а)

• Разглеждаме събитията:

  A₀ = {извадени са 0 черни топки}, т.е. 0 черни и 2 бели.

  A₁ = {извадени са 1 черна топка}, т.е. 1 черна и 1 бяла.

  A₂ = {извадени са 2 черни топки}, т.е. 2 черни и 0 бели.

• Определяме стойностите на случайната величина X – По условие X е равна на броя извадени черни топки, т.е.:
  • на събитието A₀ случайната величина X съпоставя числото 0;
  • на събитието A₁ случайната величина X съпоставя числото 1;
  • на събитието A₂ случайната величина X съпоставя числото 2.
  • Така получихме, че X = 0, 1, 2.
• Използваме формула (7), за да намерим вероятностите P, с които X приема тези стойности:
  • Избират се 2 топки от общо 7, като редът на избор няма значение, затова броят на всички възможни групи (възможните случаи) е равен на комбинации (формула 6) на 7 елемента от 2-ри клас:

    n = C₇² = = 21.

  • Намираме благоприятните случаи за всяко събитие:
    • За събитието A₀ имаме:

      m₀ = C₄² = = 6.

    • За събитието A₁ имаме:

      m₁ = C₄¹ C₃¹ = 4.3 = 12.

    • За събитието A₂ имаме:

      m₂ = C₃² = 3.

  • Намираме вероятностите за всяко събитие:

    

• Законът за разпределението на X, записан таблично е:

б)

• Величината X приема три стойности: 0, 1 и 2. Ще намерим функцията на разпределение F (x) на тази величина:
  • Функцията F (0) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 0. Но X НЕ приема такива стойности, т.е.

    P (X < 0) = 0 F (0) = P (X < 0) = 0.

  • По аналогичен начин получаваме, че ако x ≤ 0, то

    F (x) = P (X < x < 0) = 0.

  • Функцията F (1) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 1. Величината X приема само една стойност, която е по-малка от 1 и това е 0, като:

    P (X = 0) = F (1) = P (X < 1) = .

  • По аналогичен начин получаваме, че ако x (0; 1], то

    F (x) = P (X < x < 1) = .

  • Функцията F (2) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 2. Величината X приема две такива стойности: 0 и 1. Имаме сума от две несъвместими събития (защото не се случват едновременно) и използваме формула за вероятност на несъвместими събития (формула 7.1):

    P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) F (1) = P (X < 1) = .

  • По аналогичен начин получаваме, че ако x (1; 2], то

    F (x) = P (X < 2) = .

  • Нека x (2; + ∞), тогава:

    F (x) = P (X < x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = = 1.

  • Обобщаваме резултатите:

    

• Прилагаме формула (2), за да намерим математическото очакване:

• Прилагаме формула (3), за да намерим дисперсията:

  

• Намираме стандартното отклонение:

  0,48.

• Провеждат се 4 опита (избират се 4 телевизора) с два изхода, като всеки изход настъпва с постоянна вероятност:
  • избор на дефектен телевизор е с вероятност 0,01.
  • избор на недефектен телевизор е с вероятност 1 – 0,01 = 0,99.
• Прилагаме схемата на Бернули, защото опитите са независими и имат постоянна вероятност.

а)

• Изборът условен успех (телевизорът да е дефектен) е с вероятност p = 0,01, а неуспех – с вероятност q = 1 – 0,01 = 0,99.
• Броят на опитите е n = 4., а броят на условните успехи (телевизорът да е дефектен) е k = 2.
• Прилагаме формулата на Бернули (формула 5), за да намерим вероятността да попаднем на 2 дефектни телевизора:

  P₄ (2) = C₄².0,01².0,99^{4 – 2} = .0,01².0,99² = 6.0,099² ≈ 5,9.10 ^{– 4}.

б)

• Изборът условен успех (телевизорът да е недефектен) е с вероятност p = 0,99, а неуспех – с вероятност q = 0,01.
• Броят на опитите е n = 4, а броят на условните успехи (телевизорът да е недефектен) е k = 3.
• Прилагаме формулата на Бернули (формула 5), за да намерим вероятността да попаднем на 3 недефектни телевизора:

  P₄ (3) = C₄³.0,99³.0,01 ^{4 – 3} = .0,99³.0,01 = 4.0,99³.0,01 ≈ 0,039.

в) – Използваме Следствие 1 на формулата на Бернули, защото всички избрани телевизори искаме да са с добро качество, където: p = 0,99, n = 4:

P₄ (4) = 0,99⁴.

• При n = 150 вероятността за успех (уредите да получат транспортен дефект) е p = 0,01, т.е. имаме биномното разпределение Bi (n; p) = Bi (150, 0,01).
• От формула (10) определяме, че най-вероятният брой на уредите с транспортен дефект е:

  m = (n + 1)p = (150 + 1).0,01 = 1,51.

• Цялата част на това число е 1, т.е. най-вероятно 1 уред ще получи транспортен дефект.

• По условие белите топки са N = 3, а черните са M = 4.
• Броят на всички възможни случаи е N + M = 3 + 4 = 7.
• Последователно се изваждат 5 топки.
• Начините по които може да извадим 5 топки от общо 7 са равни на комбинации на 7 елемента от 5-ти клас:

  21.

а)

• Начините по които може да извадим 2 черни топки от общо 4 черни са:

  6.

• Всички бели топки са 3 и всичките се изваждат (общо 5 – 2 черни = 3 бели). Това може да стане само по 1 начин, т.е. C₃³ = 1.
• Имаме извадка без връщане и използваме формула (11):

  

б)

• Начините по които може да извадим 2 бели топки от общо 3 бели са:

  3.

• Всички черни топки са 4 и се изваждат 3 (общо 5 – 2 бели = 3 черни). Това може да стане по:

  4 начина.

• Имаме извадка без връщане и използваме формула (11):