Oпределение – Множеството от числа (или отсечки или др.) съпоставено по някакво правило на естествените числа 1, 2, …, n.

Например: Нека да имаме естествените числа 1, 2, …, n и на всяко от тях да съпоставим произведението му с числото 3. Така получаваме следната редица от числа 3, 6, 9, …, 3n. т.е.

Обикновено първият член се отбелязва с a₁, вторият член – a₂, третият член – a₃ и т.н. до последният член – a_n. Например: на фигурата имаме: a₁ = 3, a₂ = 6, a₃ = 9, …, a_n = 3n.

Числото a_n се нарича общи член на редицата. Например: на фигурата общият член е зададен с помощта на формулата a_n = 3n.

Ако една редица е зададена с формулата за общия си член, може да запишем редицата {a_n}. Например: на фигурата редицата е {3n}.

• Крайни – когато се знае последният им член.

  Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11 е крайна редица, защото последният ѝ член е числото 11.

• Безкрайни – редица, за която не се знае последният член. Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11, … е безкрайна редица, защото няма последен член.

• Чрез формулата на общия член (аналитично).

  Зад. №1:

  Разпишете членовете на редица {a_n}, ако общият член е зададен с формулата a_n = .

  Решение:

  • При n = 1 a₁ = 2.
  • При n = 2 .
  • При n = 3 .
  • Разписваме редицата:
    .
• Словесно (описателно)

  Пример: Напишете редицата на простите естествени числа (редицата е описана с думи). Редицата е 2, 3, 5, 7, 11, … .
• С рекурентна зависимост – Задава се първият член a₁ и връзката между два съседни члена на редицата (т.е. задава се първият член и правилото за получаване на всеки следващ).

  Зад. №2:

  Разпишете шест члена на редица {a_n}, ако тя е зададено с равенствата a₁ = – 3, a_n = a_{n – 1} – 1.

  Решение:

  • При n = 2 a₂ = a₁ – 1 = – 3 – 1 = – 4.
  • При n = 3 a₃ = a₂ – 1 = – 4 – 1 = – 5.
  • При n = 4 a₄ = a₃ – 1 = – 5 – 1 = – 6.
  • При n = 5 a₅ = a₄ – 1 = – 6 – 1 = – 7.
  • При n = 6 a₆ = a₅ – 1 = – 7 – 1 = – 8.
  • Разписваме редицата:
    – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8.

• Растяща редица – Една редица е растяща, когато всеки неин член след първия е по-голям или равен на предходния, т.е. a_n+1 ≥ a_n.
  Бележка:

  Редицата е строго растяща, ако имаме изпълнено a_n+1 > a_n, т.е. всеки следващ член е само по-голям от предходния.

• Намаляваща редица – Една редица е намаляваща, когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния, т.е. a_n+1 ≤ a_n.
  Бележка:

  Редицата е строго намаляваща, ако имаме изпълнено a_n+1 < a_n, т.е. всеки следващ член е само по-малък от предходния.

• Монотонна редица – Ако тя е или растяща или намаляваща.
• Начини за доказателство, че редицата е монотонна:
  • Ако е изпълнено неравенството a_n+1 – a_n ≥ 0, то редицата е растяща (при a_n+1 – a_n > 0 редицата е строго растяща), ако е изпълнено неравенството a_n+1 – a_n ≤ 0, то редицата е намаляваща (при a_n+1 – a_n < 0 редицата е строго намаляваща).
  • Ако частното на два съседни члена е по-голямо от 1, т.е. имаме > 1, то редицата е растяща. Ако имаме < 1, то редицата е намаляваща.

  Зад. №3:

  Дадена е редица с общ член a_n = n² + n – 1.

  а) Да се намерят първият, петият и десетият член на редицата.

  б) Да се докаже, че редицата е монотонна.

  Решение:

  а) Задаваме на n исканите номера на редицата:

  • При n = 1 получаваме a₁ = 1² + 1 – 1 = 1 a₁ = 1.
  • При n = 5 получаваме a₅ = 5² + 5 – 1 = 29 a₅ = 29.
  • При n = 10 получаваме a₁₀ = 10² + 10 – 1 = 109 a₁₀ = 109.

  б) За да докажем, че редицата е монотонна, ще получим два съседни члена:

  • Един от членовете е даден по условие, това е a_n = n² + n – 1.
  • Намираме следващия член:
    a_{n + 1} = (n + 1)² + (n + 1) – 1 = n² + 3n + 1.
  • Намираме търсената разлика:
    a_{n + 1} – a_n = n² + 3n + 1 – (n² + n – 1) = 2n + 2 > 0, защото имаме сбор от две положителни числа.
    Бележка:

    Не забравяйте, че n е поредният номер на числото в редицата, т.е. n е естествено число и затова 2n > 0.