Съединения с повторения

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Профилирана подготовка – Модул 3, Тема 4: Съединения с повторения

Преговор от общообразователна подготовка (ООП)

Съдържание на темата:

Съединение от k-ти клас (извадка с обем k)
Видове извадки
Вижте подточките
Пермутации с повторение
Вижте подточките
Вариации с повторение
Вижте подточките
Комбинации с повторение
Вижте подточките

Теория

I. Съединение от k-ти клас (извадка с обем k)

Определение – Нека да имаме множество от n различни елемента и избираме k елемента от него (може да има повтарящи се елементи), то тази крайна редица се нарича съединение от k-ти клас или извадка с обем k.

II. Видове извадки

Извадка без връщане – От множество с n елемента изваждаме един елемент, записваме го, но НЕ го връщаме обратно. След това изваждаме втори елемент и го записваме без да го връщаме и т.н. докато извадим k елемента. Така се получава извадка с различни елементи. Очевидно при извадката без връщане имаме k ≤ n.
Извадка с връщане – От множество с n елемента изваждаме един елемент, записваме го и след това го връщаме обратно. Така изваждаме k елемента. Така получената извадка може да има повтарящи се елементи и дори може да е с произволен обем. Затова за k имаме k ≤ n или k > n.
Наредена извадка – Извадените елементи се подреждат в реда, в който са извадени.
Ненаредена извадка – Извадените елементи НЕ се подреждат.

III. Пермутации с повторение

Преговор за пермутации без повторение – Имаме n различни елемента и при подредбата всичките се използват (колкото са елементите толкова са и местата им), то тогава използваме формула за пермутации без повторения (формула 4). Пермутациите без повторение са наредена извадка без връщате, при която броят на местата k е равен на броя n на елементите в извадката.

Пример 1: Пермутации ще използваме, ако търсим по колко начина могат да седнат 4 човека на 4 места и броят на начините е:
P = 4! = 1.2.3.4 = 24.
Пермутации с повторение – Множество от n елемента, което е разделено на различни k групи. Считаме, че попадналите елементи във всяка от тези k групи са еднакви.

Пример 2: По колко начина могат да се разпределят 10 химикалки в три кутии, така че в първата да има 2 химикалки, във втората – 3 химикалки и в третата – 5 химикалки.
Формула за пермутации с повторение – Нека да имаме множество от n елемента (в пример 2 имаме n = 10), което е разделено на k различни групи (в пример 2 имаме k = 3), като в първата група да има n₁ елемента, във втората – n₂ елемента и т.н. в k-тата – a_k елемента, така че да е изпълнено n₁ + n₂ + … + n_k = n (в пример 2 имаме n₁ = 2, n₂ = 3, n₃ = 5, като n₁ + n₂ + n₃ = 10). Броят на различните пермутации с повторение се отбелязва с или (n₁, n₂, …, n_k) и се намира по формулата:
(1): .

В пример 2 броят на различните пермутации с повторение (2,3,5) или (2,3,5) е:

.

Бележка:
От определението и формулата за пермутации с повторение, следва че, ако k = n, т.е. всичките n елемента са различни, се получават пермутации от n елемента без повторение.

IV. Вариации с повторение

Преговор за вариации без повторение – Имаме n различни елемента и се избират k елемента, като редът на избор има значение, то тогава използваме формула за вариации без повторения (формула 5). Вариации без повторение са наредена извадка без връщате, при която броят на местата k е по-малък или равен на броя n на елементите в извадката, като редът на избор има значение, т.е. k ≤ n.

Пример 3: Колко различни двуцифрени числа могат да се съставят с цифрите 1, 2 и 3?
V₃² = 3.2 = 6.
Вариации с повторение – Всяка наредена извадка с връщане от k елемента, които се избират от n елемента. Обемът k на извадката може да бъде по-малък, равен или по-голям от n, т.е. k ≤ n или k > n.
Формула за вариации с повторение – Броят на вариациите с повторения на n елемента от k-ти клас се намира по формулата:
(2): = n^k.
Решени задачи

Зад. №1:

Имаме 5 ученика, които трябва да изучават 2 чужди езика. По колко начина всеки от тях записва за изучаване:
а) точно един от чуждите езици;

б) повече от 1 чужд език.

Решение:

а) Имаме извадка с връщане, като броят на учениците са k-та елемента и тези ученици избират чужд език за изучаване, т.е. k = 5, n = 3 (броим редиците с дължина 5, в които участват 3 елемента, защото един ученик може да изучава точно един език). Използваме формула (2):

= 3⁵ = 243.

б) Сега смятаме, че за първия език може да се запишат 5 ученика, за втория – отново 5, защото ученикът може да учи повече от един език, за третия – също пет, т.е. 5 ученика се разпределят на 3 места или k = 3, n = 5. Отново използваме формула (2):

= 5³ = 125.

V. Комбинации с повторение

Преговор за комбинации без повторение – Имаме n различни елемента и се избират k елемента, като редът на избор НЯМА значение, то тогава използваме формула за комбинации без повторения (формула 6). Комбинациите без повторение са ненаредена извадка без връщате, при която броят на местата k е по-малък или равен на броя n на елементите в извадката, като редът на избор няма значение, т.е. k ≤ n или избират се k елемента, взети от n възможни, без връщане.

Пример 4: Разполагаме с 5 химикалки. По колко начина могат да се изберат 2 от тях?
C₅² = = 10.
Комбинации с повторение – Всяка ненаредена извадка с връщане с обем k, избрана от n елемента (всяка извадка от k елемента, които се вземат от множество с n елемента, като редът е без значение и може да се повтарят), т.е. избираме k елемента, взети от n възможни, като елемента k може да бъде повторно избиран (k е произволно число). Обемът k на извадката може да бъде по-малък, равен или по-голям от n, т.е. k ≤ n или k > n, за разлика от комбинациите без повторение.
Формула за комбинации с повторение – Броят на комбинациите с повторения на n елемента от k-ти клас се намира по формулата:
(2): = C_{n + k – 1}^k.
Решени задачи

Зад. №2:

Колко различни триъгълника има, ако дължините на страните му са между числата 5, 6, 7 и 8?

Решение:

Имаме комбинации с повторение, защото страните на втория триъгълник се избират от същите числа, от които сме избрали страните на първия триъгълник. Освен това отчитаме, че за всяка тройка числа е изпълнено неравенството на триъгълника. Използваме формула (3) и формула (6):

= 20.

Зад. №3:

На 3 деца са раздали 10 еднакви ябълки. Да се намери по колко различни начина може да стане това, ако:
а) НЕ е задължително всяко дете да има поне една ябълка;

б) всяко дете трябва да има поне по една ябълка.

Решение:

а) Имаме 3 деца, които се разглеждат като елементи на множеството (a₁,a₂,a₃), т.е. n = 3 и ще направим 10 комбинации (комбинации от k-ти клас, т.е. k = 10) с повторение от тези 3 елемента (това означава, че едно дете ще участва в комбинация толкова пъти, колкото ябълки е получило. Ако детето НЕ получи ябълка, то няма да участва в десетте комбинации. Използваме формула (3) и формула (6):

= 66.

б) За да се изпълни условието, приемаме че на всяко дете даваме по една ябълка, и разпределяме останалите 7 ябълки (k = 7). Имаме комбинации с връщане (комбинации с повторение) и отново използваме формула (3) и формула (6):

= 36.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура