Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра


Зад. №1:
В кутия има 4 бели и 3 черни топки. По случаен начин се изваждат 2 топки, като случайната величина X е равна на броя извадени черни топки. Да се намери:

а) закона за разпределение на случайната величина X и да се попълни таблицата на разпределение;

б) функцията на разпределение, математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение на случайната величина X.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи формули.

а)

  • Разглеждаме събитията:

    A0 = {извадени са 0 черни топки}, т.е. 0 черни и 2 бели.

    A1 = {извадени са 1 черна топка}, т.е. 1 черна и 1 бяла.

    A2 = {извадени са 2 черни топки}, т.е. 2 черни и 0 бели.

  • Определяме стойностите на случайната величина X – По условие X е равна на броя извадени черни топки, т.е.:
    • на събитието A0 случайната величина X съпоставя числото 0;
    • на събитието A1 случайната величина X съпоставя числото 1;
    • на събитието A2 случайната величина X съпоставя числото 2.
    • Така получихме, че X = 0, 1, 2.
  • Използваме формула (7), за да намерим вероятностите P, с които X приема тези стойности:
    • Избират се 2 топки от общо 7, като редът на избор няма значение, затова броят на всички възможни групи (възможните случаи) е равен на комбинации (формула 6) на 7 елемента от 2-ри клас:

      n = C72 = = 21.

    • Намираме благоприятните случаи за всяко събитие:
      • За събитието A0 имаме:

        m0 = C42 = = 6.

      • За събитието A1 имаме:

        m1 = C41 C31 = 4.3 = 12.

      • За събитието A2 имаме:

        m2 = C32 = 3.

    • Намираме вероятностите за всяко събитие:

      вероятности

  • Законът за разпределението на X, записан таблично е:

б)

  • Величината X приема три стойности: 0, 1 и 2. Ще намерим функцията на разпределение F (x) на тази величина:
    • Функцията F (0) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 0. Но X НЕ приема такива стойности, т.е.

      P (X < 0) = 0 F (0) = P (X < 0) = 0.

    • По аналогичен начин получаваме, че ако x ≤ 0, то

      F (x) = P (X < x < 0) = 0.

    • Функцията F (1) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 1. Величината X приема само една стойност, която е по-малка от 1 и това е 0, като:

      P (X = 0) = F (1) = P (X < 1) = .

    • По аналогичен начин получаваме, че ако x (0; 1], то

      F (x) = P (X < x < 1) = .

    • Функцията F (2) е вероятността величината X да приема стойности по-малки от 2. Величината X приема две такива стойности: 0 и 1. Имаме сума от две несъвместими събития (защото не се случват едновременно) и използваме формула за вероятност на несъвместими събития (формула 7.1):

      P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) F (1) = P (X < 1) = .

    • По аналогичен начин получаваме, че ако x (1; 2], то

      F (x) = P (X < 2) = .

    • Нека x (2; + ∞), тогава:

      F (x) = P (X < x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = = 1.

    • Обобщаваме резултатите:

      функция на разпределение

  • Прилагаме формула (2), за да намерим математическото очакване:

  • Прилагаме формула (3), за да намерим дисперсията:

    дисперсия

  • Намираме стандартното отклонение:

    0,48.

Върни се в теорията


II. Схема (ексиримент) на Бернули

Теория

Решени задачи

Зад. №1:
От кутия с 4 черни и 3 бели топки се изважда топка, записва се цветът ѝ и се връща обратно. Направени са 5 опита. Да се намери вероятността да се извадят:

а) точно 2 черни топки;

б) точно 3 бели топки;

в) всичките да са бели топки;

г) нито една бяла топка.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Провеждат се 5 опита с два изхода – да се извади бяла топка или да се извади черна топка.
  • Означаваме събитието A = {изваждане на бяла топка} и събитието B = {изваждане на черна топка}.
  • Общо всички топки са 7 (4 черни + 3 бели).
  • Белите топки са 3, т.е. вероятността да се случи събитието А е P (A) = .
  • Черните топки са 4, т.е. вероятността да се случи събитието B е P (B) = .
  • Тези две вероятности са постоянни при всеки опит, защото извадката е с връщане, т.е. използваме схемата на Бернули.

а)

  • Успехът в този случай е да се извадят черни топки, т.е. вероятността за успех е p = P (B) = , а за неуспех q = 1 – p = P (A) = .
  • n = 5, защото са направени 5 опита, а k = 2, защото трябва да се извадят точно 2 черни топки.
  • Използваме формулата на Бернули:

    формула на Бернули

б)

  • Успехът в този случай е да се извадят бели топки, т.е. вероятността за успех е p = P (A) = , а за неуспех q = 1 – p = P (B) = .
  • n = 5, защото са направени 5 опита, а k = 3, защото трябва да се извадят точно 3 бели топки.
  • Използваме формулата на Бернули (формула 5):

    схема на Бернули

в) – Използваме Следствие 1 на формулата на Бернули (формула 6), защото искаме всички избрани топки да са бели. Тогава: p = P (A) = , n = 5:

г) – Използваме Следствие 2 на формулата на Бернули (формула 7), защото искаме да няма нито една бяла, където: q = P (Б) = 4/7, n = 5:

Зад. №2:
Правилен зар е хвърлен 5 пъти. Намерете вероятността четири точки да се паднат точно:

а) 2 пъти;

б) 4 пъти.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Разглеждаме събитието A = {при веднъж хвърлен зар се падат четири точки}.
  • Прилагаме схемата на Бернули, защото опитите са независими и имат постоянна вероятност.
  • Вероятността на събитието A е P (A) = , защото благоприятните случаи са 1 (четворка има само на една стена от зарчето) от общо 6 (зарът има шест стени), т.е. вероятността за успех е p =, а за неуспех е q = 1 – p = 1 –
  • Търсената вероятност намираме от формулата на Бернули (формула 5).

а)

  • Броят на опитите е n = 5.
  • Броят на условните успехи е k = 2.
  • Прилагаме формулата на Бернули (формула 5):

    формула на Бернули

б)

  • Броят на опитите е n = 5.
  • Броят на условните успехи е k = 4.
  • Прилагаме формулата на Бернули (формула 5):

    формула на Бернули при зар

Зад. №3:
В партида от произведени телевизори вероятността един телевизор да е дефектен е 0,01. По случаен начин са избрани 4 телевизора. Каква е вероятността:

а) да попаднем на 2 дефектни телевизора;

б) да попаднем на 3 недефектни телевизора;

в) всичките да са с добро качество.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Провеждат се 4 опита (избират се 4 телевизора) с два изхода, като всеки изход настъпва с постоянна вероятност:
    • избор на дефектен телевизор е с вероятност 0,01.
    • избор на недефектен телевизор е с вероятност 1 – 0,01 = 0,99.
  • Прилагаме схемата на Бернули, защото опитите са независими и имат постоянна вероятност.

а)

  • Изборът условен успех (телевизорът да е дефектен) е с вероятност p = 0,01, а неуспех – с вероятност q = 1 – 0,01 = 0,99.
  • Броят на опитите е n = 4., а броят на условните успехи (телевизорът да е дефектен) е k = 2.
  • Прилагаме формулата на Бернули (формула 5), за да намерим вероятността да попаднем на 2 дефектни телевизора:

    P4 (2) = C42.0,012.0,994 – 2 = .0,012.0,992 = 6.0,0992 ≈ 5,9.10 – 4.

б)

  • Изборът условен успех (телевизорът да е недефектен) е с вероятност p = 0,99, а неуспех – с вероятност q = 0,01.
  • Броят на опитите е n = 4, а броят на условните успехи (телевизорът да е недефектен) е k = 3.
  • Прилагаме формулата на Бернули (формула 5), за да намерим вероятността да попаднем на 3 недефектни телевизора:

    P4 (3) = C43.0,993.0,01 4 – 3 = .0,993.0,01 = 4.0,993.0,01 ≈ 0,039.

в) – Използваме Следствие 1 на формулата на Бернули, защото всички избрани телевизори искаме да са с добро качество, където: p = 0,99, n = 4:

P4 (4) = 0,994.

Върни се в теорията


III. Биномно разпределение

Теория

Решени задачи

Зад. №1:
При провеждане на опити по схемата на Бернули вероятността за успех на събитието А е . Намерете най-вероятния брой на успехите на случайната величина и вероятността, с която се получава, ако се проведат:

а) 3 опита;

б) 6 опита.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи формули.

а)

  • При провеждането на n = 3 опита и вероятност за успех p = имаме биномното разпределение Bi (3, ).
  • От формула (10) определяме, че числото (n + 1)p = (3 + 1). = 3 е цяло, т.е. имаме две стойности за най-вероятния брой m на успехите на X:
    • m1 = (n + 1)p = 3.
    • m2 = (n + 1)p – 1 = 3 – 1 = 2.
  • При m1 = k = 3 имаме: p = (вероятност за успех на събитието А), q = 1 – p =1 – (вероятност за неуспех на събитието А) и от формулата за биномно разпределение (формула 8) намираме вероятността за m1 = 3 успеха на X:

    биномно разпределение

  • При m2 = k = 2 имаме: p = (вероятност за успех на събитието А), q = (вероятност за неуспех на събитието А) и от формула (8) намираме вероятността за m2 = 2 успеха на X:

    биномно разпределение и вероятност

б)

  • При провеждането на n = 6 опита и вероятност за успех p = имаме биномното разпределение Bi (6, ).
  • От формула (10) определяме, че числото (n + 1)p = (6 + 1). = 5,25 НЕ е цяло, т.е. най-вероятният брой m на успехите на X е цялата част на числото 5,25 или m = 5.
  • При m = k = 5, p = (вероятност за успех на събитието А), q = (вероятност за неуспех на събитието А) и от формула (8) намираме вероятността да се случат 5 успеха на X:

    биномно разпределение нечетен брой успехи

Зад. №2:
Транспортна фирма доставя електроника, като вероятността за транспортен дефект е 0,01. Да се намери най-вероятният брой на уредите, които може да получат транспортен дефект при превоз на 150 уреда.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте формула от биномно разпределение (формула 10).
  • При n = 150 вероятността за успех (уредите да получат транспортен дефект) е p = 0,01, т.е. имаме биномното разпределение Bi (n; p) = Bi (150, 0,01).
  • От формула (10) определяме, че най-вероятният брой на уредите с транспортен дефект е:

    m = (n + 1)p = (150 + 1).0,01 = 1,51.

  • Цялата част на това число е 1, т.е. най-вероятно 1 уред ще получи транспортен дефект.

Върни се в теорията


IV. Извадка (схема) без връщане

Теория

Решени задачи

Зад. №1:
От кутия с 4 черни и 3 бели топки се изваждат последователно 5 топки без връщане. Да се намери вероятността да се извадят:

а) точно 2 черни топки;

б) точно 2 бели топки;

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме извадка без връщане и използвайте формула (11).
  • По условие белите топки са N = 3, а черните са M = 4.
  • Броят на всички възможни случаи е N + M = 3 + 4 = 7.
  • Последователно се изваждат 5 топки.
  • Начините по които може да извадим 5 топки от общо 7 са равни на комбинации на 7 елемента от 5-ти клас:

    21.

а)

  • Начините по които може да извадим 2 черни топки от общо 4 черни са:

    6.

  • Всички бели топки са 3 и всичките се изваждат (общо 5 – 2 черни = 3 бели). Това може да стане само по 1 начин, т.е. C33 = 1.
  • Имаме извадка без връщане и използваме формула (11):

    извадка без връщане

б)

  • Начините по които може да извадим 2 бели топки от общо 3 бели са:

    3.

  • Всички черни топки са 4 и се изваждат 3 (общо 5 – 2 бели = 3 черни). Това може да стане по:

    4 начина.

  • Имаме извадка без връщане и използваме формула (11):

    схема без връщане

Върни се в теорията


Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама