Разпределение корените на квадратни уравнения

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Разпределение на корените на квадратни уравнения и неравенства върху числовата ос

Съдържание на темата:

Разпределение на корените на квадратно уравнение върху числовата ос.
Разпределение на корените на квадратно неравенство върху числовата ос.

Теория

I. Разпределение на корените на квадратно уравнение върху числовата ос

число между корените на уравнение Нека квадратното уравнение ax² + bx + c = 0 има корени x₁ и x₂, за които имаме x₁ < x₂.

Числото p се намира между корените (т.е. x₁ < p < x₂), ако е изпълнено a.f(p) < 0, (Фиг.1), или:
(1): Ако p (x₁; x₂) a.f (p) < 0.
Бележки:
1. Ако числото p съвпада с един от двата корена, то (1) е a.f(p) ≤ 0.
2. Ако p (x₁, x₂), то условието D > 0 е излишно.
Числото p се намира извън двата корена наляво (Фиг. 2), ако е изпълнено
(2):
Числото q се намира извън двата корена надясно (Фиг. 3), ако е изпълнено
(3):
Корените на квадратното уравнение x₁ и x₂, принадлежат на интервала от числа p и q (Фиг. 4), ако е изпълнено
(4):
Числото q е между двата корена, а мястото на другото число p е наляво от корените (Фиг. 5), ако е изпълнено
(5):
Числото p е между двата корена, а мястото на другото число q е надясно от корените (Фиг. 6), ако е изпълнено
(6):
Поне един от корените на квадратното уравнение x₁ или x₂, принадлежи на интервала от числа p и q, ако е изпълнено
(7):
Бележки:
1. Формула (7) се получава като обеденим (5) и (6).
2. Случаите, в които се прилага формула (7) са, когато е посочено точното място на единия корен на квадратното уравнение, а не е посочено мястото на другия корен.
3. В (5), (6) и (7) не се включва условието D > 0, защото или p (x₁, x₂) или q (x₁, x₂). (виж Бележките към формула (1)).
Пример: Виж от Зад.№1

II. Разпределение на корените на квадратно неравенство върху числовата ос

В задачи, в които се изисква да се разпределят решенията на квадратно неравенство върху числовата ос, трябва да се вземат предвид всички възможни случаи. Затова ще разгледаме няколко основни задачи.

Зад. №1:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f (x)=ax² + bx + c < 0 е изпълнено за всяко x, принадлежащо на интервала от числа (p; q).

В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

А) Нека a > 0 (Фиг. 8). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. По условие търсим отрицателни стойности на f(x) (f(x) < 0). От Таблица №1 се вижда, че такива няма, т.е. неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно f(x) < 0 няма решение и в интервала (p; q).
D > 0. Неравенството f(x) < 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ p < q ≤ x₂. От Фиг. 8 се вижда, че това е възможно при
(8):

От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) < 0 има решения всяко x (p; q), ако за D > 0 е изпълнено (8).

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 9). В зависимост от D може да имаме случаите:

D < 0. От Таблица №1 и от Фиг. 9 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) < 0 има решение всяко x, следователно f(x) < 0 има решение и за всяко x (p; q).
D ≥ 0. Неравенството f(x) < 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
(9): x₁ ≤ x₂ ≤ p или q ≤ x₁ ≤ x₂

От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) < 0 има решения всяко x (p; q), ако за D < 0, или ако за D ≥ 0 е изпълнено (9).

Крайните решения следват от обединяването на (А) и (В).

Зад. №2:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f (x) = ax² + bx + c > 0 е изпълнено за всяко x, принадлежащо на интервала от числа (p; q).

В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f (x) разглеждаме два случая:

А) Параболата е с върха надолу, т.е. a > 0 (Фиг. 10). В зависимост от D може да имаме случаите:

D < 0. По условие търсим положителни стойности на f(x) (f(x) > 0). От Таблица №1 и от Фиг. 10 се вижда, че щом знаците на a и f (x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение всяко x, следователно f(x) > 0 има решение и за всяко x (p; q)
D ≥ 0. Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
(10): x₁ ≤ x₂ ≤ p или q ≤ x₁ ≤ x₂

От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) > 0 има решения всяко x (p; q), ако D < 0, или ако за D ≥ 0 е изпълнено (10).

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 11). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 11 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение и в интервала от числа (p; q).
D > 0. Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ p ≤ q ≤ x₂. От Фиг. 11 се вижда, че това е възможно при
(11):

От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) > 0 има решения всяко x (p; q), ако за D > 0, е изпълнено (11).

Крайните решения следват от обединяването на (А) и (В).

Зад. №3:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които всички решения на неравенството f(x) = ax² + bx + c < 0 принадлежат на интервала от числа (p; q).

В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

А) Нека a > 0 (Фиг. 12). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и Фиг. 12 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно задачата няма решение в интервала от числа (p; q).
D > 0. Всичките решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено p ≤ x₁ < x₂ ≤ q. От Фиг. 12 и (4) се вижда, че това е възможно при
(12):

От (1) и (2) следва, че при a > 0 всичките решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (12).

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 13). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 13 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то f(x) < 0 има решение всяко x, т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q).
D > 0. От Таблица №1 и от Фиг. 13 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) < 0 има решение x (–∞; x₁) (x₂; +∞), т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D > 0 задачата няма решение.

От (А) и (В) следва, че всички решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (12).

Зад. №4:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които всички решения на неравенството f(x) = ax² + bx + c > 0 принадлежат на интервала от числа (p; q).

В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

А) Параболата е с върха надолу, т.е. a > 0 (Фиг. 14). В зависимост от D може да имаме случаите:

D < 0. От Таблица №1 и от Фиг. 14 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение за всяко x, т.е. не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D < 0 задачата няма решение в интервала от числа (p; q).
D ≥ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 14 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение x (–∞; x₁) (x₂; +∞), т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D ≥ 0 задачата няма решение.

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 15). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 15 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q).
D > 0. Всичките решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено p ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ q. От Фиг. 15 и (4) се вижда, че това е възможно при
(13):

От (1) и (2) следва, че при a < 0 всичките решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (13).

От (А) и (В) следва, че всички решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (13).

Зад. №5:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) = ax² + bx + c < 0 има решение в интервала от числа (p; q).

В тази задача се търсят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала от числа (p; q), а мястото на другото не е уточнено. Подробното анализиране на различните случаи е трудоемко, затова условието се променя и решаването протича на два етапа: Първо се намират стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 НЯМА решения в интервала (p; q) и след това получените стойности се изключват от интервала (–∞; +∞).

За да намерим стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 няма решения в интервала (p; q), изследваме ориентацията на параболата.

А) Параболата е с върха надолу т.е. a > 0 (Фиг. 16). В зависимост от D може да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 16 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно f(x) < 0 няма решение и в (p; q).
D > 0. Неравенството f(x) < 0 няма решения в интервала (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
(14): x₁ < x₂ ≤ p или q ≤ x₁ < x₂

От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала (p; q), ако D ≤ 0, или ако е изпълнено (14). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала (p; q).

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0. Неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала от числа (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ p < q ≤ x₂. От Фиг. 17 се вижда, че това е възможно при
(15):

Следователно при a < 0 неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала (p; q), ако е изпълнено (15). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала (p; q).

Крайните решения следват от А) и В).

Зад. №6:: Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) = ax² + bx + c > 0 има решение в интервала от числа (p; q).

В тази задача се търсят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала от числа (p; q), а мястото на другото не е уточнено. Подробното анализиране на различните случаи е трудоемко, затова условието се променя и решаването протича на два етапа: Първо се намират стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) > 0 НЯМА решения в интервала (p;q), и след това получените стойности се изключват от интервала (–∞; +∞).

За да намерим стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (p; q), изследваме ориентацията на параболата.

А) Параболата е с върха надолу (Фиг. 18), т.е. a > 0. Неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ p < q ≤ x₂. От Фиг. 18 се вижда, че това е възможно при
(16):

Следователно при a > 0 неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (p; q), ако е изпълнено (16). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала (p; q).

B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 ( Фиг. 19). В зависимост от D можем да имаме случаите:

D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 19 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q).
D > 0. Неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (p; q), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите
(17): x₁ ≤ x₂ ≤ p или q ≤ x₁ ≤ x₂

От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (p; q), ако D ≤ 0, или ако е изпълнено (17). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала (p; q).

Крайните решения следват от А) и В).

Общо правило за основните задачи

Ако коефициентът пред x² зависи от параметъра, се разглеждат два случая:
• При a = 0, т.е. неравенството не е квадратно и непосредствоно проверяваме дали неравенството изпълнява даденото условие;

• При a ≠ 0, неравенството е квадратно и продължаваме със следващите стъпки.
Намираме D. Ако D > 0 за всяко m (където m е параметър) или D е точен квадрат, долните разсъждения се опростяват.
Определяме ориентацията на върха на параболата. Ако коефициентът пред x² зависи от параметъра се разглеждат два случая:
• При a < 0

• При a > 0.

И за двата случая чертаем чертеж и прилагаме Таблица №1.
Разглеждаме всички възможни разположения на корените x₁ и x₂ върху числовата ос според условието и върхът на параболата.
Обединяваме всички възможни случаи.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура