Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Oпределение – Множеството от числа (или отсечки или др.) съпоставено по някакво правило на естествените числа 1, 2, …, n.

Например: Нека да имаме естествените числа 1, 2, …, n и на всяко от тях да съпоставим произведението му с числото 3. Така получаваме следната редица от числа 3, 6, 9, …, 3n. т.е.

Обикновено първият член се отбелязва с a₁, вторият член – a₂, третият член – a₃ и т.н. до последният член – a_n. В даденият пример имаме: a₁ = 3, a₂ = 6, a₃ = 9, …, a_n = 3n.

Числото a_n се нарича общи член на редицата. В даденият пример общият член е зададен с помощта на формулата a_n = 3n.

Ако една редица е зададена с формулата за общия си член, може да запишем редицата {a_n} или в примерът редицата е {3n}.

• Крайни – когато се знае последният им член.

  Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11 е крайна редица, защото последният ѝ член е числото 11.

• Безкрайни – редица, за която не се знае последният член. Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11, … е безкрайна редица, защото няма последен член.

• Чрез формулата на общия член (аналитично).

  Зад. №1:

  Разпишете членовете на редица {a_n}, ако общият член е зададен с формулата a_n = .

  Решение:

  • При n = 1 a₁ = 2.
  • При n = 2 .
  • При n = 3 .
  • Разписваме редицата:
    .
• Словесно (описателно)

  Пример: Напишете редицата на простите естествени числа (редицата е описана с думи). Редицата е 2, 3, 5, 7, 11, … .
• С рекурентна зависимост – Задава се първият член a₁ и връзката между два съседни члена на редицата (т.е. задава се първият член и правилото за получаване на всеки следващ).

  Зад. №2:

  Разпишете шест члена на редица {a_n}, ако тя е зададено с равенствата a₁ = – 3, a_n = a_{n – 1} – 1.

  Решение:

  • При n = 2 a₂ = a₁ – 1 = – 3 – 1 = – 4.
  • При n = 3 a₃ = a₂ – 1 = – 4 – 1 = – 5.
  • При n = 4 a₄ = a₃ – 1 = – 5 – 1 = – 6.
  • При n = 5 a₅ = a₄ – 1 = – 6 – 1 = – 7.
  • При n = 6 a₆ = a₅ – 1 = – 7 – 1 = – 8.
  • Разписваме редицата:
    – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8.

• Растяща редица – Една редица е растяща, когато всеки неин член след първия е по-голям или равен на предходния, т.е. a_n+1 ≥ a_n.
  Бележка:

  Редицата е строго растяща, ако имаме изпълнено a_n+1 > a_n, т.е. всеки следващ член е само по-голям от предходния.

• Намаляваща редица – Една редица е намаляваща, когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния, т.е. a_n+1 ≤ a_n.
  Бележка:

  Редицата е строго намаляваща, ако имаме изпълнено a_n+1 < a_n, т.е. всеки следващ член е само по-малък от предходния.

• Монотонна редица – Ако тя е или растяща или намаляваща.
• Начини за доказателство, че редицата е монотонна:
  • Ако е изпълнено неравенството a_n+1 – a_n ≥ 0, то редицата е растяща (при a_n+1 – a_n > 0 редицата е строго растяща), ако е изпълнено неравенството a_n+1 – a_n ≤ 0, то редицата е намаляваща (при a_n+1 – a_n < 0 редицата е строго намаляваща).
  • Ако частното на два съседни члена е по-голямо от 1, т.е. имаме > 1, то редицата е растяща. Ако имаме < 1, то редицата е намаляваща.

  Зад. №3:

  Дадена е редица с общ член a_n = n² + n – 1.

  а) Да се намерят първият, петият и десетият член на редицата.

  б) Да се докаже, че редицата е монотонна.

  Решение:

  а) Задаваме на n исканите номера на редицата:

  • При n = 1 получаваме a₁ = 1² + 1 – 1 = 1 a₁ = 1.
  • При n = 5 получаваме a₅ = 5² + 5 – 1 = 29 a₅ = 29.
  • При n = 10 получаваме a₁₀ = 10² + 10 – 1 = 109 a₁₀ = 109.

  б) За да докажем, че редицата е монотонна, ще получим два съседни члена:

  • Един от членовете е даден по условие, това е a_n = n² + n – 1.
  • Намираме следващия член:
    a_{n + 1} = (n + 1)² + (n + 1) – 1 = n² + 3n + 1.
  • Намираме търсената разлика:
    a_{n + 1} – a_n = n² + 3n + 1 – (n² + n – 1) = 2n + 2 > 0, защото имаме сбор от две положителни числа.
    Бележка:

    Не забравяйте, че n е поредният номер на числото в редицата, т.е. n е естествено число и затова 2n > 0.

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като към предходния му се прибавя едно и също число d.

• Oпределение – Числото d, което се прибавя към всеки член, за да се получи следващият, се нарича разлика, т.е. разликата се получава, като извадим два съседни члена.
• Основна формула:
  (1): d = a_n – a_{n – 1}.
• Растяща аритметична прогресия
  (2): Ако d > 0, то прогресията е растяща.
• Намаляваща аритметична прогресия
  (3): Ако d < 0, то прогресията е намаляваща.

Прието е аритметичната прогресия да се означава със знака „“. Така записът a₁, a₂, ..., a_n означава, че редицата a₁, a₂, ..., a_n е аритметична прогресия.

Ако имаме аритметична прогресия с първи член a₁ и разлика d, то за всеки член е в сила равенството:

(4): a_n = a₁ + (n – 1)d.

(5): S_n = .n.

(6): S_n = .n.

• Свойство 1 – Всеки член без първия е средно аритметично на съседните му два члена, т.е. за три последователни члена на аритметичната прогресия a_{k – 1}, a_k и a_{k + 1} е в сила равенството :
  (7): a_k = .
• Свойство 2 – За всяка крайна аритметична прогресия, сумата на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равна на сумата на двата крайни члена, т.е.:
  (8): a₁ + a_n = a₂ + a_{n – 1} = a₃ + a_{n – 2} = … .
  Практическо правило за определяне на равноотдалечените членове:

  При равноотдалечените членове, сборът от индексите на едната двойка, трябва да е равен на сбора от индексите на другата двойка.

  Например: Нека да имаме аритметичната прогресия

  

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като предходният му се умножи с едно и също число q.

• Oпределение – Числото q, с което се умножава всеки член, за да се получи следващият, т.е. частното се получава, като се разделят два съседни члена.
• Основна формула:
  (9): q = .
• Растяща геометрична прогресия
  (10): Ако q > 1, то прогресията е растяща.
• Намаляваща геометрична прогресия
  (11): Ако q (0; 1), то прогресията е намаляваща.
• Нито растяща, нито намаляваща
  (12): Ако q < 0, то прогресията не е нито растяща, нито намаляваща.

Прието е геометричната прогресия да се означава със знака „“. Така записът a₁, a₂, ..., a_n означава, че редицата a₁, a₂, ..., a_n е геометричната прогресия.

Ако имаме геометричната прогресия с първи член a₁ и частно q, то за всеки член е в сила равенството:

(13): a_n = a₁.q^{n – 1}.

(14): .

(15):

• Свойство 1 – Всеки член без първия е средно геометрично на съседните му два члена, т.е. за три последователни члена на геометрична прогресия a_{k – 1}, a_k и a_{k + 1} е в сила равенството:
  (16): a_k² = a_{k – 1}.a_{k + 1}.
• Свойство 2 – За всяка крайна геометрична прогресия, произведението на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равно на произведението на двата крайни члена, т.е.:
  (17): a₁ . a_n = a₂ . a_{n – 1} = a₃ . a_{n – 2} = … .
  Практическо правило за определяне на равноотдалечените членове:

  При равноотдалечените членове, сборът от индексите на едната двойка, трябва да е равен на сбора от индексите на другата двойка.

  Например: Нека да имаме геометричната прогресия

  

O – Лихвата е печалбата, която се полага за престояла сума в банка или друга финансова институция.

• Лихвен процент p% – Обикновено лихвата се изчислява за даден период от време като процент от капитала вложен в банката. Този процент се нарича лихвен процент и се отбелязва с p%.
• Лихвен период n – Периода време, след който се начислява лихвата. Отбелязва с n, Обикновено лихвеният период е за 1 година, но може да е и за по-кратък период (например, за 1 месец, за 3 месеца и т.н.).
• Начален (основен) капитал K₀ – Началната сума вложена в банката. Обикновено се отбелязва с K₀.
• Нараснал капитал K_n – Сумата, която трябва да се получи в края на лихвения период n. Обикновено се отбелязва с K_n.

• Проста лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се олихвява само внесения начален капитал K₀. Нарасналият капитал K_n при проста лихва p% се изчислява по формулата:
  (18): K_n = K₀(1 + .n).
  Бележка:

  В горната формула лихвеният процент p% е превърнат в число .

• Сложна лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се прибавя към внесения начален капитал K₀ и в следващите периоди се олихвява заедно с него. Нарасналият капитал K_n в края на n-тия период при p% сложна лихва се изчислява по формулата:
  (19): K_n = K₀.qⁿ = , където q = 1 + се нарича лихвен множител.

Ако е сключен заем при определена годишна (или месечна) лихва, който трябва да се изплати в определен срок на равни вноски (годишни или месечни). Тази вноска се нарича погасителна вноска V.

Ако е взет кредит K лв., за уговорен период от време n (обикновено е в години или месеци) с лихвен процент p%, то погасителната вноска V се намира по формулата:

(20): V = K , където q = 1 + е лихвен множител.

O – Ако срещу вложен капитал K лв., при определена лихва p% периодично се получава уговорена сума R, то тази сума R се нарича рента.

Рентата може да се разглежда като погасителна вноска, която не се дава, а се получава от рентиера. Това означава, че формулата ще е същата, както формулата за кредит (формула 20):

(21): R = K , където q = 1 + е лихвен множител.