Вектори

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Съдържание на темата:

Насочена отсечка. Вектор. Елементи на вектор (насочена отсечка)
Нулев вектор
Видове вектори
Линейна зависимост на вектори
Линейно независими вектори
Действия с вектори
Векторна база (базис)
Координати на вектор в равнината
Операции с вектори, зададени с координати

Задачи

Теория

I. Насочена отсечка. Вектор. Елементи на вектор (насочена отсечка)

Определение – Отсечка, на която единият край е избран за първи, а другият – за втори.
Начин на отбелязване – Насочена отсечка с начало A и край B се отбелязва (Фиг. 1).

Определение – Множеството от всички насочени отсечки, които са равни на дадената.
Начин на отбелязване и представител на вектор – На Фиг. 1 имаме вектора . В този случай казваме, че представител на вектора е всяка от равните насочени отсечки или .

Начало – На Фиг. 1 това е т. А или т. С.
Край – На Фиг. 1 това е т. B или т. D.
Посока – Посоката на вектора (Фиг. 1) е по посоката на лъча AB^→ (или CD^→).
Дължина – Дължината на е равна на дължините на отсечките, които отговарят на равните му насочени отсечки. Отбелязва се с модул. Например, на Фиг. 1 имаме: = AB = CD.

Бележка:

Посоката и дължината са двете характеристики на всеки вектор.

Бележка:

В бъдеще няма да правим разлика между вектор и насочената отсечка, която е негов представител.

II. Нулев вектор

O – когато началото и краят на един вектор съвпадат. Всяка точка може да се разглежда като нулев вектор.

Ако имаме точка А, то нулевият вектор е .

Посока – Нулевият вектор няма посока и затова приемаме, че той е еднопосочен с който и да е друг вектор.
Дължина – Дължината на нулевия вектор е нула.

III. Видове вектори

Определение – група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
Начин на отбелязване – Отбелязват се със знак за успоредни прави. Например, на Фиг. 2 колинеарни са векторите: .
Теорема 1 – Векторите са колинеарни, тогава и само тогава, когато съществува единствено число λ, такова че:
(1):

О – Насочените отсечки НЕ лежат на една права или успоредни прави. Например, на Фиг. 2 неколинеарни са векторите: и др.

О – Колинеарни вектори с една и съща посока. Например, на Фиг. 2 еднопосочни са векторите: и др.

О – Колинеарни вектори с различна посока. Например, на Фиг. 2 противопосочни са векторите: и др.

О – Вектори, които са еднопосочни и имат равни дължини. Например, на Фиг. 2 равните вектори са: .

О – Противопосочни вектори с равни дължини. Например, на Фиг. 2 противоположните вектори са: и др.

Бележка:

Очевидно е, че векторите са различни, защото имат равни дължини (MN = NM), но имат различни посоки.

IV. Линейна зависимост на вектори

Ако са дадени векторите , и числата λ и μ, поне едно от които е различно от 0, то изразът се нарича линейна комбинация на тези вектори, а числата λ и μ – коефициенти на линейната комбинация.

O – Ако един вектор е от вида (векторът е линейна комбинация на векторите , т.е. поне едно от числата λ и μ е различно от нула), то той е линейно зависим с тях.

Това определение може да се каже и по друг начин: Векторите са линейно зависими, ако съществуват числа λ и μ, поне едно от които е различно от нула, такива че да е изпълнено:

(2):

T₁ – Два вектора са линейно зависими тогава и само тогава, когато са колинеарни.

T₂ – Три вектора са линейно зависими тогава и само тогава, когато са компланарни.

T₃ – Четири вектора в пространството са линейно зависими.

V. Линейно независими вектори

O – Ако са дадени векторите , и числата λ и μ, то казваме, че векторите са линейно независими, ако е изпълнено:

(3): , само когато λ = μ = 0.

Сл.₁ – Ако векторите са линейно независими (са неколинеарни), то всеки вектор от равнината, определена от правите, върху които лежат векторите , е линейно зависим с тях и съществува единствена двойка числа λ и μ, така че:

(4):

Сл.₂ – Ако векторите са линейно независими (са некомпланарни), то всеки вектор от пространството е линейно зависим с тях и съществува единствена тройка числа κ, λ и μ, така че:

(5):

Решени задачи

VI. Действия с вектори

I правило: Правило на триъгълника – Това правило се прилага когато краят на първия вектор е начало на втория (Фиг.3).

Построяваме вектора .
Построяваме вектора .
Построяваме сбора на двата вектора с начало – началото на първия вектор, и край – краят на втория вектор.

II правило: Правило на успоредника – Това правило се прилага когато двата вектора имат общо начало (Фиг.4) и векторите са неколинеарни.

С начало точка А построяваме вектора .
С начало същата точка А построяваме вектора
Построяваме успоредник ABCD с връх т. А и страни тези два вектора.
Векторът, който има начало т. А и край – срещуположният връх на успоредника, е сборът на векторите, т.е. .

III правило: Правило на многоъгълника – За събиране на повече от две вектора се построява представител на всеки следващ вектор с начало във върха на представителя на последния добавен вектор (Фиг. 5). Сумата от всички вектори има за представител насочената отсечка от началото на първия до върха на последния вектор. Това обобщение на правилото на триъгълника се нарича правило на многоъгълника.

O – Ако имаме два вектора , то векторът, равен на сбора на вектора и противоположния на вектора , се нарича разлика на двата вектора, т.е.:
.

Правило на триъгълника – Това правило се прилага когато двата вектора имат общо начало (Фиг.6).

Построяваме вектора .
Построяваме вектора .
Построяваме разликата на двата вектора с начало – краят на втория вектор, и край – краят на първия вектор.

При умножаване на вектор с числото λ, се получава вектор , за който:

ако числото λ е положително (λ > 0), то векторите са еднопосочни;
ако числото λ е отрицателно (λ < 0), то векторите са противопосочни;
ако числото λ е равно на нула (λ = 0), то векторът е нулев вектор;
за дължината на вектора имаме .

Нека са два ненулеви вектори в равнината или пространството, а са съответно представители на тези вектори.

Ъгъл между два вектора – На Фиг. 7 това е ъгълът, определен от техните представители, т.е.
(6):
Скаларно произведение на два вектора – Това е числото, получено от умножението на дължините на векторите по косинуса на ъгъла между тях, т.е.:
(7):

Например, на Фиг. 7 имаме .
Бележки:
1. Скаларното произведение на два вектора е число, докато сборът на два вектора е вектор, произведението на число с вектор е отново вектор.
2. За скаларното произведение на два вектора, поне единият от които е нулев вектор, се приема числото 0.
Теорема Скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула тогава и само тогава, когато тези вектори са перпендикулярни, т.е.:
(8): Ако , то 0 .
Скаларен квадрат на вектор – Скаларното произведение на вектор със себе си, се нарича скаларен квадрат или норма на вектора, т.е.:
(9): .
Дължина на вектор – Дължината на един вектор е корен квадратен от скаларния му квадрат, т.е.:
(10): .

Решени задачи

VII. Векторна база (базис)

О – Всеки два неколинеарни вектора в равнината (ако векторите са в пространството, то избираме три вектора), се наричат база (базис).

Например, на Фиг 8 векторите са неколинеарни и те могат да се изберат за база.

О – Ако дължините на базисните вектори са 1, т.е.

О – Ако базисните вектори са перпендикулярни, т.е.:

О – Ако базисните вектори са с дължини 1 и са перпендикулярни, т.е.:

, .

T – Ако са векторна база в равнината (Фиг. 8), за всеки вектор в същата равнина съществуват единствена двойка числа λ и μ такива, че имаме равенството:

(11): .

Бележка:

По аналогичен начин и в пространството могат да се изкажат нормирана, ортогонална, ортонормирана база и твърдението, но ще се отнасят за три некомпланарни вектора.

VIII. Координати на вектор в равнината

Нека да имаме две координатни оси с общо начало O (Фиг. 9). Векторите и се наричат:

координатни вектори, ако са еднопосочни, съответно с координатните оси Ox и Oy.
единични вектори, ако за тях е изпълнено: .

Щом координатните оси се пресичат, то единичните (координатните) вектори са линейно независими, т.е. образуват ортонормирана база в равнината. Това означава, че всеки вектор в равнината може да се представи по единствен начин като тяхна линейна комбинация, така че да е изпълнено (11), т.е.:

О – Векторът, който свързва центъра на координатната система с произволна точка от равнината.

На Фиг. 9 векторът е радиус-вектор на точката А. Координатите на т. А се наричат координати на радиус-вектора .

О – Координати на вектор спрямо координатна система Oxy с единични (координатни) вектори се наричат числата λ и μ, за които е изпълнено равенството:

(12): .

Сега ще докажем, че ако в равнината имаме точките N (x_n; y_n) и M (x_m; y_m), то координатите на вектор , който е зададен с насочена отсечка , се пресмятат от системата:

(13): .

Доказателство:

Разглеждаме два случая:

I случай: Векторът е радиус-вектор на т. A (x; y), т.е. N = O (Фиг. 9); M = A (x; y).

Нека проекциите на т. A върху координатните оси Ox и Oy са съответно т. P и т. Q.
От правилото за умножение на вектор с число следва, че:
.
Тогава:
, т.е. е изпълнено (13), защото:

(14): λ = x, μ = y.

Бележка:
Оказва се, че координатите на радиус-вектора на дадена точка са равни на съответните координати на точката.

II случай: Имаме произволен вектор в равнината, т.е. N ≠ O (Фиг. 10).

От (12) записваме:
.
Използваме правилото на триъгълника, за да съберем векторите и в полученото векторно равенство заместваме:

IX. Операции с вектори, зададени с координати

O – Векторите (x_a; y_a) и (x_b; y_b) са равни тогава и само тогава, когато имат равни координати, т.е. x_a = x_b и y_a = y_b.

O – Нека да имаме два вектора с координати (x_a; y_a) и (x_b; y_b), където и , тогава сборният им вектор (или разликата) е , т.е. координатите на вектор (x_c; y_c) са:

(15):

Правило:

Сборният вектор (или разликата на вектори) е вектор, чиито координати се получават, като съберем (или извадим) координатите на векторните събираеми (или векторната разлика).

O – Ако е дадено числото λ , то , т.е. координатите на вектор (x_n; y_n) са:

(16):

Правило:

Произведението на вектор с число е вектор, чиито координати се получават, като умножим числото със съответните координати на дадения вектор.

O – Координатите на два колинеарни вектора са пропорционални числа (това следва от правилото за умножение на вектор с число, защото векторът λ. е колинеарен на вектора ).

O – Нека да имаме векторите и числата a₁, a₂, …, a_n, то координатите на вектора се пресмятат по формулата:

O – Нека са дадени векторите (x_a; y_a) и (x_b; y_b). Координатите на скаларното им произведение е число, което се получава от умножените координати на векторите и получените числа ги съберем, т.е.:

(18): x_a.x_b + y_a.y_b.

(19): .

Координати на дължина на вектор:
(20): .
Дължина на отсечка – Формула (20) ни позволява да намерим разстоянието между две точки (дължина на отсечка).
Нека да са дадени точките A (x_A; y_A) и B (x_B; y_B). Разстоянието между тях е равно да дължината на вектора . Координатите на този вектор са λ = x_B – x_A, λ = y_B – y_A. Прилагаме формула (17) и намираме разстоянието между дадените точки:

(21): .

От формулите за: скаларно произведение на вектори (формула 7), координати на скаларно произведение (формула 18) и координати на дължина на вектор (формула 20) намираме:

(22): .

Ще използваме формула за координати на косинуса на ъгъла между два вектора (формула 22), за да намерим условието за перпендикулярни вектори, зададени с координатите си.

Т – Два вектора (x_a; y_a) и (x_b; y_b) ще са перпендикулярни тогава и само тогава, когато косинусът на ъгъла между тях е нула:

= 0 x_a.x_b + y_a.y_b = 0,

(23): т.е. два вектора са перпендикулярни, ако за координатите им е изпълнено условието:

x_a.x_b + y_a.y_b = 0.

Т – Ако са дадени точките A (x_A; y_A), B (x_B; y_B) и точка O е център на правоъгълна координатна система (произволна точка в равнината), то точка M (x_M; y_M) от отсечката AB е среда на AB тогава и само тогава, когато за радиус-векторите е изпълнено равенството:

(24): , а координатите на M са .

Бележка:

От формула (24) следва, че координатите на средата на една отсечка са средноаритметични на съответните координати на краищата на отсечката.

Т – Ако са дадени точките A (x_A; y_A), B (x_B; y_B, C (x_C; y_C) и точка O е център на правоъгълна координатна система (произволна точка в равнината), то точка G (x_G; y_G) е медицентър (пресечна точка на медианите) в ΔABC тогава и само тогава, когато за радиус-векторите е изпълнено равенството:

(25): , а координатите на G са .

Бележка:

От формула (25) следва, че координатите на медицентъра на триъгълника са средноаритметични на съответните координати на върховете на триъгълника.

Определение – Нека да е дадена правата AB и точка M ≠ B върху нея. Точката M дели правата AB в отношение λ ≠ 1, ако е изпълнено равенството:
(26): .

Бележка:
Не забравяйте, че дължините на два вектора са равни, независимо от това кой край на вектора е избран за първи и кой за втори.
Двузначност на формула (26) – При използване на формула (26) трябва да сме внимателни, защото в отношението участват дължините на векторите (насочените отсечки).
Например: На фиг. 11 т. M и т. N делят отсечката AB в отношение:
- за M имаме ;
- за N имаме ,
т.е. отношението е едно и също. За да няма такава двузначност трябва да изкажем, че: т. M дели „вътрешно“ отсечката AB в отношение , а т. N – я дели „външно“ в отношение .

Двузначността на отношението от формула (26) може да се премахне и като се въведе понятието алгебрична мярка.
Алгебричната мярка на вектор
- Определение – Алгебричната мярка на насочена отсечка върху ос е дължината на отсечката, която има знак:
  - „+“, ако посоката ѝ съвпада с посоката на оста;
  - „–“, ако посоката ѝ е противоположна на посоката на оста.
- Формула – Ако във формула (26) отношението от дължините на отсечките се замести с отношението на алгебричните мерки на насочените отсечки, то тя ще изглежда така:
  (27): , където:
  - λ < 0, ако имаме отношение на вътрешни точки;
  - λ > 0, ако имаме отношение на външни точки.
  Разглеждаме отново Фиг. 11, но сега прилагаме формула (27):
  - за M имаме ;
  - за N имаме ,
  т.е. отношенията са различни.
Приложения на равенство (26):
- Три точки лежат на една права – Ако A и B са различни точки, то точката M лежи на правата AB тогава и само тогава, когато съществува число λ ≠ 0, така че да е изпълнено (26).
- Формула за координатите на точка, която дели отсечка в отношение λ – Нека са дадени реално число λ ≠ 1 и точките A (x_a; y_a), B (x_b; y_b) спрямо правоъгълна координатна система с център точка О. Координатите (x; y) на точка M, която дели отсечката AB в отношение λ, се намират по формулите:
  (27): x = , y = .
  Доказателство:
  - Векторите са колинеарни, защото лежат на една права и от формула (26) записваме:
    .
  - Но и от горното равенство получаваме:
    .
  - Това векторно равенство може да се запише с координатите на радиус-векторите си:
    x = , y = .

Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура