Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Комбинаторика. Вероятности. Статистика–теория || Комбинаторика. Вероятности. Статистика - задачи



I. Комбинаторика. Вероятности.

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
От 10 певици и 8 певци се избира един изпълнител за солист. По колко различни начина може да стане това?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Певец може да бъде избран по 8 различни начина (защото са 8 мъже), а певица – по 10 начина (защото са 10 жени).
  • Условието може да бъде прочетено, че солистът се избира или от 10 певици или от 8 певци, т.е. елементите са свързани със съюза „или“. Това означава, че може да приложим правилото за събиране.
  • Използвайки правилото за събиране на съединения отговаряме, че солистът (певец или певица) се избира по 8 + 10 = 18 начина.

Зад. №2:
В ресторант предлагат 4 вида супи, 6 основни ястия и 3 десерта. Колко различни обяда могат да се поръчат от:
а) три различни ястия;
б) две различни ястия;
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящо правило за действия със съединения.

а) Използваме правилото за умножение, защото при всеки избор на супа избираме и основно ястие и десерт.

  • Супата се избира по 4 различни начина.
  • При всеки избор на супа основното ястие се избира по 6 начина, тогава групата (супа, ястие) се избира по 4.6 = 24 начина.
  • Комбинираме всяка от тези двойки с възможните десерти, т.е. имаме 24.3 = 72 различни обяда.
  • Отговор: Могат да се изберат 72 различни обяда.
Бележки:

Задачата може да се запише по-кратко: Различните обяда са 4.6.3 = 72.

б) Ще използваме както правилото за умножение (когато в изречението имаме съюза „и“), така и правилото за събиране (когато в изречението имаме съюза „или“).

  • Възможностите за избор на две различни ястия са: супа и основно ястие (4.6) или супа и десерт (4.3) или основно ястие и десерт (6.3).
  • Така получаваме, че имаме 4.6 + 4.3 + 6.3 = 54 възможности за съставяне на обяд от две ястия.
  • Отговор: Могат да се изберат 54 различни обяда.

Зад. №3:
а) Колко са петцифрените числа съдържащи цифрите 1, 2, 3, 4 и 5 точно по веднъж?

б) В колко от тези числа цифрите 4 и 5 са една до друга?

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формулата за пермутации.

а)

  • Броят на всички елементи е 5, като всеки елемент участва точно по един път, затова трябва да намерим броя на пермутациите.
  • От 5 цифри (n = 5) могат да бъдат съставени P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 петцифрени числа.

б)

  • По условие имаме две цифри, които са винаги една до друга. Затова може да „обединим“ цифрите 4 и 5 в „една цифра“ (група), която заема една позиция.
  • Това означава, че в подредбата участват 4 елемента (трите свободни цифри и едната група).
  • Т.е. намираме броя на пермутациите на 4 елемента (n = 4):
    P4 = 4.3.2.1 = 24.
  • Двата елемента в групата (цифрите 4 и 5) също могат да сменят местата си, като начините са
    P2 = 2.1 = 2.
  • Прилагаме правилото за умножение:
    P2.P4 = 2.24 = 48.

Зад. №4:
Колко са четирицифрените числа, които съдържащи цифрите 0, 1, 2 и 3 точно по веднъж?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Намерете пермутации на 4 елемента и след това извадете пермутации на 3 елемента, защото няма число започващо с цифрата 0.

  • Елементите са 4 и се използват всичките. Това означава, че трябва да намерим пермутации на 4 елемента (n = 4).
  • От 4 цифри могат да бъдат съставени P4 = 4.3.2.1 = 24 четирицифрени числа.
  • От този брой трябва да извадим броя на пермутациите, при които първата цифра е 0 (защото няма число започващо с нула), т.е. P3 = 3.2.1 = 6.
  • Следователно броят на четирицифрените числа, съставени от дадените четири цифри е P4 – P3 = 24 – 6 = 18.

Зад. №5:
Дадени са 6 различни по цвят ленти. Намерете колко различни трицветни знамена могат да се ушият от тях.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула за вариации.

Нека всеки цвят да означим с буквите А, Б, В, Г, Д, Е. Вижда се, че, за да получим трибуквена дума (едно трицветно знаме) редът на буквите е от значение, то броят на всяка тройка цветове е равен на броя на вариациите на 6 елемента от 3 клас или V63 = 6.5.4 = 120, т.е. могат да се ушият 120 знамена.


Зад. №6:
Телефонен номер се състои от 6 различни цифри. Човек запомнил само три от тях. Колко опита най-много трябва да направи, за да улучи номера?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула за вариации на 7 елемента от 3 клас.

  • От шестте цифри на номера не се знаят само 3.
  • Всички цифри са 10 (включително и нулата), но 3 не участват, защото се знаят, т.е. остава да избираме 3 цифри от общо 7.
  • Тъй като редът на цифрите е от значение, то броят на всички опита е равен на броя на вариациите на 7 елемента (n = 7) от 3 клас (k = 3):
    V73 = 7.6.5 = 210.
  • Отговор: Човекът трябва да направи най-много 210 опита.

Зад. №7:
Колко са четирицифрените числа, които съдържат цифрите 0, 1, 2, 3, 4 и 5 точно по веднъж?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула за вариации, като не забравяте, че няма число започващо с цифрата 0.

  • Редът на цифрите в групата е от значение, но не се използват всички дадени цифри.
  • Тогава броят на четирицифрените числа (k = 4), които могат да се съставят от шест цифри (n = 6) е равен на броя на вариациите на 6 елемента от 4 клас:
    V64 = 6.5.4.3 = 360.
  • Намираме броят на четирицифрените числа започващи с 0 (защото няма число започващо с нула). Той е равен на броя на вариациите на 5 елемента (n = 5) от 3 клас (k = 3):
    V53 = 5.4.3 = 60.
  • Броят на четирицифрените числа получени от дадените цифри е V64 – V53 = 360 – 60 = 300.

Зад. №8:
По колко различни начина може да се състави отбор от 3 души, ако изборът се прави измежду 6 човека?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула за комбинации.

Нека да означим участниците с числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. В случая е важно кои участници влизат в отбора, но редът им в списъка няма значение, защото тройките (1, 2, 3) и (3, 2, 1) представляват един и същи отбор. Затова намираме броя на комбинациите на 6 елемента (n = 6) от 3 клас (k = 3).

  • V63 = 6.5.4 = 120.
  • P3 = 3.2.1 = 6.
  • .
  • Отговор: При даденото условие могат да се съставят 20 отбора.

Зад. №9:
В цветарски магазин има 15 червени и 20 бели рози. За съставяне на букет от 5 рози се използват 2 червени и 3 бели рози. Колко букета могат да бъдат съставени?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Намерете броя на комбинациите, по които може да извадим 2 от общо 15 червени рози.
  2. Намерете броя на комбинациите, по които може да извадим 3 от общо 20 бели рози.
  3. Използвайте правилото за умножение, за да пресметните колко букета могат да се съставят.

В букетът е важно не подредбата на розите, а елементите от които е изграден, затова търсим комбинации без повторение.

  • Две червени рози (k = 2) могат да бъдат избрани от общо 15 рози (n = 15) по = 105 начина.
  • От 20 бели рози (n = 20) могат да бъдат избрани 3 (k = 3) по = 1140 начина.
  • По правилото за умножение, букет от 5 рози може да бъде избран по C152.C203 = 105.1140 = 119 700 начина.

Зад. №10:
Да се намери колко окръжности са определени от 7 точки, ако никои 3 от тях не лежат на една права и никои 4 не лежат на една окръжност.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Намерете комбинации на 7 елемента от 3 клас.

  • Обозначаваме дадените точки с A, B, C, D, E, F и G.
  • Една окръжност се определя от 3 точки. Например точките B,C,F определят една окръжност, която може да означим по този начин (ВCF).
  • Редът на точките няма значение, защото окръжностите (ВCF), (BFC) и (FBC) са една и съща окръжност, защото не се различават по елементи (обаче, окръжностите (BFC) и (ADG) са различни окръжности).
  • Това означава, че трябва да приложим формулата за комбинации.
  • Броят на комбинациите на 7 елемента (n = 7) от 3 клас (k = 3), т.е. броят на търсените окръжности, е:
    = 35.

Зад. №11:
По колко начина може да се разпределят 12 предмета между трима човека, така че всеки да получи по 4 предмета?
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Използвайте формулата за комбинации, за да намерите първият човек по колко начина може да получи 4 предмета от общо 12.
  2. За вторият човек остават 8 предмета и намерете комбинации на 8 елемента от 4 клас.
  3. Останалите 4 предмета са за третият човек.
  • При разпределението НЕ се използват всички елементи (предмета) и редът им на избор няма значение, т.е. ще имаме комбинации.
  • Първият човек получава 4 предмета (k = 4) от общо 12 (n = 12), т.е. четирите предмета, които ще получи първият човек, се избират от всичките 12 предмета по C124 начина.
  • От останалите 8 предмета (n = 8), вторият човек получава 4 предмета (k = 4) по C84 начина.
  • Остават 4 предмета, които се получават от третият човек по един възможен начин.
  • Прилагаме правилото за умножение, за да намерим отговора – Предметите се разпределят по
    правило за умножение

Зад. №12:
В един състав имало 10 певци и 12 певици. За концерт по случаен начин се избира група от трима човека. Каква е вероятността в групата да има:
а) 2 певици и 1 певец;
б) 3 певици;
в) повече певци, отколкото певици;
г) поне двама певци.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формулата за класическа вероятност.

В състава има 22 човека и се избират трима от тях, като редът на избор няма значение, затова броят на всички възможни групи (възможните случаи) е
n = = 1540.

а)

  • В състава има общо 12 певици (n = 12) и се избират 2 от тях (k = 2), като редът им няма значение и затова използваме формулата за комбинации, т.е. две певици могат да бъдат избрани по = 66 различни начина.
  • По подобен начин един певец може да бъде избран по = 10 начина.
  • По условие елементите са свързан със съюза и, т.е. трябва да използваме правилото за умножение, като от него следва, че броят на благоприятните изходи m (броят на всички групи, в които има точно 2 певици и 1 певец) e
    m = C122.C101 = 66.10 = 660.
  • Вероятността p(A) в състава да има 2 певици и 1 певец е
    p(A) = .

б)

  • Намираме броя на благоприятните случаи – Три певици могат да бъдат избрани по
    m = = 220 различни начина.
  • Вероятността p(A) в състава да има 3 певици е
    p(A) = .

в)

вероятност

г)

  • Намираме благоприятните случаи m:
    • В началото на задачата намерихме, че броят на всички възможни групи в състав е C223.
    • От тези всички групи, трябва да махнем групите, които се състоят само от 3 певици, като техният брой е C123.
    • И освен нова, трябва да махнем и тези, които се състоят от 2 певици и 1 певец, като техният брой е C122.C101.
    • Така получаваме:
      m = C223 – C123 – C122.C101 = 1540 – 220 – 660 = 660.
  • Намираме търсената вероятност:
    p(A) = .

Зад. №13:
В един магазин има 10 хладилника, като 20% от тях са със скрит дефект. Каква е вероятността:

а) да се закупят 3 здрави хладилника?

б) всички закупени 3 хладилника да са дефектни?

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формулата за класическа вероятност.

  • В партидата има 2 дефектни хладилника, защото 20% от 10 = 2.
  • Намираме броя на възможните случаи n – Произволният избор на 3 хладилника от общо 10 е комбинация (защото избираме част от всичките елементи и редът на избор няма значение) на 10 елемента (n = 10) от 3 клас (k = 3). Тогава броят на възможните начини (брой на възможните случаи), по които могат да се изберат 3 хладилника от 10, е n = = 120.

а)

  • Щом 2 хладилника от 10 са дефектни, то 8 са здрави.
  • По условие ще избираме 3 здрави хладилника от общо 8, т.е. избират се част от елементите, като редът им няма значение.
  • Това означава, че изборът е равен на броя на комбинациите на 8 елемента (n = 8) от 3 клас (k = 3), т.е.:
    m = = 56.
  • Вероятността p(A) да купим 3 здрави хладилника е
    p(A) = .

б) Щом дефектните хладилници са само 2 от всички 10, то закупуването на 3 дефектни хладилника е невъзможно събитие, т.е. вероятността е 0.

Върни се в теорията  


II. Статистика и обработка на данни

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Фирма се състои от три отдела: административен – 4 души със средна запла-та 1 400 лв., научен – 10 души със средна заплата 1 300 лв. и производствен – 36 души със средна заплата 1 100 лв. Да се намери средната заплата във фирмата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходяща формула за средна стойност.

  • Намираме броя на всички работещи във фирмата:
    n = 4 + 10 + 36 = 50.
  • Използваме формула за средна стойност (формула 9), защото има повтарящи се елементи:
    средна стойност
  • Отговор: Средната заплата във фирмата е 1164 лв.

Зад. №2:
На диаграмата са дадени резултатите от контролно по математика. Да се намери средното аритметично, модата и медианата.

диаграма

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте съответните формули, като преди това получите данните от диаграмата.

средна стойност, мода, медиана


Зад. №3:
След проведен експеримент се оказало, че числата на всичките 500 данни образуват аритметична прогресия. Най-малкото число е 3, а най-голямото е 2105. Намерете медианата и средноаритметичното на тези данни.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Използвайте Свойство 2 на аритметичната прогресия, за да намерите a250 + a251.
  2. Използвайте подходящи формули, за да намерите търсените величини.
  • Нека редът от данните (аритметичната прогресия) е
    a1, a2, ..., a500, като a1 = 3 и a500 = 2105.
  • Щом n = 500 е четно число, то ще имаме два средни члена.
  • Изчисляваме номера на медианата:
    Ме = = 250,5.
  • Това означава, че членове с номера 250 и 251 са централните два члена на редицата.
  • Тези два члена не може да намерим, то може да намерим техния сбор, като използваме Свойство 2 на аритметичната прогресия:
    a1 + a500 = a250 + a251 = 3 + 2105 = 2108.
  • Намираме медианата, като средноаритметично на двата средни члена:
    Медиана = = 1054.
  • Намираме средноаритметичното на данните:
  • Отговор: Средното аритметично на всичките 500 данни е 1054, а медианата е също 1054.
Бележки:

Отбележете, че медианата и средната стойност на тези данни са едно и също число, т.е. те съвпадат.

Върни се в теорията  

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес https://solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание