а) Даденото двойно неравенство се записва като система:

.

• Решаваме всяко от линейните неравенствата:
  • x – 3 < 2x x > – 3.
  • 2x < 3x + 3 x > – 3.
• Двете неравенства имат едно и също решение. Това означава, че решенията на двойното неравенство (решенията на системата) са x (– 3; + ∞).

а) Даденото модулно уравнение е в основен вид (4), като B = 4 > 0 и за решаването му прилагаме формула (5):

• x² – 7x – 4 = 4 x² – 7x – 8 = 0, D = 81, x₁ = – 1, x₂ = 8.

или

• x² – 7x – 4 = – 4 x² – 7x = 0 x(x – 7) = 0, x₃ = 0, x₄ = 7.
• Отговор: Даденото модулно уравнения има четири решения: x₁ = – 1, x₂ = 8, x₃ = 0, x₄ = 7.

б) Даденото уравнение е в основен вид (4), като B = 0 и затова прилагаме формула (6):

• 1 – x³ = 0.
• От подходяща формула за съкратено умножение получаваме:
  (1 – x)(1 + x + x²) = 0.
• Това уравнение се разпада на две уравнения:
  • 1 – x = 0 x = 1.
  • 1 + x + x² = 0 x² + x + 1 = 0, D = – 3 < 0, т.е. уравнението няма решение.
• Отговор: Даденото модулно уравнения има едно решение x = 1.

в) Даденото уравнение е в основен вид (4), като B < 0 и затова правим извода, че даденото модулно уравнение няма решение.

г)

• Използваме свойство на модула (формула 2), за да сведем даденото уравнение в основен вид (4):
  2|3x – 1| – 5|1 – 3x| = – 12 2|3x – 1| – 5|3x – 1| = – 12 – 3|3x – 1| = – 12 | : (– 3) |3x – 1| = 4.
• При така полученото уравнение B = 4 > 0 и затова прилагаме формула (5):
  • 3x – 1 = 4 3x = 4 + 1 3x = 5 x₁ = .

  или

  • 3x – 1 = – 4 3x = – 4 + 1 3x = – 3 x₂ = – 1.
• Отговор: Решенията на даденото модулно уравнения са: x₁ = , x₂ = – 1.

д)

• Използваме свойство на модула (формула 3), за да сведем даденото уравнение в основен вид (4):
  |2x + 5| + |– 10 – 4x| = 9 |2x + 5| + 2|2x + 5| = 9 3|2x + 5| = 9 |2x + 5| = 3.
• При така полученото уравнение B = 3 > 0 и затова прилагаме формула (5):
  • 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5 2x = – 2 x₁ = – 1.

  или

  • 2x + 5 = – 3 2x = – 3 – 5 2x = – 8 x₂ = – 4.
• Отговор: Решенията на даденото модулно уравнения са: x₁ = – 1, x₂ = – 4.

а)

• Преобразуваме неравенството до основен вид:
  5 – |1 – 3x| > 0 – |1 – 3x| > – 5 | . (– 1) |1 – 3x| < 5.
• Използваме формула (7) и c = 5 > 0:
• Изобразяваме решенията върху числовата ос:
  
• Решенията на даденото неравенство са x (– ; 2).

б) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

в) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

г)

• В подточка а) преобразувахме неравенството до основен вид:
  5 – |1 – 3x| ≥ 0 |1 – 3x| ≤ 5.
• Използваме формула (7) и c = 5 > 0:
  
• Изобразяваме решенията върху числовата ос и получаваме, че решенията на даденото неравенство са x [– ; 2].

д)

• Неравенството е в основен вид, но c = 0, тогава от формула (7) записваме:
  
• Изобразяваме решенията върху числовата ос:
  
• От чертежа се вижда, че решението е само x = .

е) Неравенството е в основен вид, но c < 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

ж) Неравенството е в основен вид и c = 6 > 0, тогава от формула (8) записваме две неравенства:

• 3x – 3 > 6 3x > 6 + 3 x > 3, т.е. x (3; + ∞).

или

• 3x – 3 < – 6 3x < – 6 + 3 x < – 3, т.е. x (– ∞; – 3).
• Записваме решенията на даденото неравенство, като подреждаме получените интервали по големина на числата и записваме x (– ∞; – 3) (3; + ∞).

з) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение при:

2x + 5 ≠ 0 2x ≠ – 5 x ≠ – .

Т.е. решенията са всяко x ≠ – .

и) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (8) следва, че всяко x е решение на даденото неравенство.

к) Неравенството е в основен вид и c = 6 > 0, тогава от формула (8) записваме две неравенства:

• 3x – 3 ≥ 6 x ≥ 3, т.е. x [3; + ∞).

или

• 3x – 3 ≤ – 6 x ≤ – 3, т.е. x (– ∞; – 3].
• Записваме решенията на даденото неравенство, като подреждаме получените интервали по големина на числата и записваме x (– ∞; – 3] [3; + ∞).

л) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение за всяко x.

м) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение за всяко x.

а) Имаме два корена и техните подкоренни величини трябва да бъдат неотрицателни.

б) Отново имаме два корена, но единият е в знаменател, а знаменателят трябва да е различен от 0.

а)

1. Опростете знаменателя и след това главната дробна черта я заместваме със знак за делене.
2. Изнесете множител пред корен (формула 8), като използвате това, че x < 3.
3. Приложете правилото за делене на дроби.
4. Заместете с дадената стойност на x.

б) Извършваме действието в скобата и правилото за делене на дроби.

а)

• Преобразуваме дадения израз, като накрая дробната черта я заместваме със знак за делене:
• Изнасяме множител пред корен (формула 8), като използваме това, че x < 3 и след това прилагаме правилото за делене на дроби:
• Заместваме с дадената стойност на x:

а) Приложете I начин за решаване на ирационалното уравнение.

б) и в) Първо преобразувайте ирационалното уравнение до основен вид и след това приложете подходящ начин за решаването му.

а)

• Независимо от това, че пред корена има число, то може да смятаме, че ирационалното уравнение е в основен вид (10) и да приложим I начин за решаването му:
  (2)² = 1² 4(x + 5) = 1 x = – .
• Вместо да заместваме в даденото уравнение (стъпка 4 от I начин), ще проверим дали подкоренната величина е по-голяма или равна на нула:
  x + 5 = – + 5 = > 0.
• Отговор: x = – е решение на даденото уравнение.

б)

• Преобразуваме уравнението до основен вид (10) и прилагаме I начин за решаването му:
  4 + = 7 = 7 – 4 = 3 ()² = 3² x² – 7 = 9 x² – 16 = 0 (x – 4)(x + 4) = 0, x₁ = 4, x₂ = – 4.
• Вместо да заместваме в даденото уравнение (стъпка 4 от I начин), ще проверим дали подкоренната величина е по-голяма или равна на нула:
  • при x₁ = 4 x² – 7 = 4² – 7 = 16 – 7 > 0.
  • при x₂ = – 4 x² – 7 = (– 4)² – 7 = 16 – 7 > 0.
• Отговор: Уравнението има две решения: x₁ = 4 и x₂ = – 4.

в)

• Преобразуваме уравнението до основен вид (10):
  3 – = 6 – = 6 – 3 – = 3 | . (– 1) = – 3.
• Дясната страна на това уравнение е отрицателно число и от дефиниционното множество (формула 11) се вижда, че не се изпълнява условието B ≥ 0. Това означава, че даденото уравнение няма решение.

а) Ще решим това уравнение по два начина.

I начин:

II начин:

• Уравнението е в основен вид (10).
• Съставяме системата:
  
• Решаваме само уравнението в тази система, което е непълно квадратно уравнение:
  5x² – 4 = (2x)² x² – 4 = 0, x₁ = 2, x₂ = – 2.
• За всеки корен проверяваме неравенството от системата:
  • при x₁ = 2 2x = 2.2 = 4 > 0, т.е. x₁ = 2 е решение на даденото уравнение.
  • при x₂ = – 2 2x = 2.(– 2) = – 4 < 0, т.е. x₂ = – 2 НЕ е решение на даденото уравнение.
• Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 2.

б)

• Преобразуваме даденото уравнение до основен вид (10):
  2x – = 5 = 2x – 5.
• Повдигаме двете му страни на квадрат:
  = 2x – 5 ()² = (2x – 5)² x² – 100 = 4x² – 20x + 25 3x² – 20x + 125 = 0.
• Това квадратно уравнение няма решение, защото D < 0. Това означава, че даденото уравнение също няма решение.

в) Ще решим това уравнение по два начина.

I начин:

II начин:

• Уравнението е в основен вид (10).
• Използваме формула (12) и съставяме системата:
  
• Решаваме само уравнението в тази система:
  = (– x)² 9 – x³ = x²(1 – x) x² – 9 = 0, x₁ = 3, x₂ = – 3.
• За всеки корен проверяваме неравенството от системата:
  • при x₁ = 3 – x = – 3 < 0, т.е. x₁ = 3 НЕ е решение на даденото уравнение.
  • при x₂ = – 3 – x = – (– 3) = 3 > 0, т.е. x₂ = – 3 е решение на даденото уравнение.
• Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = – 3.

в)

• Преобразуваме даденото уравнение до основен вид (10):
  + = 0 = – .
• От определението за квадратен корен, знаем че ≥ 0 за всяко x. Това означава, че дясната страна на горното уравнение е винаги отрицателна, защото – < 0 за всяко x. Което противоречи на ДМ (формула (11)).
• Т.е. даденото ирационално уравнение няма решение.
• Отговор: Даденото уравнение няма решение.
Бележка:
До този извод може да стигнем и ако разсъждаваме по логичен начин, а именно:
• Лявата страна на даденото ирационално уравнение е съставена от две неотрицателни числа, защото е сбор от два квадратни корена.
• Сборът от двата корена може да е нула, само ако всеки корен е нула.
• Това означава, че даденото уравнение ще има решение, само ако уравненията = 0 и = 0 имат общ корен, което в случая е невъзможно.

г)

• При x = 5 уравненията = 0 и = 0 имат общ корен.
• От Бележката от подточка в) следва, че този корен е решение на даденото уравнение.
• Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 5.

а) Уравнението е от вида (14), защото имаме произведение от едната страна на равенството, а от другата страна имаме 0. Знаем, че такива уравнения се разпадат на две уравнения (формула 15):

• Намираме ДМ, като използваме определението за квадратен корен:
  x + 9 ≥ 0 x ≥ – 9, т.е. ДМ: x ≥ – 9.
• Даденото уравнение се разпада на две уравнения:
  • x² – 4 = 0, x₁ = 2 ДМ, x₂ = – 2 ДМ.
  • = 0 ()² = 0² x + 9 = 0 x₃ = – 9 ДМ.
• Отговор: Даденото уравнение има три решение: x₁ = 2, x₂ = – 2 и x₃ = – 9.

б) Уравнението отново е от вида (14):

• Намираме ДМ, като използваме определението за квадратен корен:
  x – 6 ≥ 0 x ≥ 6, т.е. ДМ: x ≥ 6.
• Даденото уравнение се разпада на две уравнения:
  • x² + 4x = 0 x(x + 4) = 0, x₁ = 0 ∉ ДМ, x₂ = – 4 ∉ ДМ.
  • = 0 ()² = 0² x – 6 = 0 x₃ = 6 ДМ.
• Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 6.

в)

• Имаме повтарящ се израз и затова полагаме = u, където u > 0.
  Бележка:

  За ДМ_u имаме само по-голямо от нула, защото коренът е в знаменател, а знаменателят на една дроб трябва да е различен от нула.

• Получаваме и решаваме дробното уравнение с неизвестно u:
  – u = – 4 u² – 4u – 5 = 0, u₁ = 5, u₂ = – 1 ∉ ДМ_u.
• Заместваме в полагането само с u₁ = 5 и решаваме полученото ирационално уравнение:
  = u ()² = 5² 2x + 5 = 25 x = 10.
• Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 10.