• Точка лежаща върху права – Нека да е дадена правата g, точка върху нея M₀ (x₀; y₀) и вектор (A;B), перпендикулярен на g (Фиг. 1). Една точка M (x; y) лежи върху правата точно тогава, когато координатите ѝ удовлетворяват уравнението:

  (1): A.(x – x₀) + B.(y – y₀) = 0.

  Бележка:

  Вижте решена Зад. 2 подточка е).
• Общо уравнение на права – Ако във формула (1) въведем числото C = Ax₀ – By₀, то получаваме уравнението:

  (2): g: Ax + By + C = 0.

  Теорема – Ако g е произволна права от равнината, то съществуват числа A, B и C (поне едно от числата A и B да е различно от нула, т.е. |A| + |B| ≠ 0), така че координатите x и y на всяка точка M (x; y) от правата g удовлетворяват уравнението (2).

  Свойство₁ – Ако M (x, y) е точка от правата g, то координатите ѝ удовлетворяват (2).

  Свойство₂ – Ако координатите (x, y) на една точка M удовлетворяват (2), то M лежи на правата g.

  Уравнение (2) се нарича общо уравнение на правата g, а числата A, B и C се наричат коефициенти на общото уравнение.

  Може да се докаже, че всяко уравнение от вида (2) е уравнение точно на една права в равнината. Ако две уравнения са еквивалентни, то те задават една и съща права.

  Например, уравненията 3x – 2y + 5 = 0, 2(3x – 2y + 5) = 0, x – y + = 0 са общи уравнения на една и съща права.

• Безброй много общи уравнения на права – Във формула (1) или (2) векторът (A;B) бе избран произволно по направление, перпендикулярно на правата. Това означава, че всяка права притежава безброй общи уравнения със съответно пропорционални коефициенти.
• Нормален вектор – Ако дължината на вектора (A;B) е единица, т.е. = 1, то той се нарича нормален вектор на правата g с уравнение (2).

• Общо уравнение на права и колинеарен на нея вектор (-B;A) – Формулата за общото уравнение на права (формула 2) е получена за вектора (A;B), който е перпендикулярен на g. Тогава векторът (-B;A) е успореден на същата права g (Фиг. 1), защото векторното им произведение е нула, т.е. = 0. Това означава, че векторът (-B;A), а следователно и правата g с общо уравнение (2) са успоредни на една от координатните оси.
• Уравнение на права, която е успоредна на абсцисната ос Ox – Във формулата за общото уравнение на права (формула 2), ако A = 0, то уравнението на правата е:

  (3): g: By + C = 0 или y = – .

  Векторът (-B;0) е успореден на оста Ox. Това означава, че и правата g е успоредна на оста Ox. Всички точки от правата имат една и съща ордината (y = const).

• Уравнение на права, която е успоредна на ординатната ос Oy – Във формулата за общото уравнение на права (формула 2), ако B = 0, то уравнението на правата е:

  (4): g: Ax + C = 0 или x = – .

  Това означава, че правата g е успоредна на оста Oy. Всички точки от правата имат една и съща абсциса (x = const).

• Уравнение на права, която минава през центъра на координатната система т. O (0; 0) – Във формула (2), ако C = 0, то уравнението на правата е:

  (5): g: Ax + By = 0.

• Отрезово уравнение – Ако A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Фиг. 2), то правата g пресича и двете координатни оси, като НЕ минава през O (центъра на координатната система). Ако пресечните ѝ точки с координатните оси са M (m; 0) и N (0; n), то числата m и n се наричат отрези на правата от координатните оси.
  • Дължини на отрезите – Заместваме последователно координатите на т. M и т. N в уравнението на правата g (формула 2) и получаваме:

    (6): g: A.m + B.0 + C = 0 или m = – .

    (7): g: A.0 + B.n + C = 0 или n = – .

  • Отрезово уравнение на права:

    (8): .

• Декартово уравнение на права през една точка – Нека е дадена точка M₁ (x₁; y₁). През нея минават безброй много прави, но има само една, която е успоредна на ординатната ос Oy. Тя ще има уравнение x = x₁. Тази права няма ъглов коефициент, няма свободен коефициент, т.е. няма декартово уравнение. Всички останали прави (Фиг. 3), които НЕ са успоредни на ординатната ос Oy и точката M₁ (x₁; y₁) лежи върху тях, ще имат декартово уравнение от вида:

  (10): y – y₁ = k(x – x₁).

  В това уравнение, ако даваме различни стойности на коефициента k, то получаваме уравненията на различните прави през т. M₁, разбира се с изключение на правата, която е успоредна на ординатната ос Oy.

  Числената стойност на ъгловия коефициент k се намира от формула (10), а геометричният му смисъл се определя (Фиг. 3) от ΔMPM₁ (P = 90°):

  (11): k = tg α,

  т.е. ъгловият коефициент на права, неуспоредна на ординатната ос Oy, е равен на тангенса на ъгъла, който правата сключва с положителната посока на оста Ox.

• Декартово уравнение на права през две точки – Нека е дадена правоъгълна координатна система, точките M₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂), права g, която НЕ е успоредна на оста Oy и минаваща през тези точки (Фиг. 4). Декартовото уравнение на тази права има вида:

  (12): y – y₁ = (x – x₁).

  Числовата стойност на ъгловия коефициент k се намира от формула (12), а геометричният му смисъл се определя (Фиг. 4) от ΔM₁PM₂ (P = 90°):

  (13): k = = tg α.

• Декартово уравнение на права, която е зададена с общо уравнение – Нека е зададена права g с общо уравнение:

  g: Ax + By + C = 0, B ≠ 0.

  Това уравнение може да се преобразува до вида:

  (14): y =

  Бележка:

  Вижте решена Зад. 1 подточка в).

  При сравняването на (14) и формулата за декартово уравнение на права (формула 9) установяваме, че коефициентът k и свободният коефициент b се определят от формулите:

  (15): k = – ; b = –

Нека е дадена произволна точка M (x₀; y₀) и права g: Ax + By + C = 0 (Фиг. 5). По подобен начин както в Зад 2 доказваме, че разстоянието d от т. M до правата g се намира по формулата:

(26): d = |MN| = .