Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра
Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Модулни уравнения и неравенства. Ирационални уравнения
Съдържание на темата:
Теория
I. Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Двойно неравенство
- Oпределение – Две или повече от две линейни неравенства, които се решават заедно, т.е. търсим общите им решения.
- Начин за решаване
Правило за решаване на системи линейни неравенства с едно неизвестно
- Решаваме едното неравенство и нанасяме решенията му на числовата ос.
- Решаваме другите неравенства и нанасяме решенията им върху същата числова ос.
- Избираме тези от решенията, които са общи за всички неравенства, т.е. намираме сечението от получените интервали.
Oпределение – Неравенство от вида:
a1x + b1 < a2x + b2 < a3x + b3, където a1, a2, a3, b1, b2 и b3 са числа.
При изписването на двойното неравенство, може да се използва всеки друг знак за неравенство, но всички знаци трябва да бъдат с еднакви посоки.
II. Модулни уравнения
- Oпределение – Върху числовата ос, модулът от едно число е разстоянието на това числа до нулата. Например, ако имаме числото – 3, то |– 3| = 3, защото разстоянието на – 3 до 0 е равно на 3. Това означава, че |– 3| = |+ 3| = 3. От това определение следва, че
(1): |a| ≥ 0, за всяко a. - Свойства:
(2): |a – b| = |b – a|.
(3): |– a – b| = |a + b|.
Oпределение – Уравнения от вида:
(4): |A| = B, където A и B са числа или израз (едночлен или многочлен).
Решенията на модулното уравнение (4) зависят от знака на B:
- Ако B е положително число, т.е. B > 0 разписваме и решаваме двете уравнения:
(5): A = B или A = – B. - Ако B = 0 разписваме и решаваме едно уравнение:
(6): A = 0. - Ако B < 0, то модулното уравнение (4) няма решение.
От казаното по-горе следва, че решенията на неравенството B ≥ 0 определят кога модулното уравнение (4) има или няма решение.
III. Модулни неравенства
Това неравенство се решава в зависимост от числото c.
(7): Ако c > 0, то решаваме системата
Ако c ≤ 0, то неравенството няма решение.
Ако имаме неравенството |ax + b| ≤ c, то:
- при c ≥ 0 решенията са – c ≤ ax + b ≤ c;
- при c < 0 няма решение.
Това неравенство се решава в зависимост от числото c.
(8): Ако c > 0, то е изпълнено ax + b > c или ax + b < – c.
Ако c = 0, то решенията са всяко x ≠ – , a ≠ 0.
Ако c < 0, то всяко x е решение на неравенството.
Ако имаме неравенството |ax + b| ≥ c, то:
- при c > 0 имаме ax + b ≥ c или ax + b ≤ – c;
- при c ≤ 0 всяко x е решение.
IV. Ирационални изрази
O – Алгебричен израз, при който неизвестното е под знака за корен.
- Oпределение – Когато не съдържа корен в знаменател и няма множители, които могат да се изнесат.
- Примери:
- Нормален вид: 11.
- Не са в нормален вид: .
Множителят, който се намира пред корена.
Например: Изразът 4x2 има коефициент 4x2.
Изрази, които в нормалният си вид имат еднакви подкоренни величини.
- Привеждаме рационалните изрази в нормален вид, ако те не са.
- Сравняваме подкоренните им величини.
Множеството от всички стойности на променливите, за които подкоренните величини са неотрицателни и знаменателите са различни от нула.
Всяка стойност на променливата, за която изразът има смисъл, се нарича допустима стойност (ДС) на израза. Множеството от всички допустими стойности образуват дефиниционното множество (ДМ) на израза, т.е. множеството от ДС и дефиниционното множество ДМ на даден израз е едно и също нещо.
- Математически действия – За събиране, изваждане, умножение, делене, степенуване на ирационални изрази използваме същите правила и формули, които се използват при съответните действия с квадратни корени.
- Рационализиране – Използваме същите правила и формули, които използваме при рационализиране на квадратни корени.
- Полезна формула – Ако имаме дроб намираща се под квадратен корен и се налага да сменим числител със знаменател, може да използваме следната формула:
V. Ирационални уравнения
O – Уравнение, при което неизвестното е под знака за корен.
Уравнение от вида
(10): = B, където A е израз съдържащ неизвестно (едночлен или многочлен), а B е число или израз.
(11): .
- Преобразуваме уравнението до вид (10).
- Повдигаме двете му страни на квадрат.
- Намираме корените на полученото уравнение.
- Заместваме всеки корен в даденото уравнение и проверяваме дали се получава вярно равенство.
- Преобразуваме уравнението до вид (10).
- Съставяме системата:
(12): . - Решенията на тази система са решения на ирационалното уравнение (10).
Може да не се решава системата в стъпка 2 от II начин. Достатъчно е да решим уравнението A = B2. За всеки корен x0 на това уравнение проверяваме знака на В:
- ако B ≥ 0, то числото x0 е решение на ирационалното уравнение;
- ако B < 0, то числото x0 НЕ е решение на ирационалното уравнение.
- Решаване на ирационално уравнение с един корен (радикал) и число.
- Решаване на ирационално уравнение с един корен (радикал), но извън корена също има неизвестно.
- Решаване на ирационално уравнение с два квадратни радикала.
- Решаване на уравнение, което не е ирационално, но съдържа корен радикал.
- Решаване на ирационално уравнение чрез полагане.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: