О – Числова величина, която приема различни стойности (които са неизвестни отнапред) като резултат от провеждането на отделни опити.

• Дискретна – Величина, чиито стойности са краен брой (този брой обикновено се отбелязва с n) или изброимо много, т.е. могат да се наредят като членове на крайна или безкрайна редица.
• Непрекъсната – Величина, чиито стойности са безкрайно много, т.е. те НЕ могат да се наредят като членове на една редица, а запълват един или няколко числови интервала.

Когато са дадени:

• всичките ѝ възможни стойности;
• вероятностите за получаване на всичките ѝ възможни стойности.

• Закон на разпределението – От определението за случайните величини следва, че една и съща случайна величина може да приема различни стойности при всяко ново извършване на опита. Поради това не е достатъчно да се знае, какви стойности тя може да приема, а с какви вероятности е възможно да се приемат тези стойности. Ако стойностите на дискретната случайна величина X са x₁, x₂, …, x_n, а вероятностите P за получаването на тези стойности са съответно p₁, p₂, …, p_n, то съответствието на тези стойности на X и вероятностите P, с които X приема тези стойности, се нарича закон на разпределение (или вероятностно разпределение) на случайната величина X.
  Бележка:

  Законът за разпределение на случайна величина е описание на връзката между дискретните стойности на случайната величина и съответните ѝ вероятности.
• Таблица на разпределението – Нека да имаме x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n, то законът за разпределение се представя таблично:

• Свойство на вероятностите – Случайната величина X винаги приема една от стойностите си x₁, x₂, …, x_n, затова за вероятностите ѝ ще бъде изпълнено равенството:

  (1): p₁ + p₂ + … + p_n = 1.

• Определение – Функцията на разпределение F (x) на случайна величина X се нарича вероятността P случайната величина да е по-малка от дадена стойност x.
• Начин за записване – F (x) = P (X < x) и се чете „Стойността на F в точката x е равна на вероятността величината X да приема стойности по-малки от x“.
• Пример и графика – Нека произволна случайна величина X да има таблично разпределение

  Функцията на разпределение F (x) на тази величина има вида.

  

  Графиката ѝ е стъпаловидна и е показана на Фиг. 1.

  

• Свойства на функцията на разпределение F (x) на случайна величина:

  Свойство 1: Функцията на разпределение приема стойности в интервала [0, 1], т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1 за всяко x (– ∞; + ∞).

  Свойство 2: Функцията на разпределение F(x) е монотонно растяща, т.е. ако x₁ < x₂, то F₁ ≤ F₂.

  Свойство 3: F(x) = 0 за всички стойности по-малки от минималната стойност на случайната величина Х.

  Свойство 4: F(x) = 1 за всички стойности по-големи от максималната стойност на случайната величина Х.

• Определение – Математическото очакване (средна стойност) EX на една случайна величина Х е числото

  (2): EX = E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + p_nx_n,

  т.е. математическото очакване на една случайна величина е числото, около което се колебае средноаритметичното на стойностите, които приема случайната величина при голям брой опити.

• Свойства:

  Свойство 1: Ако Х приема само една стойност q с вероятност 1, то EX = q.

  Свойство 2: Ако λ е число, то E (λX) = λE (X).

  Свойство 3: E(X + Y) = EX + EY.

• Отклонение на случайна величина – Отклонение на една случайна величина Х се нарича разликата X – EX.

  Отклонението е също случайна величина, зададена с таблица:

  

• Квадратично отклонение на случайна величина – Квадратичното отклонение на една случайна величина Х се нарича величината (X – EX)².

  Квадратичното отклонение е също случайна величина, зададена с таблица:

  

• Дисперсия (разсейване) на случайна величина – Дисперсия DX на една случайна величина Х се нарича математическото очакване на нейното квадратично отклонение, т.е. числото

  (3): DX = D(X) = p₁ (x₁ – EX)² + p₂ (x₂ – EX)² + … + p_n (x_n – EX)²,

  т.е. дисперсията характеризира разсейването (отклонението) на случайната величина Х около средната ѝ стойност EX.

  Ако въведем означението EX² = E (X²) = p₁x₁² + p₂x₂² + … + p_nx_n², то може да се докаже, че

  (4): DX = D(X) = E (X²) – (EX)².

  Бележка:

  Дисперсията DX може да се разглежда като количествена характеристика за разсейването (отклонението) на стойностите на случайната величина Х по отношение на нейната средна стойност – математическото очакване EX. Това означава, че когато дисперсията DX е „малка“, то стойностите на случайната величина с голяма вероятност няма да се отклоняват много и ще бъдат съсредоточени „близко“ до нейната средна стойност EX, т.е. дори и отделна стойност x_i да е възможно да се отклони „много“ от EX, то вероятността за това p_i ще бъде много „малка“.
• Стандартно отклонение на случайна величина – Числото се нарича стандартно отклонение на случайната величина Х.

Биномното разпределение се прилага за дискретни случайни величини, защото стойностите на една дискретна величини са краен брой и е възможно да изчислим вероятностите, с които случайната величина приема всяка стойност.

• Кога се прилага – Събитията А се случват след провеждането на:
  • краен брой n случайни експерименти (опити);
  • всички опити са независими;
  • изходите от всеки опит са точно два – условно ги наричаме успех (събитието А да се сбъдне) и неуспех (събитието А да не се сбъдне). Тези изходи не могат да се случат едновременно, но винаги се случва поне едно от тях.
  • във всеки опит събитието А се случва с постоянна вероятност.
• Схема (експеримент) на Бернули – Такава редица от опити се нарича схема (експеримент) на Бернули.

• Брой опити – Нека да се извършват n (n е крайно число) независими опита.
• Вероятности за събитието А – Всеки опит може да е успешен (събитието А да се сбъдне) с вероятност p и неуспешен (събитието А да не се сбъдне) с вероятност q = 1 – p.
• Вероятността събитието А да се случи k пъти (да имаме точно k успеха) – отбелязва се с P_n (k).
• Формула на Бернули – Използваме форула за брой комбинации (формула 6) и определяме, че броят на начините, по които се случват k успеха след проведени n опита е равен на C_n^k. От правилото за умножение на вероятности следва, че всяка последователност на k успеха може да се сбъдне с вероятност p^k.q^{n – k}. Вероятността събитието А да се случи точно k пъти е

  (5): P_n (k) = C_n^k.p^k.q^{n – k}, k = 0, 1, …, n.

• Следствия от формулата на Бернули:

  Следствие 1: Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно n пъти е:

  (6): P_n (n) = pⁿ.

  Следствие 2: Вероятността при n независими опита събитието А да настъпи точно 0 пъти е:

  (7): P_n (0) = qⁿ.

• Примери за схемата на Бернули:
  • Извадка (схема) с връщане – Например, от кутия с бели и черни топки се изважда топка, записва се цветът и се връща обратно. Търси се вероятността при n независими повторения k пъти да се извади бяла (или черна) топка.
  • Хвърляне на монета n пъти с два изхода
  • Провеждане на опита за достигане на някаква цел с два изхода – достигната (успех) с вероятност p и недостигната (неуспех) с вероятност q = 1 – p.

  Решени задачи

• Предварителни бележки – Биномното разпределение е дискретно разпределение на вероятностите, което описва броя на успехите при провеждане на n независими експерименти върху случайна величина X. Следователно, биномното разпределение се разбира като поредица от опити, при които можем да имаме само 2 резултата (успех или неуспех), като успехът е нашата случайна променлива.
• Определение за биномно разпределение – Нека n ≥ 1 е цяло число (числото n е броят на опитите в схемата на Бернули), p [0; 1] е вероятността за условен успешен изход на опита, а вероятността за условен неуспех е q = 1 – p. Случайната величина X има биномно разпределение с параметри n и p, ако приема стойностите 0; 1; 2; …; n съответно с вероятности:

  (8): p_k = P_n (k) = C_n^k.p^k.q^{n – k}, k = 0, 1, …, n.

• Начин на отбелязване – X Bi (n, p).
  Бележка:

  От определението става ясно, че ако се провеждат опити по схемата на Бернули, то случайната величина X, която е равна на броя на успехите в схемата на Бернули ще има биномно разпределение X Bi (n, p).
• Таблица на разпределение – Нека случайната величина X приема стойности:

  0, ако броят на успехите в n опита е 0.

  1, ако броят на успехите в n опита е 1.

  2, ако броят на успехите в n опита е 2.

  …

  n, ако броят на успехите в n опита е n.

  Вероятностите, с които X приема тези стойности се изчисляват по формула (8), тогава таблицата на разпределение на тази величина е

  

• Математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение – Ако случайната величина X има биномно разпределение с параметри n и p, то математическото ѝ очакване EX, дисперсията DX и стандартното отклонение σ се намират по формулите:

  (9): EX = np; DX = npq;

• Най-вероятна стойност на биномно разпределение – При провеждането на множество опити със случайни величини, които имат биномно разпределение на вероятностите, е забелязано, че вероятността първоначално расте, а след това намалява, т.е. биномните вероятности имат най-голяма стойност. Тази стойност е важна, защото тя показва, че съответната стойност на случайната величина се сбъдва с най-голяма вероятност.

  (10): Нека е дадена величина X с биномно разпределение Bi (n, p) и брой на успехи – числото m = (n + 1)p. Може да имаме случаите:

  • Числото (n + 1)p е дробно – Най-вероятната стойност на биномното разпределение P_n (m) (това е най-голямата стойност на биномните вероятности) е при цялата част от числото m.
  • Числото (n + 1)p е цяло – Тогава имаме две стойности за най-вероятния брой m на успехите на X, които се намират по формулите:

    m₁ = (n + 1)p и m₂ = (n + 1)p – 1.

  Бележка:

  Нека да разкрием скобите и от това, че m = (n + 1)p = np + p, то най-вероятният брой m на успехите се колебае около числото np, което е математическото очакване (средната стойност) на биномното разпределение на случайната величина X.

Решени задачи

• Условие за използване – Както при схемата на Бернули, така и при схемата без връщане се разглеждат опити, които имат само два възможни изхода – условен успех и условен неуспех. Опитите се повтарят многократно, но за разлика от схемата на Бернули опитите са при различни условия (защото изваденият елемент НЕ се връща). Това означава, че при схемата без връщане, след всеки опит вероятността за успех е различна.

Пример:

Класически пример е от кутия с N бели и M черни топки се изваждат последователно или наведнъж n топки без връщане. Търси се вероятността k от тях да са бели, а n – k да са черни.

• Схема без връщане – При всеки следващ опит вероятността да се извади бяла точка е различна. Тя зависи от това каква топка е извадена при предходните опити. Такава поредица от опити се нарича схема без връщане, а търсената вероятност се намира по формулата за класическа вероятност.
• Формула:
  • Броят на всички възможни случаи да извадим n топки от общо N + M е C_{N + M}ⁿ.
  • От N бели топки се вадят k по C_N^k начина, а от M черни се вадят n – k по C_M^{n – k} начина.
  • От правилото за умножение определяме, че благоприятните случаи са m = C_N^k.C_M^{n – k}.
  • Прилагаме формулата за класическа вероятност (формула 7):

    (11):

Решени задачи

Стойностите на една дискретна величина са краен брой и затова е възможно да изчислим вероятностите, с които случайната величина приема всяка своя стойност. При непрекъснатите случайни величини това не е възможно, защото те приемат безброй много стойности. Затова стойностите на непрекъснатите случайни величини се задават с функция, която се нарича плътност на разпределението (или само плътност).