О₁ Изпъкнала функция (гледана отдолу) – Функцията f(x) е изпъкнала в точка x₀, ако точките от графиката около x₀ са над допирателната (Фиг. 1).

О₂ Вдлъбната функция (гледана отдолу) – Функцията f(x) е вдлъбната в точка x₀, ако точките от графиката около x₀ са под допирателната (Фиг. 2).

О₃ Инфлексна точка – Ако функцията f(x) е изпъкнала от едната страна на x₀, а от другата страна е вдлъбната, то точката M(x₀, f(x₀)) сe нарича инфлексна точка (Фиг. 3).

• f'' (x) > 0 за всяко x [a, b], то f(x) е изпъкнала в интервала [a, b].
• f'' (x) < 0 за всяко x [a, b], то f(x) е вдлъбната в интервала [a, b].

T₂ Условия за инфлексна точка – Ако функцията f(x) е два пъти диференцирана в интервала [a, b] и f'' (x) = 0, то точката M (x₀, f (x₀)) e инфлексна точка (Фиг. 3).

О₁ Растяща – Една функция f(x) е растяща в интервала [a; b], когато за всеки две стойности x₁ ДМ и x₂ ДМ за които x₁ ≥ x₂ е изпълнено f(x₁) ≥ f(x₂) (функцията е строго растяща, ако за x₁ > x₂ е изпълнено f(x₁) > f(x₂)).

О₂ Намаляваща – Една функция f(x) е намаляваща в интервала [a; b], когато за всеки две стойности x₁ ДМ и x₂ ДМ за които x₁ ≥ x₂ е изпълнено f(x₁) ≤ f(x₂) (функцията е строго намаляваща, ако за x₁ > x₂ е изпълнено f(x₁) < f(x₂)).

• f(x) е монотонно растяща в [a; b] тогава и само тогава, когато f'(x) ≥ 0 и x е вътрешна точка за [a; b].
  f(x) е строго растяща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) > 0.
• f(x) е монотонно намаляваща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) ≤ 0 и x е вътрешна точка за [a; b].
  f(x) е строго намаляваща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) < 0.

1. Нека функцията f(x) е непрекъсната в [a, b]. Намираме ДМ.
2. Функцията f(x) е диференцируема в (a, b) т.е. намираме първата ѝ производна.
3. Определяме интервалите на монотонност: Нека всяко x (a, b):
   • Решенията на неравенството f' (x) ≥ 0 (или f' (x) > 0) са интервалите в които функцията f(x) е растяща (или строго растяща).
   • Решенията на неравенството f' (x) ≤ 0 (или f' (x) < 0) са интервалите в които функцията f(x) е намаляваща (или строго намаляваща).

О Точка от графиката, в която функцията има екстремум, но няма първа производна (или първата производна не съществува) се нарича рогова точка (Точка Q от Фиг. 4).

В роговата точка се правят изследвания за екстремум. Например: Функцията f(x) е дефинирана и непрекъсната в интервала [a, b] (Фиг. 4). Нека първата производна да е f' (x), но тя да не съществува при x = c. Затова точката Q от графиката с координати Q (c, f(c)) се нарича рогова точка.

О₁ Локален минимум – Функцията f (x), която е дефинирана в интервала [a; b], има локален min в точката x₁ = c [a; b], когато може да се намери достатъчно малка околност около т. M (например на Фиг. 5 околността (c–ε; c+ε), където ε > 0), в която няма стойност на f(x) по–малка от f(c), т.е. имаме f(x) ≥ f(c).

О₂ Локален максимум – Функцията f (x), която е дефинирана в интервала [a; b], има локален max в точката x₁ = d [a; b], когато може да се намери достатъчно малка околност около т. N (например на Фиг. 5 околността (d–ε; d+ε), където ε > 0), в която няма стойност на f(x) по–голяма от f(d), т.е. имаме f(x) ≤ f(d).

I правило (достатъчно условие за съществуване на локален екстремум)

Първа стъпка: Намираме ДМ. и проверяваме за непрекъснатост в тази ДМ. (защото функцията трябва да бъде дефинирана и непрекъсната в даден интервал [a; b], за да има екстремум). Намираме първата производна.

Втора стъпка: Определяме критичните точки:

• точките, в които функцията няма първа производна (знаем, че това са роговите точки);
• точките, в които първата производна се анулира, т.е. решаваме уравнението
  f' (x) = 0. Нека решенията му са x₁ = c и x₂ = d (фиг. 5). Така определяме точките, в които функцията евентуално може да има локален екстремум. Ако уравнението f'(x) = 0 няма решение , то функцията няма екстремум, т.е. f (x) е само растяща (или намаляваща);

Трета стъпка: Ако съществува първата производна (т.е. нямаме рогова точка), намираме втората производна. Ако тя не може да се намери, продължаваме изследването по II правило.

Четвърта стъпка: Изследваме знака на втората производна в точките на екстремум:

• Ако f''(c) > 0, то в тази точка функцията има локален min. За да намерим стойността на функцията в точката на локалният min, заместваме съответния корен (например: с) във функцията, т.е. намираме y_min = f(c). На фиг. 5 точката с локален минимум е M(c; f(c)).
• Ако f''(d) < 0, то в тази точка функцията има локален max. За да намерим стойността на функцията в точката на локалният max, заместваме съответния корен (например: d) във функцията, т.е. намираме y_max = f(d). На фиг. 5 точката с локален максисум е N(d; f(d)).
• Ако f''(d) = 0, то в тази точка функцията има инфлексия, т.е. това е точка, в която функцията не променя знака си, а само преминава от вдлъбната в изпъкнала (или обратното).

II правило (необходимо условие за съществуване на локален екстремум).

Първа стъпка: Намираме Д.М. и проверяваме за непрекъснатост в тази Д.М.

Втора стъпка: Намираме първата производна. Ако функцията няма първа производна, то тя няма да има локален екстремум, т.е. тя ще е само растяща или само намаляваща.

Трета стъпка: Изследваме знака на първата производна във всеки от интервалите, т.е. определяме в кои интервали функцията е растяща (решаваме неравенството f'(x) ≥ 0) или намаляваща (решаваме неравенството f'(x) ≤ 0). В точката, при която функцията от намаляваща преминава в растяща, имаме локален min, а от растяща в намаляваща – локален max.