Аналитична геометрия – Права в равнината

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Съдържание на темата:

Аналитична геометрия – Общо уравнение на права – решени задачи
Аналитична геометрия – Декартово уравнение на права – решени задачи
Аналитична геометрия – Взаимно положение на прави – решени задачи

I. Аналитична геометрия – Общо уравнение на права

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

Дадена е права с общото си уравнение: g: 4x – 2y – 7 = 0. Да се намерят координатите на:

а) вектор, перпендикулярен на правата;

б) вектор, успореден на правата.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

От формулата за общо уравнение на права (формула 2) и даденото определете коефициентите на правата и след това използвайте координатите на перпендикулярният вектор (A; B) и успоредният вектор (-B; A).

а) От формулата за общо уравнение на права (формула 2) и даденото следва, че: A = 4, B = – 2, C = – 7. Тогава

(A; B) = (4; -2).

б) По подобен начин намираме:

(-B; A) = (2; 4)

Зад. №2:

Намерете уравнение на права g, която минава през точка M (1; 3) и:

а) е успоредна на вектора (3; – 7);

б) е перпендикулярна на вектора (1; 2);

в) е успоредна на оста Ox;

г) е успоредна на оста Oy;

д) минава през точката N (– 1; – 7);

е) е перпендикулярна на вектора (2; – 5). Проверете коя то точките Р (18; 7) и Q (x; y) лежи на правата g.

ж) е успоредна на права с уравнение q: 2x – 7y + 15 = 0;

з) е перпендикулярна на правата t: 3x + 5y – 20 = 0.

Използвайте подходящи формули.

а)

От даденото за успоредния вектор (-B; A) определяме:
(3; – 7) – B = 3 B = – 3; A = – 7.
Тогава уравнението на правата е:
– 7x – 3y + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата g:
– 7.1 – 3.3 + C = 0 C = 16.
Общото уравнение е:
g: – 7x – 3y + 16 = 0.

б)

От даденото за перпендикулярния вектор (A; B) определяме:
(1; 2) A = 1; B = 2.
Тогава уравнението на правата е:
x + 2y + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата g:
1.1 + 2.3 + C = 0 C = – 7.
Общото уравнение е:
g: x + 2y – 7 = 0.

в)

От подточка а) знаем, че векторът (3; – 7) е успореден на g, тогава:
(3; – 7) – B = 3 B = – 3.
По условие търсим права, която е успоредна на оста Ox, т.е. използваме (3) и уравнението на правата е:
– 3y + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата g:
– 3.3 + C = 0 C = 9.
Общото уравнение е:
– 3y + 9 = 0 | : (– 3) g: y – 3 = 0.

г)

От подточка б) знаем, че векторът (1; 2) е перпендикулярен на g, тогава:
(1; 2) A = 1.
По условие търсим права, която е успоредна на оста Oy, т.е. използваме (4) и уравнението на правата е:
x + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата
g:1 + C = 0 C = – 1.
Общото уравнение е:
g: x – 1 = 0.

д)

По условие точките M (1; 3) и N (– 1; – 7) лежат върху търсената права g, т.е. трябва да намерим координатите на вектора .
Намираме координатите на вектор в равнина (използваме формула 13):
(– 1 – 1; – 7 – 3) (– 2; – 10).
Използваме формула за перпендикулярни вектори формула (23), за да намерим координатите на вектор (A;B), който е перпендикулярен на :
A.(– 2) + B.(– 10) = 0.
Това равенство е изпълнено, ако A = 10, B = – 2 или A = – 10, B = 2.
За намирането на С ще използваме само A = 10, B = – 2 и точката N (– 1; – 7):
10.(–1) – 2.(– 7) + C = 0 C = – 4.
Общото уравнение е:
10x – 2y – 4 = 0 | : 2 g: 5x – y – 2 = 0.

Бележка:

Ако бяхме избрали A = 10, B = – 2 и точката M (1; 3), то ще получим същото общо уравнение.

е)

Както в подточка б) определяме, че общото уравнение на търсената права в този случай е:
g: 2x – 5y + 13 = 0.
Намираме координатите на вектора , като използваме формула (13). Точките са M (1; 3) и Р (18; 7), тогава:
(18 – 1; 7 – 3) (17; 4).
Използваме формула за перпендикулярни вектори формула (23), за да проверим дали векторите (2; – 5) и (17; 4) са перпендикулярни:
= 0 = 2.17 – 5.4 = 14 ≠ 0.
Така доказахме, че т. P НЕ лежи на правата g.
По подобен начин проверяваме кога т. Q (x; y) ще лежи върху правата g. Намираме координатите на вектора :
(x – 1; y – 3).
Определяме скаларното произведение:
= 2.(x – 1) – 5.(y – 3) = 2x – 5y + 13.
Точката Q ще лежи върху правата g, ако правата има общо уравнение:
2x – 5y + 13 = 0.
Точката Q НЯМА да лежи върху правата g, ако:
2x – 5y + 13 ≠ 0.

Бележка:

Така доказваме формулата за точка лежаща върху права (формула 1), т.е. подточка е) може да се реши и като приложим формула (1).

ж)

Ще намерим координатите на вектор (A; B), който да е перпендикулярен на дадената права q (тогава той ще е перпендикулярен и на търсената права g, защото по условие q || g).
Векторът (A; B) ще е перпендикулярен на q: 2x – 7y + 15 = 0, когато: A = 2, B = – 7.
Тогава уравнението на търсената права g е:
2x – 7y + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата g:
2.1 – 7.3 + C = 0 C = 19.
Общото уравнение е:
g: 2x – 7y + 19 = 0.

з)

Ще намерим координатите на вектор (-B; A), който да е успореден на дадената права t (тогава той ще е успореден и на търсената права g, защото по условие t g).
От уравнението на дадената права t: 3x + 5y – 20 = 0 и формула за общо уравнение на права (формула 2) следва, че A = 3, B = 5.
Т.е. векторът (-B; A) ще има координати (– 5; 3).
По условие t g и || t , т.е. g и от формула (2) уравнението на правата g е:
– 5x + 3y + C = 0.
Коефициентът C определяме от условието, че т. M (1; 3) лежи на правата g:
– 5.1 + 3.3 + C = 0 C = 4.
Общото уравнение е:
g: – 5x + 3y + 4 = 0.

Бележка:

Друг начин за решаване на подточки ж) и з) виж в Зад. 1 от раздела "Аналитична геометрия – Взаимно положение на прави".

Върни се в теорията

II. Аналитична геометрия – Декартово уравнение на права

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

а) Намерете декартовото уравнение и общото уравнение на права g, която минава през точка M (– 3; 2) и сключва с оста Ox ъгъл α = 135°.

б) Намерете декартовото уравнение и ъгловия коефициент на права g, която минава през точките A (1; – 3) и B (2; – 1).

в) Намерете декартовото уравнение, ъгловия коефициент и свободния коефициент на права g, която има общо уравнение g: 1,5x – 3y + 6 = 0.

Използвайте подходящи формули.

а)

Използваме формула за начини за задаване на права (формула 13), за да намерим ъгловия коефициент:
k = tg α = tg 135° = – 1.
Използваме формула за начини за задаване на права (формула 10) и намираме декартовото уравнение:
y – 2 = – 1 (x + 3) y = – x + 1.
Ще намерим общото уравнение на правата g по два начина:
I начин:

От декартовото уравнение получаваме общото уравнение:

g: y = – x + 1 x + y – 1 = 0.

II начин:
- Използваме формула за декартово уравнение на права (формула 9) и получената стойност на коефициента k = – 1:
  y = – 1x + b.
- Намираме коефициента b от условието, че M g:
  2 = – 1.(– 3) + b b = 1.
- Записваме общото уравнение:
  y = – 1x + b y = – 1x + 1 x + y – 1 = 0.

б)

Използваме формула за начини за задаване на права (формула 12), за да получим декартовото уравнение:
y + 3 = (x – 1) y = 2x – 5.
Използваме формула за начини за задаване на права (формула 13), за да намерим коефициента:
k = = 2.

в)

Използваме формула за начини за задаване на права (формула 14), за да получим декартовото уравнение на правата g, като коефициентите A, B и C ги вземаме от даденото общо уравнение на правата g: 1,5x – 3y + 6 = 0:
y = y = 0,5x + 2.
От формула за декартово уравнение на права (формула 9) и полученото декартово уравнение, определяме, че:
k = 0,5, b = 2.

Върни се в теорията

III. Аналитична геометрия – Взаимно положение на прави

Теория

Решени задачи

Зад. №1:

а) Намерете общото уравнение на права g, която минава през точка M (– 3; 2) и е перпендикулярна на правата p: 2x – y + 10 = 0.

б) Намерете общото уравнение на права g, която минава през точка M (– 3; 2) и е успоредна на правата p: 2x – y + 10 = 0.

в) Дадени са две двойки прави g₁: 2x + 7 = y и g₂: 4x + y + 1 = 0, и p₁: 6x + 3y – 1 = 0 и p₂: 2x = 4y. Ако правите се пресичат, намерете пресечната им точка и косинуса на ъгъла между тях.

Използвайте подходящи формули.

а)

Получаваме декартовото уравнение на дадената права p и определяме ъгловия ѝ коефициент:
p: 2x – y + 10 = 0 y = 2x + 10, т.е. k_p = 2.
Използваме формула за права, зададена с декартовото си уравнение (формула 25):
От g p k_g.k_p = – 1 k_g = – .
Записваме декартовото уравнение на търсената права g:
y = – x + b.
От условието, че точка M (– 3; 2) g намираме коефициента b:
2 = – . (– 3) + b b = .
Записваме крайното уравнение на търсената права g и от него получаваме общото ѝ уравнение:
y = g: x + 2y – 1 = 0.

б)

По условие g || p, т.е. коефициентите пред x и y в уравненията им са пропорционални и от формула (20) получаваме:
g: 2x – y + C = 0.
От условието, че точка M (– 3; 2) g намираме коефициента C:
2.(– 3) – 2 + C = 0 C = 8.
Записваме крайното общо уравнение на търсената права g:
g: 2x – y + 8 = 0.

в)

Записваме уравненията на правите g₁ и p₂ в нормален вид (уравненията на другите две прави са в нормален вид):
g₁: 2x – y + 7 = 0; p₂: 2x – 4y = 0.
Определяме взаимното положение на правите g₁ и g₂, и p₁ и p₂ и проверяваме условие (18), за да проверим коя двойка прави се пресичат:
Т.е. правите g₁ и g₂ се пресичат, и правите p₁ и p₂ също се пресичат.
Решаваме системата от формула (17), за да намерим координатите на пресечната точка на правите g₁ и g₂:

т.е. пресечната точка на правите g₁ и g₂ има координати .
За правите p₁ и p₂ отново прилагаме формула (17):

т.е. пресечната точка на правите p₁ и p₂ има координати .
Използваме формула (19), за да намерим косинуса на ъгъла между пресичащите се прави:

Бележка:
От това, че cos φ_p = 0 следва, че правите p₁ и p₂ са перпендикулярни. Това че правите p₁ и p₂ са перпендикулярни можеше да докажем, като използваме ъгловите им коефициенти и формула за прави, зададени с декартови уравнения (формула 25).

Зад. №2:: Намерете разстоянието от точка M (– 1; 2) до правата g: 3x + 4y – 10 = 0.

Намерете уравнение на права p, която минава през т. M и е перпендикулярна на g (използвайте Зад. 1 а).
Намерете пресечната точка N между правите p и g.
Намерете дължината на отсечката MN.

I начин:

Използваме формулата за разстояние от точка до права (формула 26):

d = |MN| = = 1.

II начин:

Ще решим задачата на няколко стъпки (Фиг. 5):

Намираме уравнение на права p, която минава през т. M и е перпендикулярна на g. (виж Зад. 1 а):
- Получаваме декартовото уравнение на дадената права g и определяме ъгловия ѝ коефициент:
  g: 3x + 4y – 10 = 0 y =
- Използваме формула за права, зададена с декартовото си уравнение (формула 25), за да определим ъгловия коефициент на правата p:
  От g p k_g.k_p = – 1 k_p = .
- Записваме декартовото уравнение на построената права p:
  y = x + b.
- От условието, че точка M (– 1; 2) p намираме коефициента b:
  2 = .(– 1) + b b = .
- Записваме крайното уравнение на построената права p и от него получаваме общото ѝ уравнение:
  y = p: 4x – 3y + 10 = 0.
Намираме пресечната точка N между правите p и g (виж Зад. 1 в):
- За правите p и q решаваме системата от формула (17):
- Правите p и g се пресичат в точка N (–; ).
Използваме дължината на отсечката MN (формула 21):

Върни се в теорията

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура