а) От формулата за Координати на медицентър на триъгълник (формула 25) получаваме:

б) Ако средите на съответните страни отбележим с M_AB, M_BC, M_AC, то от формулата за Координати на среда на отсечка (формула 24) получаваме:

в) Използваме формула (12), за да определим декартовото уравнение на съответната права и след това ще получим общото ѝ уравнение:

• a = BC: y – y_B y + 3 a: x – 4y – 18 = 0.
• b = AC: y – y_A y – 1 b: x + 3y – 4 = 0.
• c = AB: y – y_A y – 1 c: 4x + 5y – 9 = 0.

г) Ще използваме начин, който използвахме при подточка в):

• Медианата m_a е права, която минава през точките A (1; 1) (дадена по условие) и M_BC (получена в подточка б):

  m_a = AM_BC: y – y_A y – 1 m_a: x + 2y – 3 = 0.

• Медианата m_b е права, която минава през точките B (6; – 3) (дадена по условие) и M_AC (получена в подточка б):

  m_b = BM_AC: y – y_B y +3 m_b: 5x – y – 27 = 0.

• Медианата m_c е права, която минава през точките C (10; – 2) (дадена по условие) и M_AB (получена в подточка б):

  m_c = CM_AB: y – y_C y + 2 m_c: 2x + 13y + 6 = 0.

д) Задачата се свежда до намиране на права, перпендикулярна на съответната страна и минаваща през съответния връх (виж Зад 1 а):

• В подточка в) получихме общите уравнения на страните на триъгълника.
• Намираме декартовото уравнение на височината към страната a:
  • Височината h_a е права, която минава през връх A (1; 1) и е перпендикулярна на страната a = BC: x – 4y – 18 = 0.
  • Получаваме декартовото уравнение на страната a и определяме ъгловия ѝ коефициент:

    a: x – 4y – 18 = 0 y

  • Използваме формула (25):

    От h_a a k_ha.k_a = – 1 k_ha = – 4.

  • Записваме декартовото уравнение на търсената права h_a:

    y = – 4x + b.

  • От условието, че точка A (1; 1) h_a намираме коефициента b:

    1 = – 4 + b b = 5.

  • Записваме декартовото уравнение на височината h_a:

    h_a: y = – 4x + 5.

  • По подобен начин намираме декартовото уравнение на височината h_b, която минава през връх B (6; – 3) и е перпендикулярна на страната b = AC: x + 3y – 4 = 0:

    h_b: y = 3x – 21.

  • Намираме декартовото уравнение на височината h_c, която минава през връх C (10; – 2) и е перпендикулярна на страната c = AB: 4x + 5y – 9 = 0:

    h_c: y .

e) Намираме пресечната точка H между страните на триъгълника и съответните му височини (виж Зад 1 в ):

• От декартовото уравнение на височините получени в подточка д) записваме общите им уравнения:

  h_a: y = – 4x + 5 h_a: 4x + y – 5 = 0.

  h_b: y = 3x – 21 h_b: 3x – y – 21 = 0.

  h_c: y h_c: 5x – 4y – 58 = 0.

• Решаваме системата от формула (17), за да намерим координатите на пресечната точка H_a на височината h_a и страната a:

  17x – 38 = 0

  т.е. петата на височината h_a има координати H_a .

• По подобен начин намираме координатите на пресечната точка H_b на височината h_b и страната b:

  13x - 88 = 0 ,

  т.е. петата на височината h_b има координати H_b .

• Намираме координатите на пресечната точка H_c на височината h_c и страната c:

  41x - 326 = 0 ,

  т.е. петата на височината h_c има координати H_c .

ж) Използваме формула за разстояние на точка до права (формула 26):

з) Използваме подходяща формула за периметър и лице на триъгълник:

• Намираме периметъра на ΔABC:
  • Използваме формула (21), за да намерим дължината на страната BC:
  • Намираме дължината на страната AC:
  • Намираме дължината на страната AC:
  • Намираме периметъра:

    P_ΔABC = |a| + |b| + |c| = 5 + .

• Използваме намереното по-горе и формула за лице на ΔABC:

  S_ΔABC = .

и) Използваме формула (19):

• В подточка г) доказахме, че медианата m_a към страната BC има общо уравнение m_a: x + 2y – 3 = 0.
• В подточка е) доказахме, че височината h_a към страната BC има общо уравнение h_a: 4x + y – 5 = 0.
• За косинусът на ъгъла φ между тях използваме формула (19):