• Певец може да бъде избран по 8 различни начина (защото са 8 мъже), а певица – по 10 начина (защото са 10 жени).
• Условието може да бъде прочетено, че солистът се избира или от 10 певици или от 8 певци, т.е. елементите са свързани със съюза или. Това означава, че може да приложим правилото за събиране.
• Използвайки правилото за събиране на съединения отговаряме, че солистът (певец или певица) се избира по 8 + 10 = 18 начина.

а) Използваме правилото за умножение, защото при всеки избор на супа избираме и основно ястие и десерт.

• Супата се избира по 4 различни начина.
• При всеки избор на супа основното ястие се избира по 6 начина, тогава групата (супа, ястие) се избира по 4.6 = 24 начина.
• Комбинираме всяка от тези двойки с възможните десерти, т.е. имаме 24.3 = 72 различни обяда.
• Отговор: Могат да се изберат 72 различни обяда.

б) Ще използваме както правилото за умножение (когато в изречението имаме съюза „и“), така и правилото за събиране (когато в изречението имаме съюза „или“).

• Възможностите за избор на две различни ястия са: супа и основно ястие (4.6) или супа и десерт (4.3) или основно ястие и десерт (6.3).
• Така получаваме, че имаме 4.6 + 4.3 + 6.3 = 54 възможности за съставяне на обяд от две ястия.
• Отговор: Могат да се изберат 54 различни обяда.

а)

• Броят на всички елементи е 5, като всеки елемент участва точно по един път, затова трябва да намерим броя на пермутациите.
• От 5 цифри (n = 5) могат да бъдат съставени P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 петцифрени числа.

б)

• По условие имаме две цифри, които са винаги една до друга. Затова може да „обединим“ цифрите 4 и 5 в „една цифра“ (група), която заема една позиция.
• Това означава, че в подредбата участват 4 елемента (трите свободни цифри и едната група).
• Т.е. намираме броя на пермутациите на 4 елемента (n = 4):
  P₄ = 4.3.2.1 = 24.
• Двата елемента в групата (цифрите 4 и 5) също могат да сменят местата си, като начините са
  P₂ = 2.1 = 2.
• Прилагаме правилото за умножение:
  P₂.P₄ = 2.24 = 48.

• Елементите са 4 и се използват всичките. Това означава, че трябва да намерим пермутации на 4 елемента (n = 4).
• От 4 цифри могат да бъдат съставени P₄ = 4.3.2.1 = 24 четирицифрени числа.
• От този брой трябва да извадим броя на пермутациите, при които първата цифра е 0 (защото няма число започващо с нула), т.е. P₃ = 3.2.1 = 6.
• Следователно броят на четирицифрените числа, съставени от дадените четири цифри е P₄ – P₃ = 24 – 6 = 18.

• Редът на цифрите в групата е от значение, но не се използват всички дадени цифри.
• Тогава броят на четирицифрените числа (k = 4), които могат да се съставят от шест цифри (n = 6) е равен на броя на вариациите на 6 елемента от 4 клас:
  V₆⁴ = 6.5.4.3 = 360.
• Намираме броят на четирицифрените числа започващи с 0 (защото няма число започващо с нула). Той е равен на броя на вариациите на 5 елемента (n = 5) от 3 клас (k = 3):
  V₅³ = 5.4.3 = 60.
• Броят на четирицифрените числа получени от дадените цифри е V₆⁴ – V₅³ = 360 – 60 = 300.

1. Използвайте формулата за комбинации, за да намерите първият човек по колко начина може да получи 4 предмета от общо 12.
2. За вторият човек остават 8 предмета и намерете комбинации на 8 елемента от 4 клас.
3. Останалите 4 предмета са за третият човек.

• При разпределението НЕ се използват всички елементи (предмета) и редът им на избор няма значение, т.е. ще имаме комбинации.
• Първият човек получава 4 предмета (k = 4) от общо 12 (n = 12), т.е. четирите предмета, които ще получи първият човек, се избират от всичките 12 предмета по C₁₂⁴ начина.
• От останалите 8 предмета (n = 8), вторият човек получава 4 предмета (k = 4) по C₈⁴ начина.
• Остават 4 предмета, които се получават от третият човек по един възможен начин.
• Прилагаме правилото за умножение, за да намерим отговора – Предметите се разпределят по

• В партидата има 2 дефектни хладилника, защото 20% от 10 = 2.
• Намираме броя на възможните случаи n – Произволният избор на 3 хладилника от общо 10 е комбинация (защото избираме част от всичките елементи и редът на избор няма значение) на 10 елемента (n = 10) от 3 клас (k = 3). Тогава броят на възможните начини (брой на възможните случаи), по които могат да се изберат 3 хладилника от 10, е n = = 120.

а)

• Щом 2 хладилника от 10 са дефектни, то 8 са здрави.
• По условие ще избираме 3 здрави хладилника от общо 8, т.е. избират се част от елементите, като редът им няма значение.
• Това означава, че изборът е равен на броя на комбинациите на 8 елемента (n = 8) от 3 клас (k = 3), т.е.:
  m = = 56.
• Вероятността p(A) да купим 3 здрави хладилника е
  p(A) = .

б) Щом дефектните хладилници са само 2 от всички 10, то закупуването на 3 дефектни хладилника е невъзможно събитие, т.е. вероятността е 0.

1. Използвайте Свойство 2 на аритметичната прогресия, за да намерите a₂₅₀ + a₂₅₁.
2. Използвайте подходящи формули, за да намерите търсените величини.

• Нека редът от данните (аритметичната прогресия) е
  a₁, a₂, ..., a₅₀₀, като a₁ = 3 и a₅₀₀ = 2105.
• Щом n = 500 е четно число, то ще имаме два средни члена.
• Изчисляваме номера на медианата:
  №_Ме = = 250,5.
• Това означава, че членове с номера 250 и 251 са централните два члена на редицата.
• Тези два члена не може да намерим, то може да намерим техния сбор, като използваме Свойство 2 на аритметичната прогресия:
  a₁ + a₅₀₀ = a₂₅₀ + a₂₅₁ = 3 + 2105 = 2108.
• Намираме медианата, като средноаритметично на двата средни члена:
  Медиана = = 1054.
• Намираме средноаритметичното на данните:
  • Използваме сбора (формула 5) на аритметичната прогресия:
    S₅₀₀ = .500 = 1054.500.
  • Използваме формула (8) и намираме средното аритметично:
• Отговор: Средното аритметично на всичките 500 данни е 1054, а медианата е също 1054.