УНСС – София
Тест от предварителен изпит по МАТЕМАТИКА
МОДУЛ 2 „Математика – основи”

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест МОДУЛ 2 „МАТЕМАТИКА–ОСНОВИ” – юли 2008 година

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Ако , то x² + е равно на:
- а)50
- б)10
- в)30
- г)42
- д)62
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разкрийте скобата в числител и представете получената дроб като сбор от три дроби.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме a:
- Верен отговор а).

Броят на децата към броя на всички пътници от един автобус се отнасят както 6 : 25. Какъв е процентът на децата спрямо броя на пътниците в автобуса?
- а)54%
- б)38%
- в)18%
- г)25%
- д)24%
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Даденото отношение запишете като дроб и я разширете до знаменател 100.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Записваме даденото отношение като дроб и я разширяваме до знаменател 100:
  6 : 25 = = 24%.
- Верен отговор д).

Ако a > 0, b > 0 и a ≠ b, то изразът е равен на:
- а)
- б)
- в)a + b
- г)a² – b²
- д)a – b
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: За числител използвайте формулата a³ + b³, а за знаменател – формулата a² – b².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За числител прилагаме формулата за съкратено умножение a³ + b³, а за знаменател – формулата a² – b²:
  = .
- Верен отговор б).

Множеството от решенията на неравенството е:
- а)(– ∞; 4]
- б)[0; 4]
- в)(– ∞; 1)
- г)[1: +∞)
- д)[1; 4]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете логаритмичното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x [0; 9).
- Използваме формула (18), за да решим логаритмичното неравенство:
- Засичаме с ДМ x [0; 4].
- Верен отговор б).

Да се намери разликата на аритметична прогресия, за която a₁ = 46, a₁₉ = 10.
- а)– 1
- б)1
- в)2
- г)– 2
- д)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теорема 1 на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме теорема 1 на аритметична прогресия при n = 19:
  a₁₉ = a₁ + 18d 10 = 46 + 18d d = – 2.
- Верен отговор г).

Решението на системата е:
- а)x = 1, y = 1
- б)x = 0, y = 1
- в)x = 1, y = 0
- г)Системата няма решение
- д)Системата има безброй много решения
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез събиране.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез събиране:
- Т.е. решението е x = 1, y = 0.
- Верен отговор в).

За кои стойности на реалния параметър а уравнението a²x² – 2x + 1 = 0 има двоен корен?
- а)Само за a = 1
- б)За a = ± 1
- в)Само за а = -1
- г)За а = ± 2
- д)Само за а = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Квадратно уравнение има два равни корена (двоен корен), ако D = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (4):
  D = 0 1 – a² = 0 (1 – a)(1 + a) = 0 a = ± 1.
  Забележка: При a = 0 уравнението е линейно и отново има един корен, но не е двоен.
- Верен отговор б).

Кое е квадратното уравнение, чиито корени са x_1/2 = 2 ± ?
- а)3x² + 12x + 3 = 0
- б)2x² – 8x + 2 = 0
- в)2x² + 8x – 2 = 0
- г)3x² – 12x – 3 = 0
- д)x² + 4x + 4 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет, за да съставите квадратно уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите на Виет, за да съставим квадратно уравнение:
  - x₁ + x₂ = 2 + + 2 – = 4, но x₁ + x₂ = – a = 1, b = – 4.
  - x₁ . x₂ = (2 + )(2 – ) = 4 – 3 = 1, но x₁ . x₂ = a = 1, c = 1.
  - Уравнението е: 2(x² – 4x + 1) = 0, т.е. 2x² – 8x + 2 = 0.
- Верен отговор б).

Колко решения има уравнението ?
- а)0
- б)1
- в)2
- г)3
- д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Без да намираме ДМ решаваме ирационалното уравнение:
- Верен отговор а).

Да се пресметне tg 60⁰ . cos 30⁰ – cotg30⁰ . sin60⁰?
- а)0
- б)3
- в)
- г)–
- д)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: : Използвайте таблица 1..

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме таблица 1 и заместете стойностите на тригонометричните функции за съответните ъгли:
  tg 60° . cos 30° – cotg 30° . sin 60° = .
- Верен отговор а).

Ако = 1, то cotg α е равно на:
- а)– 1
- б)0
- в)–
- г)3
- д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От даденото равенство намерете връзката между cos α и sin α, и след това заместете в .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- След привеждане под общ знаменател на даденото равенство получаваме:
  2sin α – 3cos α = cos α + 2sin α 4cos α = 0 cos α = 0.
- Колкото и да е sin α като заместим в получаваме 0.
- Верен отговор б).

Колко са решенията на уравнението cos x = 1 + sin² x в интервала [– π; + π]?
- а)4
- б)3
- в)2
- г)1
- д)0
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Преобразувайте тригонометричното уравнение така, че в него да се съдържа само cos x.
2. Положете cos x = y и решете полученото квадратно уравнение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме като използваме основното тригонометрично равенство:
  cos x = 1 + sin² x cos x = 1 + (1 – cos² x) cos² x + cos x – 2 = 0.
- Полагаме cos x = y, ДМ_y: y [– 1; 1], защото даденият интервал [– π; π] е точно един оборот, т.е. интервала [0; 2π].
- Уравнението y² + y – 2 = 0 има корени y₁ = 2 ДМ_y, y₂ = – 1.
- От полагането при y₂ = – 1 получаваме cos x = – 1.
- Това уравнение в интервала [– π; π] или интервала [0; 2π] има само едно решение.
- Верен отговор г).

Дефиниционното множество на функцията е:
- а)(– 2; + ∞)
- б)(– ∞; – 2) (2; + ∞)
- в)(–2; 2)
- г)(– ∞; – 2) (– 2; + ∞)
- д)(– ∞; – 2) (– 2; 2) (2; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на ирационална функция и на дробна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на ирационална функция и на дробна функция:
  x ≠ – 2.
- Верен отговор г).

Намерете границата .
- а)– 1
- б)0
- в)2
- г)1
- д)– 2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете граница при неопределеност .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Имаме неопределеност :
- Верен отговор в).

Намерете производната на функцията y = 2tg ?
- а)
- б)
- в)
- г)
- д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте таблица 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилата за диференциране от таблица 1:
- Верен отговор б).

На фигурата A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃, OA₁ = 4, A₁A₂ = 2, A₂A₃ = 4, OB₁ = 6. Да се намери дължината на В₁В₃.
- а)15
- б)12
- в)6
- г)9
- д)16
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремата на Талес.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме теоремата на Талес:
  B₁B₃ = 9.
- Верен отговор г).

На фигурата триъгълник АВС е правоъгълен, СН е височина към хипотенузата и AH = 9, BH = 16. Намерете лицето на триъгълника.
- а)100
- б)120
- в)150
- г)180
- д)240
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули (6) и (14).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (6):
  CH² = AH . HB = 9 . 16 CH = 3 . 4 = 12.
- AB = AH + HB = 9 + 16 = 25.
- Използваме формула (14):
  S = = 150.
- Верен отговор в).

В триъгълник ABC са дадени страните BC = 25 и AВ = 39. Височината BD към АС има дължина 15. Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
- а)
- б)34
- в)39
- г)30
- д)32
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте тригонометрична зависимост за правоъгълният ΔADB и след това синусова теорема за ΔАВС.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. На колко е равен А, ако С е с 40⁰ по-голям от него?
- а)72⁰
- б)70⁰
- в)90⁰
- г)60⁰
- д)55⁰
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремата за четириъгълник вписан в окръжност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека A = x, тогава от условието C = x + 40°.
- Използваме формула (1):
  ABCD – вписан в окръжност A + C = 180° x + x + 40° = 180° x = A = 70°.
- Верен отговор б).

Да се намери лицето на равнобедрен трапец с основи АВ = 18 и CD = 2, описан около окръжност.
- а)10
- б)40
- в)50
- г)60
- д)20
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете бедрото на трапеца.
2. През т. D постойте права успоредна на BC и намерете височината в получения триъгълник, която се явява и височина на трапеца.
3. Намерете лицето на трапеца по формула (19).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- През т. D построяваме DM || BC.
- MBCD – успоредник DM = BC = AD = c, BM = CD = 2, AM = AB – MB = 18 – 2 = 16.
- ABCD – описан равнобедрен трапец и от теорема 3 получаваме:
  AD + BC = AB + DC c + c = 18 + 2 c = 10.
- Нека DH – височина на трапеца ABCD, но тя е височина и на равнобедрения ΔADM, следователно DH –медиана, т.е. AH = HM = AM = .16 HM = 8.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔHMD (H = 90°):
  DH² = DM² – HM² = 10² – 8² = 36 DH = 6.
- Използваме формула (19):
  S_ABCD = . 6 = 60.
- Верен отговор г).