Ирационални уравнения. Ирационални неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Ирационални уравнения и неравенства

Съдържание на темата:

Ирационална функция.
Свойства на ирационалната функция.
Ирационални уравнения.
Начини за решаване на ирационални уравнения.
Ирационални неравенства.
Начини за решаване на ирационални неравенства.

ЗадачиТест за ТУ и МатураТест за УНСС – уравненияТест за УНСС – неравенства

Теория

I. Ирационална функция

O – Всяка функция f(x), която се намира под знака на корен, се нарича ирационална. Например: y = .

II. Свойства на ирационалната функция

Свойство 1:
- При четен коренен показател подкоренната величина изпълнява неравенството f(x) ≥ 0, т.е. решенията на неравенството f(x) ≥ 0 определят ДМ на ирационалната функция y.
- При нечетен коренен показател подкоренната величина f(x) може да бъде както положителна, така и отрицателна, т.е. ДМ: всяко x.
Свойство 2: Когато коренният показател е четно число, графиката на ирационалната функция е само в I квадрант (фиг. 1). Ако коренният показател е нечетно число, графиката на ирационалната функция е симетрична спрямо началото на координатната система (фиг. 2).
Свойство 3: Независимо от коренния показател, ирационалната функция е растяща, като най-голямата (max y) и най-малката стойност (min y) се намират от:
(4):

III. Ирационални уравнения

Уравнения от вида:

(5): = g(x), където f(x) и g(x) също могат да съдържат радикали. Пълното ДМ. на (5) е системата

(6):

Бележка:

Както знаем от Свойство 1 и 2 (Фиг. 1 и Фиг. 2), ситемата (6) ще е ДМ само когато имаме четен коренен показател. Ако коренният показател е нечетно число, то f(x) и g(x) могат да бъдат както положителни, така и отрицателни, т.е. ДМ на ирационално уравнение с нечетен коренен показател е всяко x.

IV. Начини за решаване на ирационални уравнения

I правило:
- Стъпка 1: Ако в (5) имаме корен квадратен, без да търсим ДМ. повдигаме двете му страни на квадрат и решаваме полученото уравнение.
- Стъпка 2:Непосредствено проверяваме кои от тях са корени и на (5).
II правило: Уравнението (5) се свежда до решаване на системата
(7):

Бележка:

Ако в уравнението има няколко корена, то Стъпка 1 в I правило се повтаря докато остане само един корен.
Неравенството в системата (7) определя непълното ДМ на (5). Понякога е по–удобно това неравенство да не се решава. То се използва само, за да проверим кои корени на уравнението в система (7) са „чужди” (появяването на „чуждия” корен се обуславя от повдигането на квадрат).

V. Ирационални неравенства

O – Неравенство, при което неизвестното е под корен, се нарича ирационално. За разлика от уравненията, при решаване на ирационални неравенства намирането на ДМ. е задължително.

VI. Решаване на ирационални неравенства

(8): < g(x)
(9): > g(x)

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура