Б).

Колко решения има уравнението |3x – 2| = |2 – 3x|?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)4
- Д)Безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте до уравнение от вида 0.x = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме дясната страна на даденото модулно уравнение:
  |3x – 2| = |2 – 3x| |3x – 2| = |–1.(3x – 2)| = |–1|.|3x –2| = |3x – 2|.
- Това уравнение е вярно за всяко х, защото от двете страни на равенството имаме едно и също число.
- Верен отговор Д).

Най-голямото цяло число решение на уравнението |2x – 1| + 2x = 1 е:
- А)
- Б)0
- В)10
- Г)15
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте уравнението до основен вид и го решете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме уравнението до основен вид:
  |2x – 1| + 2x = 1 |2x – 1| = 1 – 2x.
- Намираме ДМ.:
  1 – 2x ≥ 0 x ≤ .
- В това дефиниционно множество разглеждаме две уравнения:
  - 2x – 1 = 1 – 2x 4x = 2 x = ДМ.
  - 2x – 1 = –(1 – 2x) 0.x = 0 x ДМ.
- Решенията на даденото уравнение са x .
- Най-голямото цяло число принадлежащо на този интервал е 0.
- Верен отговор Б).

Броят на различните корени на уравнението x² + 2|x| = 0 е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ. и преценете кога уравнението е вярно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме уравнението до основен вид:
  x² + 2|x| = 0 2|x| = –x².
- Намираме ДМ.:
  –x² ≥ 0 x = 0.
- В това дефиниционно множество единственото решение на уравнението е x = 0, т.е. даденото уравнение има само едно решение.
- Верен отговор Б).

Решенията на уравнението x² + 3|x| – 4 = 0 са:
- А)–1 и 1
- Б)–2 и 2
- В)–4 и 4
- Г)–1, 1 и 2
- Д)–4, –1 и 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте уравнението до основен вид и го решете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме уравнението до основен вид:
  x² +3|x| – 4 = 0 3|x| = 4 – x².
- Намираме ДМ.:
  4 – x² ≥ 0 (2 – x)(2 + x) ≥ 0 x [–2; 2].
- В това дефиниционно множество разглеждаме две уравнения:
  - 3x = 4 – x² x² + 3x – 4 = 0, x₁ = –4 ∉ ДМ., x₂ = 1 ДМ.
  - 3x = –(4 – x²) x² – 3x – 4 = 0, x₁ = 4 ∉ ДМ., x₂ = –1 ДМ.
- Решенията на даденото уравнение са x₁ = –1, x₂ = 1.
- Верен отговор A).

Решенията на уравнението x + |x – 3| – 3 = 0 са:
- А)x = 3
- Б)x = –3
- В)x (–∞; 3]
- Г)x = –2
- Д)x = 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте уравнението до основен вид и го решете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме уравнението до основен вид:
  x + |x – 3| – 3 = 0 |x – 3| = 3 – x.
- Намираме ДМ.:
  3 – x ≥ 0 x ≤ 3.
- В това дефиниционно множество разглеждаме две уравнения:
  - x – 3 = 3 – x 2x = 6 x = 3 ДМ.
  - x – 3 = –(3 – x) 0.x = 0. Решенията са всяко x принадлежащо на ДМ. или x ≤ 3.
- Решенията на даденото уравнение са x (–∞; 3].
- Верен отговор В).

Броя на целите числа решения на неравенството |x² – 3| < 1 е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)Безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете модулното неравенство по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Модулното неравенство е в основен вид и използваме Формула (3):
- В тези два интервала цели числа няма.
- Верен отговор А).

Решенията на неравенството |x² – x + 1| ≤ x са:
- А)x Ø
- Б)x (–∞; +∞)
- В)x (–∞; –3) (5; +∞)
- Г)x (–3; 5)
- Д)x = 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: За да използвате Формула (3) трябва да положите, че x ≥ 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За да използваме формула (3) полагаме, че дясната страна на даденото неравенство не е отрицателна, т.е. x ≥ 0.
- Прилагаме формула (3):
- Верен отговор Д).

Колко решения има неравенството |2x – 3| ≤ 0?
- А)Неравенството няма решение
- Б)Безброй много
- В)1
- Г)2
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че модула на едно число не може да е отрицателно число (формула 1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Като използваме това, че модула на едно число не може да е отрицателно, то решенията на даденото неравенство са само при 2x – 3 = 0, защото неравенството е нестрого.
- Верен отговор В).

Броя на целите отрицателни числа решения на неравенството е:
- А)Безброй много
- Б)0
- В)1
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете модулното неравенство по формула (4).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Модулното неравенство е в основен вид и използваме формула (4), т.е. даденото неравенство се разпада на две неравенства:
- Обединяваме решенията (1) и (2) (1; +∞).
- В тези два интервала няма отрицателни числа.
- Верен отговор Б).

Решенията на неравенството |–2x² – 5x| > 0 са:
- А)x Ø
- Б)x (–∞; +∞)
- В)x₁ = –2,5, x₂ = 0
- Г)x (–∞; –2,5) (0; +∞)
- Д)x₁ ≠ –2,5, x₂ ≠ 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че модула на едно число не може да е отрицателно число (формула 1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме числата, при които даденото неравенство НЕ е вярно.
- Като използваме това, че модула на едно число не може да е отрицателно, то даденото неравенство НЕ е вярно само при –2x² – 5x = 0, защото неравенството е строго.
- Решенията на това уравнение са x₁ = –2,5, x₂ = 0.
- Решенията на даденото неравенство са всяко х различно от –2,5 и 0.
- Верен отговор Д).

Да се намери броя на целите числа, които са решения на неравенството |x² – 5x + 2| ≤ 4.
- А)0
- Б)2
- В)4
- Г)6
- Д)10
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете модулното неравенство по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Модулното неравенство е в основен вид и го решаваме по формула (3):
- От 5 < < 6 –1 < < 0; 5 < < 6.
- Целите числа принадлежащи на са: 0, 1, 2, 3, 4, 5, т.е. броя им е 6.
- Верен отговор Г).

Да се намери най-малкото цяло число, за което е изпълнено неравенството ≤ 0
- А)0
- Б)–2
- В)–4
- Г)1
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете даденото неравенство първо като дробно и след това като модулно по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За знаменателя имаме 2x² + x + 7 > 0 за всяко x, защото D = 1² – 4.2.7 = –55 < 0, т.е. даденото неравенство може да се запише като |3x – 5| – 2 ≤ 0 |3x – 5| ≤ 2.
- Това неравенство е в основен вид и прилагаме формула (3):
  |3x – 5| ≤ 2 .
- Най-малкото цяло число принадлежащо на този интервал е числото 1.
- Верен отговор Г).

Най-голямото цяло решение на неравенството |5 – x| > 2|5 – x| – 3 е числото:
- А)5
- Б)4
- В)8
- Г)2
- Д)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте даденото неравенство до модулно неравенство в основен вид и го решене по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото неравенство до модулно неравенство в основен вид:
  |5 – x| > 2|5 – x| – 3 |5 – x| – 2|5 – x| > –3 –|5 – x| > –3 | . (–1) |5 – x| < 3.
- Прилагаме формула (3):
  |5 – x| < 3 x (2; 8).
- Най-голямото цяло число принадлежащо на този интервал е числото 7.
- Верен отговор Д).

Да се намери броя на целите числа, които са решения на неравенството ≥ 1.
- А)0
- Б)1
- В)4
- Г)3
- Д)Безброй много
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете даденото неравенство първо като дробно и след това като модулно по формула (4).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За знаменателя имаме x² + 1 > 0 за всяко x, защото D = – 4.1 = –4 < 0, т.е. може да приведем под общ знаменател двете страни на даденото неравенство и получаваме: |x + 3| ≥ x² + 1.
- Нека c = x² + 1 > 0, т.е. за горното неравенство прилагаме формула (4) като разгледаме две неравенства:
  1. x + 3 ≥ x² + 1 x² – x – 2 ≤ 0
    (1): x [–1; 2].
  2. x + 3 ≤ –(x² + 1) x² + x + 4 ≤ 0
    (2): x Ø, защото D < 0.
- Обединяваме решенията (1) и (2) x [–1; 2].
- Целите числа принадлежащи на този интервал са: –1, 0, 1, 2, т.е. броя им е 4.
- Верен отговор В).

Да се реши неравенството ≥ 2.
- А)x
- Б)x [1; +∞)
- В)x
- Г)x
- Д)x (–∞; 1]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете даденото неравенство първо като дробно и след това като модулно по формула (3).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ: Всяко x ≠ 0.
- В знаменател имаме модул, което означава, че |x| > 0, т.е. може да приведем под общ знаменател двете страни на даденото неравенство и получаваме:
  3x – 1 ≥ 2|x| или 2|x| ≤ 3x – 1.
- За да използваме формула (3) полагаме, че дясната страна на даденото неравенство не е отрицателна, т.е. 3x – 1 ≥ 0 x ≥ .
- Прилагаме формула (3):
  2|x| ≤ 3x – 1 x [1; +∞).
- Засичаме с x ≥ и получаваме крайните решения x [1; +∞).
- Верен отговор Б).

Кое от изброените твърдения е еквивалентно на 1 ≤ |x – 2| ≤ 4?
- А)–2 ≤ x ≤ 1 или 3 ≤ x ≤ 6
- Б)3 ≤ x ≤ 6
- В)–2 ≤ x ≤ –1 или 1 ≤ x ≤ 6
- Г)–6 ≤ x ≤ –3 или –2 ≤ x ≤ –1
- Д)–3 ≤ x ≤ 6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Запишете двойното неравенство като система.
2. Решете системата от двете модулни неравенства.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Записваме двойното неравенство като система:
- Решаваме първото неравенство по формула (4):
  - x – 2 ≥ 1 x ≥ 3, т.е. x [3; + ∞).
  - x – 2 ≤ –1 x ≤ 1, т.е. x (– ∞; 1].
  - Обединяваме двете решения, т.е. x (– ∞; 1] [3; + ∞).
- Решаваме второто неравенство по формула (3):
- Засичаме решенията на двете неравенства: x [–2; 1] [3; 6].
- Верен отговор А).

Ако a – b = 3 и |a| < 2, то b се намира в интервала:
- А)(–∞; –5)
- Б)(–5; –1)
- В)(1; 5)
- Г)[–5; –1]
- Д)[–5; 1]
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете модулното неравенство.
2. Решете уравнението спрямо a.
3. Заместете a с решенията му от неравенството.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме модулното неравенство по формула (3):
  |a| < 2 (1): –2 < a < 2.
- Решаваме уравнението спрямо a:
  a – b = 3 (2): a = b + 3.
- Заместваме (2) в (1) и получаваме:
  – 2 < b + 3 < 2
- Верен отговор Б).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура