Редици. Прогресии. Лихва

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Съдържание на темата:

Аритметична прогресия – решени задачи
Геометрична прогресия – решени задачи
Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия – решени задачи
Лихва – решени задачи
Кредит – решени задачи

I. Аритметична прогресия

Решени задачи

Зад. №1:: Намерете петдесетия член на аритметичната прогресия
... .

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящи формули, за да намерите разликата и след това a₅₀.

Използваме формула (1), за да намерим разликата на прогресията:
d = a₂ – a₁ = 1 – .
Използваме формулата за общия член (формула 4):
a₅₀ = a₁ + (n – 1)d = – + (50 – 1) 73.
Отговор: a₅₀ = 73.

Зад. №2:: За аритметична прогресия са дадени a₇ = 9 и a₁₁ = 23. Намерете a₅ и S₁₀.

От дадените елементи и формула за общия член съставете система и намерете a₁ и d.
Използвайте подходящи формули, за да намерите a₅ и S₁₀.

Използваме формула (4), за да намерим първия член a₁ и разликата d:
- a₇ = a₁ + 6d.
- a₁₁ = a₁ + 10d.
- Решаваме системата:
- a₁ + 6d = 9 a₁ + 6.3,5 = 9 a₁ = – 12.
Отново използваме формула (4):
a₅ = a₁ + 4d = – 12 + 4.3,5 = 2.
Използваме формула (6):
Отговор: a₅ = 2, S₁₀ = 32,5.

Зад. №3:: Три числа са поредни членове на намаляваща аритметична прогресия. Намерете числата, ако сумата им е 3, а сумата от квадратите им е 35.

Отбележете средното число с x и намерете това x, като приложите формулата за разлика на прогресията (формула 1).
Намерете разликата d, като приложите условието.

Нека a₂ = x, тогава от формулата за разлика на прогресията (формула 1) a₁ = x – d и a₃ = x + d.
По условие имаме:
a₁ + a₂ + a₃ = 3 x – d + x + x + d = 3 x = 1.
Разписваме аритметичната прогресия с намерената стойност на x:
1 – d, 1, 1 + d.
Прилагаме условието, че „сумата от квадратите им е 35“:
(1 – d)² + 1² + (1 + d)² = 35 2d² – 32 = 0 d² = 16 d = ± 4.
По условие прогресията е намаляваща (формула 3), т.е. d < 0 или от намерените стойности на d остава само d = – 4.
Отговор: Търсените числа са:
5, 1, – 3.

Зад. №4:

За аритметична прогресия е дадено:

а) a₄ + a₁₃ = 49. Да се намери a₁ + a₆ + a₁₁ + a₁₆;

б) a₄ = 5. Да се намери S₇.

а) Използвайте Свойство 2 на аритметичната прогресия.

б) Използвайте подходяща формула за сбор на първите n члена на аритметичната прогресия.

а)

Сборът от индексите на дадените елементи е 4 + 13 = 17.
Прилагаме Свойство 2 на аритметичната прогресия и получаваме, че
a₁ + a₁₆ = a₆ + a₁₁ = a₄ + a₁₃ = 49.
Намираме търсения израз:
a₁ + a₆ + a₁₁ + a₁₆ = (a₁ + a₁₆) + (a₆ + a₁₁) = 49 + 49 = 98.
Отговор: a₁ + a₆ + a₁₁ + a₁₆ = 98.

б) Ще използваме формулата за сбор на първите n члена на аритметичната прогресия (формула 5), но не знаем a₁ + a₇, затова:

от Свойство 2 на аритметичната прогресия намираме, че a₁ + a₇ = a₄ + a₄ = 10.
Бележка:

В дадената прогресия имаме нечетен брой елементи (седем). Затова, средният елемент (четвъртият елемент) се събира със себе си.
Прилагаме формулата за сбор на първите n члена на аритметичната прогресия (формула 5):
S₇ 35.
Отговор: S₇ = 35.

Зад. №5:: За кои стойности на x числата x – 1, x + 3, x² – 5 са последователни членове на растяща аритметична прогресия?

Използвайте Свойство 1 на аритметичната прогресия.

От дадените числа записваме съответните членове на аритметичната прогресия:
a_{k – 1} = x – 1, a_k = x + 3, a_{k + 1} = x² – 5.
Използваме Свойство 1 на аритметичната прогресия (формула 7):
a_k = x + 3 = x² – x – 12 = 0, x₁ = – 3, x₂ = 4.
Оказва се, че имаме две прогресии:
- При x₁ = – 3 получаваме
  – 4, 0, 4, като разликата d = 4 > 0, т.е. прогресията е растяща.
- При x₂ = 4 получаваме
  3, 7, 11, като отново d = 4 > 0, т.е. прогресията е също растяща.
Отговор: Търсените стойности на x са x₁ = – 3 и x₂ = 4.

Върни се в теорията

II. Геометрична прогресия

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: Да се намери седмия член на геометрична прогресия, ако се знае, че a₁ = и a₃ + a₅ = 20 .

Използвайте формулата за общия член на геометрична прогресия.

Прилагаме формулата за общия член на геометрична прогресия (формула 13):
a₃ = a₁q²; a₅ = a₁q⁴.
Заместваме в дадения израз:
a₃ + a₅ = 20 a₁q² + a₁q⁴ = 20 q² + q⁴ = 20 | : q⁴ + q² – 20 = 0.
Решаваме това биквадратно уравнение:
- Полагаме q² = p ≥ 0.
- Получаваме и решаваме квадратното уравнение:
  p² + p – 20 = 0, p₁ = 4 ДМ_p, p₂ = – 5 ∉ ДМ_p, защото p₂ = – 5 < 0.
- Заместваме в полагането само с p₁ = 4:
  q² = 4 q = ± 2.
Отново използваме формула (13), за да намерим търсения елемент:
a₇ = a₁q⁶ = .(± 2)⁶ = 64.
Отговор: a₇ = 64.

Зад. №2:: Да се намери броя на членовете на крайна геометрична прогресия, за която a₃ – a₁ = 32, a₄ – a₂ = 96 и S_n = 160.

Намерете a₁ и разликата q на геометричната прогресия, като използвате формулата за общия член на геометрична прогресия.
Използвайте подходяща формула за сбор на първите n члена на геометрична прогресия и намерете n.

Използваме формулата за общия член на геометрична прогресия (формула 13), за да намерим първия член a₁ и разликата q:
- a₂ = a₁q; a₃ = a₁q²; a₄ = a₁q³.
- Решаваме системата чрез делене:
- Заместваме в едно от уравненията на системата:
  a₁q² – a₁ = 32 a₁.3² – a₁ = 32 a₁ = 4.
Използваме формулата за сбор на първите n члена на геометрична прогресия (формула 14):
Щом основите са равни, то и степените трябва да са равни, т.е. n = 4.
Отговор: n = 4.

Зад. №3:: За геометричната прогресия е известно, че a₃.a₄ = – 3. Да се намери произведението на първите шест члена на прогресията.

Използвайте Свойство 2 на геометричната прогресия.

Използваме Свойство 2 на геометричната прогресия и получаваме:
a₁.a₆ = a₂.a₅ = a₃.a₄ = – 3.
Бележка:

Защото сборът от индексите на тези елементи е един и същ: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7.
Намираме търсеното произведение:
a₁.a₂.a₃.a₄.a₅.a₆ = a₁.a₆.a₂.a₅.a₃.a₄ = (– 3).( – 3).( – 3) = – 27.
Отговор: Търсеното произведение е – 27.

Зад. №4:: За кои стойности на x числата x – 5, x – 1, 2x + 4 взети в този ред, са последователни членове на намаляваща геометрична прогресия?

Използвайте Свойство 1 на геометричната прогресия.

От дадените числа записваме съответните членове на геометрична прогресия:
a_{k – 1} = x – 5, a_k = x – 1, a_{k + 1} = 2x + 4.
Прилагаме Свойство 1 на геометричната прогресия и получаваме:
a_k² = a_{k – 1}.a_{k + 1} (x – 1)² = (x – 5)(2x + 4) x² – 4x – 21 = 0, x₁ = – 3, x₂ = 7.
Оказва се, че имаме две прогресии:
- При x₁ = – 3 заместваме в дадените елементи и получаваме
  – 8, – 4, – 2, с частно q = , q (0; 1). Това означава, че прогресията е намаляваща.
- При x₂ = 7 получаваме
  2, 6, 18, с частно q = = 3 > 1. Това означава, че прогресията е растяща.
Отговор: Търсената стойност е x = – 3.

Върни се в теорията

III. Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: Три числа със сума 18, са последователни членове на намаляваща аритметична прогресия. Ако добавим 5 към първото число, 6 към второто и 9 към третото, ще получим последователни членове на геометрична прогресия. Да се намерят числата.

Въведете две неизвестни: a₁ – първи член и d – разликата на аритметичната прогресия.
Като използвате даденото условие за аритметичната прогресия и Свойство 1 на геометричната прогресия, съставете система от две уравнения и я решете.

За аритметичната прогресия въвеждаме две неизвестни: a₁ – първи член и d – разлика.
Използваме формулата за общия член (формула 4) и разписваме аритметичната прогресия:
a₁, a₁ + d, a₁ + 2d.
Използваме условието и разписваме геометричната прогресия:
a₁+ 5, a₁ + d + 6, a₁ + 2d + 9.
Прилагаме първото изречение от условието за аритметичната прогресия:
a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 18 3a₁ + 3d = 18 |: 3 a₁ + d = 6.
Прилагаме Свойство 1 на геометричната прогресия (формула 16):
(a₁ + d + 6)² = (a₁ + 5)(a₁ + 2d + 9).
Тези две уравнения ги записваме в система, която решаваме чрез заместване:
По условие имаме намаляваща аритметична прогресия и от формула (3) следва, че търсената стойност на разликата е d = – 7.
От първото уравнение на системата намираме:
a₁ = 6 – d = 6 – (– 7) = 13.
От аритметичната прогресия и намерените стойности на a₁ и d изчисляваме, че търсените числа са: 13, 6, – 1.
Отговор: Търсените числа са: 13, 6, – 1.

Зад. №2:: Три числа, сборът на които е 78, образуват растяща геометрична прогресия. Тези три числа са същевременно първи, трети и девети членове на аритметична прогресия. Намерете числата.

Въведете две неизвестни: a₁ – първи член и d – разликата на аритметичната прогресия.
Като използвате даденото условие за геометричната прогресия и Свойство 1 на геометричната прогресия, съставете система от две уравнения и я решете.

задача от аритметична и геометрична прогресия

Зад. №3:: От четири числа първите три образуват аритметична прогресия, а последните три – геометрична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 10, а сборът на двете крайни е 11.

Отбележете първото дадено число с x, а второто – с y.
Използвайте Свойство 1 на аритметичната прогресия и Свойство 1 на геометричната прогресия, за да съставите система и я решете.

Нека първото число е x, а второто число – y. Тогава търсените числа са: x, y, 10 – y, 11 – x.
Разписваме аритметичната прогресия и намираме x:
- x, y, 10 – y.
- От Свойство 1 на аритметичната прогресия (формула 7) получаваме:
  y = 2y = x + 10 – y x = 3y – 10.
Разписваме геометрична прогресия:
y, 10 – y, 11 – x.
От Свойство 1 на геометричната прогресия (формула 16) получаваме:
(10 – y)² = y(11 – x).
Заместваме с полученото по-горе x:
(10 – y)² = y(11 – 3y + 10) 4y² – 41y + 100 = 0, y₁ = 4, y₂ = .
Намираме другото неизвестно:
- При y₁ = 4 от x₁ = 3y₁ – 10 x₁ = 3.4 – 10 x₁ = 2.
- При y₂ = от x₂ = 3y₂ – 10 x₂ = 3. – 10 x₂ = .
Отговор: Получаваме две редици от числа: 2, 4, 6, 9 и .

Върни се в теорията

IV. Лихва

Теория

Решени задачи

Зад. №1:: Фирма взема заем от банка в размер от 200 000 лв. при 12% проста годишна лихва. Каква сума фирмата трябва да внесе в банката след 7 години?

Използвайте формулата за проста лихва (формула 18).

По условие имаме: началната сума е K₀ = 200 000 лв., простата годишна лихва е p% = 12%, а лихвеният период е n = 7 години. От формулата за проста лихва (формула 18) получаваме:
K_n = K₀(1 + .n) = 200 000.(1 + .7) = 200 000.1,84 = 368 000.
Отговор: Фирмата трябва да внесе 368 000 лв.

Зад. №2:: Сума от 300 лв. е вложена в банка на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент от 5,4%. Каква ще бъде сумата след 3 месеца?

Намерете колко е лихвеният процент за 1 месец.
Използвайте формулата за сложна лихва (формула 19).

Имаме сложна лихва с начален капитал K₀ = 300 лв., лихвен период n = 3 месеца и годишен лихвен процент p% = 5,4%.
Забелязваме, че лихвеният период и лихвеният процент не са в една и съща мерна единица, затова намираме лихвения процент за 1 месец:
p% = 5,4:12 = 0,45 %.
Използваме първата част от формулата за сложна лихва (формула 19), за да намерим търсената сума:
Отговор: След 3 месеца сумата ще бъде 304 лв. и 7 ст.

Зад. №3:: Гражданин депозирал в банка 5000 лв. при сложна годишна лихва. Намерете лихвения процент, ако след две години сумата нараснала на 5202 лв.

Намерете колко е лихвеният процент за 1 месец.
Използвайте формулата за сложна лихва (формула 19).

Имаме сложна лихва с начален капитал K₀ = 5 000 лв., лихвен период n = 2 години и крайна сума K_n = 5202 лв. Търси се годишния лихвени процент p%.
Използваме първата част от формулата за сложна лихва (формула 19):
Отговор: Лихвеният процент е 2%.

Върни се в теорията

V. Кредит

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

Фирма е взела заем от 10 000 лв. при годишна лихва 6% за срок от 5 години, която ще изплаща на равни месечни вноски. Да се намери:

а) размерът на месечната вноска;

б) каква лихва (платената допълнително сума) ще е изплатила фирмата след погасяването на заема.

а) Щом заемът се изплаща на месечни вноски, то намерете колко е месечната лихва и след това използвайте формулата за изчисляване на погасителната вноска (формула 20).

а) а) Забелязваме, че заемът ще се изплаща на месечни вноски, затова:

намираме лихвата за 1 месец:
p% : 12 = 6 : 12 = 0,5%.
заемът трябва да се изплати за n = 5 години = 5.12 = 60 месеца.
Използваме формулата за изчисляване на погасителната вноска (формула 20):
Отговор: Месечната вноска е 193 лв. и 33 ст.

б)

Сумата, която ще се изплати е: 60.193,33 = 11599,80 лв.
Намираме платената допълнително сума:
11599,80 – 10000 = 1599,80 лв.
Отговор: Платената лихва е 1599,80 лв.

Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура