Разпределение корените на квадратни уравнения и неравенства

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Разпределение на корените на квадратни уравнения и неравенства върху числовата ос

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1:: За кои стойности на параметъра m числото 0 се намира между корените на уравнението 4x² – 4(m – 1)x – 3m + 13 = 0?

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте формула (1).

Щом числото 0 е между корените, то уравнението има два различни корена и използваме формула (1):

a = 4 > 0, т.е. върхът на парабулата е надоло.
f (0) = 4.0² – 4(m – 1).0 – 3m + 13 = –3m + 13.
От формула (1) получаваме:
4(– 3m + 13) < 0 m > .
Отговор: При m > числото 0 се намира между корените на даденото уравнение.

Зад. №2:: За кои стойности на параметъра m числото – 5 е по-малко от корените на уравнението x² + (3m – 1)x + 2m² – 1 = 0?

Използвайте формула (2).

За тази задача е изпълнено условие (2) и Фиг. 2:
Отговор: m (– ∞; 1].

Зад. №3:: За кои стойности на параметъра m корените на уравнението mx² – 2(m – 1)x + 7m – 3 = 0 са по-малки от числото 2?

Използвайте формула (3).

За тази задача е изпълнено условие (3) и Фиг. 3:
Отговор: m .

Зад. №4:: За кои стойности на параметъра m точно един от корените на уравнението (2 – m)x² – 2(3m – 2)x – 2m + 1 = 0, принадлежи на интервала от числа –3 и –2?

Използвайте формула (7).

В задачата е показано само мястото на един от корените като мястото на другия не е уточнено (може да е наляво от числото –3 или надясно от числото –2). Затова използваме формула (7):
Отговор: m .

Бележка:

Тук разглеждаме D > 0, защото по условие двата корена се намират на различно место спрямо дадените числа, т.е. корените са различни.

Зад. №5:: За кои стойности на параметъра m корените на уравнението mx² – 2(m – 6)x – m + 15 = 0 принадлежат на интервала от числа –1 и 3?

Използвайте формула (4) и Фиг. 4.

Корените на дадено уравнение, за да принадлежат на интервала от числа (–1; 3), трябва да са изпълнени формула (4) и Фиг. 4.:
Отговор: m [12; +∞).

Зад. №6:: При кои стойности на параметъра m корените на уравнението (m – 2)x² – (3m – 1)x + 2m + 1 = 0 са по абсолютна стойност по-малки от 3?

Старшият коефициент зависи от параметъра и затова разглеждаме два случая:

Уравнението е линейто – това се случва, когато коефициентът през най-голямата степен на х е нула.
Уравнението е квадратно – това се случва, когато коефициентът през най-голямата степен на х е различно от нула, тогава използвайте формула (4).

От условието не става ясно дали уравнението е линейно или квадратно, затова разглеждаме случаите:

Даденото уравнение е линейно, когато m – 2 = 0, т.е. m = 2. При тази стойност на параметъра проверяваме дали даденото уравнение има корен с посоченото свойство:
0.x² – (6 – 1)x + 4 + 1 = 0,
т.е. x = 1 и абсолютната му стойност е по-малка от 3. Следователно m = 2 е решение на задачата.
Даденото уравнение е квадратно, когато m – 2 ≠ 0, т.е. m ≠ 2. При тази стойност на параметъра даденото уравнение може да има единичен или двоен корен, като за тези корени е изпълнено |x₁| < 3 – 3 < x₁ < 3 и |x₂| < 3 – 3 < x₂ < 3 т.е. – 3 < x₁ ≤ x₂ < 3. Затова използваме Формула (4) и Фиг. 4:

От (1) и (2) следва, че всичките решения са m (–∞; 1) {2} (7; +∞).

Зад. №7:: Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които неравенството f (x) = mx² + (m +1)x + m > 0 е изпълнено за всяко x > 1.

Използвайте Основна задача 2

В случая имаме Основна задача 2. Коефициентът пред x² зависи от параметъра затова разглеждаме случаите:

Ако m = 0. Даденото неравенство е линейно и има решение 0x² +(0 +1)x + 0 = x > 0 и очевидно е изпълнено за всяко x > 1. Следователно m = 0 е решение на задачата.
Нека сега m ≠ 0. Изследваме в зависимост от ориентацията на върха на параболата като разглеждаме случаите:
1. Параболата е с върха надолу (Фиг. 1), т.е. m > 0. Намираме дискриминантата D = (m + 1)² – 4m² = – 3m² + 2m + 1 = (1 – m)(3m + 1). Изследваме според знакът на дискриминантата:
  1. При D < 0 (1 – m)(3m + 1) < 0 m (1; +∞). От Таблица №1 и от графика I на Фиг. 1 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x, следователно то е изпълнено и за всяко x > 1. Като засечем с (I) получаваме, че при m (1; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1. Това са решенията в този случай.
  2. При D ≥ 0 (графика II на Фиг. 1). Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за x > 1, ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено условие (10) от Основна задача 2: Като засечем с (I) получаваме, че при m (0; 1] неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1. Това са решенията в този случай.
  От обединението на (1) и (2) следва, че при m (0; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1.
2. Параболата е с върха нагоре (Фиг. 2), т.е. m < 0. В зависимост от знака на дискриминантата D разглеждаме случаите:
  1. D ≤ 0 (1 – m)(3m + 1) ≤ 0 m [1; +∞). От Таблица №1 и от графика I на Фиг. 2 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно неравенството f(x) > 0 няма решение и за x > 1. Това са решенията в този случай.
  2. При D > 0 (графика II на Фиг. 2). От Фигурата се вижда, че в този случай решенията на неравенството f(x) > 0 са крайният интервал (x₁; x₂), и очевидно, f(x) > 0 не е изпълнено за всяко x > 1. Следователно в този случай неравенството f(x) > 0 няма решение.

От обединението на (I) и (II) следва, че при m (0; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1.

От обединението на (A) и (B) следва, че при m [0; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1.

Зад. №8:: Да се намерят всички стойности на параметъра m, при които неравенството f(x) = (m – 1)x² + (2m – 3)x + m – 3 > 0 има поне едно решение по-малко от 1.

Използвайте Основна задача 6.

Ще решим задачата по два начина:

I начин:

Имаме Основна задача 6. Разглеждаме случаите:

При m – 1 = 0, т.е. m = 1 даденото неравенство е линейно. Заместваме в него и получаваме: 0.x² + (2 – 3)x + 1 – 3 > 0 с решения x < – 2. Условието се изпълнява, затова правим извода, че m = 1 е решение.
При m – 1 ≠ 0, т.е. m ≠ 1 даденото неравенство е квадратно. Намираме D = (2m – 3)² – 4(m – 3)(m – 1) = 4m – 3. Променяме условието като търсим стойностите на параметъра m, при които неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (–∞; 1).Изследваме според знака на D:
1. При a > 0, т.е. m – 1 > 0 или m > 1 параболата е с върха надолу. Неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (–∞; 1), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ –∞ > 1 ≤ x₂. Очевидно това е невъзможно. Следователно при m > 1 неравенството f(x) > 0 неможе да няма решения в интервала (–∞; 1). Следователно при m > 1 неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в интервала (–∞; 1).
2. При a < 0 т.е. m – 1 < 0, т.е. m < 1 параболата е с върха нагоре (Фиг. 2). В зависимост от D може да имаме случаите:
  1. При D ≤ 0 4m – 3 ≤ 0 m ≤ . От Таблица №1 и от графика I на Фиг.2 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение. Засичаме с (II) и получаваме, че при m ≤ неравенството f(x) > 0 няма решение и в (–∞; 1). Изключваме тези стойности от целия интервал (–∞; +∞) и получаваме, че при неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).
  2. При D > 0 4m – 3 > 0 m > , неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (–∞; 1), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 e изпълнена Формула (17) от Основна задача 6: Засичаме с (II) и получаваме, че няма стойности на параметъра m, при която неравенството f(x) > 0 да няма решение в (–∞; 1).
От (I) и (II) следва, че при m неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).

От (А) и (В) следват крайните решения, т.е. при m неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).

II начин:

Разглеждаме два случая:

При m – 1 = 0, т.е. m = 1 даденото неравенство е линейно. Заместваме в него и получаваме: 0.x² + (2 – 3)x + 1 – 3 > 0 с решения x < – 2. Условието се изпълнява, затова правим извода, че m = 1 е решение.
При m – 1 ≠ 0, т.е. m ≠ 1 даденото неравенство е квадратно. Коефициентът a = m – 1 пред x² се анулира при m = 1, а дискриминантата D = 4m – 3 при m = . Всички случаи на параболата на функцията f(x) за различните стойности на m са представена на Фиг. 3.
Разглеждаме случаите:
1. При m ≤ от Таблица №1 и от графиките представени на а) и б) на Фиг. 3 се вижда, че даденото неравенство f(x) > 0 няма решение, следователно то няма решение и в интервала (–∞; 1)
2. При m , за да бъде изпълнено условието на задачата, имаме следните възможности (графика в) от Фиг. 3):
  1. 1 (x₁; x₂) (m – 1).f(1) < 0 (m – 1)(4m – 7) < 0 m . Засичаме с (II) и получаваме, че в този случай няма стойности на m, при които неравенството f(x) > 0 да има решение в интервала (–∞; 1).
3. При m > 1 от графика г) на Фиг. 3 виждаме, че условието на задачата се изпълнява за всяко m (разбира се за всяко m > 1.

От (А) и (В) следват крайните решения, т.е. при m неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура