Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА
профилирана подготовка

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест - профилирана подготовка – Май 2026 година

ЧАСТ 1

Отговорите на задачите от 1. до 15. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

За коя стойност на p векторите (p; 4) и (2; – 3) са перпендикуляри:
- А)6
- Б)5
- В)–
- Г)– 6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от перпендикулярни вектори, зададени с координати.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме:
  - (p; 4) x_a = p, y_a = 4.
  - (2; – 3) x_b = 2, y_b = – 3.
- Използваме Теорема за перпендикулярни вектори (формула 23):
  x_a . x_b + y_a . y_b = 0 p.2 + 4.(– 3) = 0 p = 6.
- Верен отговор А).

Декартовото уравнение на правата, минаваща през точките A (– 3; 2) и B (– 2; – 1), е:
- А)y = – 3x – 11
- Б)y = – 3x – 7
- В)y = –
- Г)y =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от начини за задаване на права и съответните ѝ декартови уравнения.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме:
  - A (– 3; 2) x_A = – 3, y_A = 2.
  - B (– 2; – 1) x_B = – 2, y_B = – 1.
- От начини за задаване на права и съответните ѝ декартови уравнения записваме декартовото уравнение на права през две точки (формула 12):
  y – y_A = y – 2 = (x + 3) y = – 3x – 7.
- Верен отговор Б).

Окръжността с уравнение x² – 4x + y² + 6y – 3 = 0 има център т. О и радиус R. Координатите на т. О и дължината на R са:
- А)O (2; 3), R = 2
- Б)O (2; – 3), R = 4
- В)O (– 2; 3), R = 4
- Г)O (2; – 3), R = 16
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящ запис на уравнение на окръжност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека точка О има координати O (α; β).
- Подреждаме даденото уравнение:
  x² – 4x + y² + 6y – 3 = 0 x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.
- Сравняваме с уравнението на окръжност (Формула 3) и получаваме отговора:
  - – 4 = – 2α α = 2.
  - 6 = – 2β β = – 3.
  - – 3 = α² + β² – R² – 3 = 2² + (– 3)² – R² R² = 16 R = 4.
- Така получихме, че: O (2; – 3), а R = 4.
- Верен отговор Б).

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ръб 1, разстоянието от върха C до равнината (DBC₁) е равно на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Търсеното разстояние е височина в правилната триъгълна пирамида с основа равностранния ΔDBC₁ и връх C.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете BD, BC₁ и DC₁.
3. От подходяща формула намерете височината на ΔDBC₁ и след това разстоянието от т. С до тази височина.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Търсеното разстояние е височина в правилната триъгълна пирамида с основа равностранния ΔDBC₁ и връх C.
- Доказваме, че ΔDBC₁ е равностранен:
  - Използваме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔABD (A = 90°):
    BD² = AB² + AD² = 1² + 1² = 2 BD = .
  - Всички стени са еднакви квадрати, а BD, BC₁ и DC₁ са диагонали на тези квадрати, т.е. BC₁ = DC₁ = BD = .
  - Така доказахме, че ΔDBC₁ е равностранен.
- Построяваме C₁O – височина на ΔDBC₁, но тя е и медиана, т.е. BO = DO = .
- Използваме Формула (6) за равностранния ΔDBC₁:
  C₁O = .
- Нека т. Н е медицентър на равностранния ΔDBC₁ и от Следствие на медицентър на триъгълник получаваме:
  C₁H = C₁O = .
- Търсеното разстояние е височината СН на пирамида с основа ΔDBC₁ и връх т. С. Прилагаме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔCHC₁ (H = 90°):
  CH² + C₁H² = CC₁² CH² + CH² = .
- Верен отговор А).

Сборът от коефициентите в нормалния вид на полинома M (x) = (x³ – 3x + 1)³ е:
- А)– 1
- Б)1
- В)10
- Г)27
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Сборът от коефициентите на произволен полином f (x) в нормален вид е стойността на този полином при x = 1. Действително, ако полиномът в нормален вид е f (x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + … + a₁x + a₀, тогава f (1) = a_n 1ⁿ + a_{n – 1} 1^{n – 1} + … + a₁ 1 + a₀ = a_n + a_{n – 1} + a₁ + a₀, т.е. сумата на всички коефициенти.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Сборът от коефициентите на произволен полином в нормален вид е стойността на този полином при x = 1 (виж упътването):
  M (1) = (1³ – 3.1 + 1)³ = (– 1)³ = – 1.
- Верен отговор А).

Вярното твърдение за функцията f (x) = x + sin x, дефинирана за x (– ∞, + ∞) е:
- А)f (x) е нечетна
- Б)f (x) е ограничена
- В)f (x) е четна
- Г)f (x) е периодична
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за нечетна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Проверяваме Формула (17), като при това използваме Таблица 2:
  - f (– x) = – x + sin (– x) = – x – sin x = – (x + sin x) = – f (x).
  - Т. е. отговор А) е верен.
- Верен отговор А).

Границата е равна на:
- А)0
- Б)
- В)
- Г)+ ∞
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете граница на функция с неопределеност .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Имаме неопределеност и в числител имаме корен. За да премахнем тази неопределеност умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатия израз на числителя:
- Верен отговор В).

Решенията на неравенството – x⁴ + 5x³ – x² – 21x + 18 < 0 са:
- А)x (– 2; 1)
- Б)x (– ∞; – 2) (1; + ∞)
- В)x (– 2; 1) (3; + ∞)
- Г)x (– ∞; – 2) (1; 3) (3; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на неравенство от по-висока степен.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме неравенството:
  – x⁴ + 5x³ – x² – 21x + 18 < 0 | . (– 1) x⁴ – 5x³ + x² + 21x – 18 > 0.
- Делителите на свободния член са: ±1, ±2, ±3, ±6, ±18 (това са евентуалните решения).
- Непосредствено проверяваме, че x = 1 е решение и прилагаме схемата на Хорнер:
- От таблицата се вижда, че x₁ = 1 е един корен, но НЕ е двоен корен, x₂ = – 2 е втори корен, а оцветените в червено числа от последния ред са коефициенти на третата скоба, тогава неравенството е (преобразуваме третата скоба с формула 2):
  x⁴ – 5x³ + x² + 21x – 18 > 0 (x – 1)(x + 2)(1x² – 6x + 9) > 0 (x – 1)(x + 2)(x – 3)² > 0.
- Прилагаме метода на интервалите:
  - Нулираме всяка скоба:
    - x – 1 = 0 x₁ = 1.
    - x + 2 = 0 x₂ = – 2.
    - (x – 3)² = 0 x₃ = 3.
  - Нанасяме тези числа върху числовата ос, очертаваме интервалите (x₃ = 3 НЕ се включва в интервалите, защото скобата е на четна степен, т.е. е частен случай) и определяме знаците (най-десният интервал започва с „+“, защото нямаме минуси пред неизвестното и знакът около частния случай е един и същ):
  - Определяме решенията:
    x (– ∞; – 2) (1; 3) (3; + ∞).
- Верен отговор Г).

Материална точка се движи по закона S (t) = 2sin (πt). Ако пътят S се измерва в метри, а времето t в секунди, то скоростта на точката при t = 0 е равна на:
- А)0 m/s
- Б)1 m/s
- В)π m/s
- Г)2π m/s
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща Теорема от механичен смисъл на производната.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема 1 от механичен смисъл на производната:
  - От Таблица 1 намираме първата производна:
    S ' (t) = 2πcos (πt).
  - При t₀ = t = 0 получаваме:
    v = S ' (t₀) = 2πcos (π.0) = 2π.1 = 2π m/s.
- Верен отговор Г).

Броят на асимптотите на функцията f (x) = е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи Теореми от видове асимптоти.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме вертикалните асимптоти:
  - Обикновено вертикалната асимптота се търси около точката на прекъсване на функцията, ако има такава.
  - Функцията f (x) е дробна, т.е. броят на вертикалните асимптоти се определят от корените на уравнението:
    x² – 1 = 0 (x – 1)(x + 1) = 0 x_1/2 = ± 1.
  - Така показахме, че f (x) има две вертикални асимптоти.
- Броят на хоризонталните асимптоти се определя от това, дали границата съществува.
  - Използваме Формула (8) и намираме:
  - Т.е. правата y = 0 е хоризонтална асимптота.
- Извод: Функцията има три асимптоти: 2 вертикални и една хоризонтална.
- Верен отговор Г).

Сладкарница предлага четири вида понички с различен пълнеж: с шоколад, с ванилия, с карамел и с ябълка. Клиент купува кутия с 6 понички за вкъщи. По колко различни начина може да напълни кутията, ако няма значение как са подредени поничките и може да взема по няколко от един вид?
- А)24
- Б)30
- В)84
- Г)256
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Поничките и видовете пълнеж ги разгледайте като 9 елемента (6 понички + 3 „части“, на които пълнежът разделя поничките) и намерете комбинации на 9 елемента от 3-клас.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Общият брой елементи е 9, защото в кутията имаме 6 понички и към тях трябва да прибавим 3 „части“ (четирите пълнежа ги разглеждаме като три „части“, на които са групирани поничките), т.е. броят на елементите е n = 9.
- Класът е равен на 3-те „части“, т.е. k = 3.
- Не се използват всичките елементи, като редът на избор няма значение или намираме комбинации на 9 елемента от 3-ти клас (формула 6):
  C₉³ = = 84.
  
  Бележка:
  Може да се използва формула за комбинации с повторение, защото избираме k обекта от n вида, при които редът няма значение и можем да избираме един вид многократно.
- Верен отговор В).

Успоредник е с остър ъгъл α и със страни с дължини a cm и b cm. Обемът V на ротационното тяло, получено при въртенето на успоредника на 360° около страната с дължина a cm, e равен на:
- А)π.a².b.cos² α cm³
- Б)π.a².b.sin α cm³
- В)π.a.b².sin² α cm³
- Г)π.a.b².cos α cm³
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Даден е успоредник ABCD. Нека спрямо правата CD = a т. A₁ е симетрична на т. А и т. В₁ е симетрична на т. В. Освен това AA₁ ∩ CD в т. F и BB₁ ∩ CD в т. Е. При описаното в условието завъртане се получават: прав кръгов цилиндър с образуваща a, прав кръгов конус с образуваща AB = b и прав кръгов конус с образуваща BC = b (тези три тела ще имат един и същ радиус, който е височина към страната a на успоредника.
1. Докажете, че обемът на тялото е равен на обема на цилиндъра ABB₁A₁.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височина към страната a на успоредника.
3. Използвайте формула за обем на цилиндър и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Даден е успоредник ABCD, за който: AB = CD = a, BC = AD = b, BAD = α < 90°..
- Този успоредник се върти около страната CD = a, тогава:
  - Точка A₁ е симетрична на т. А.
  - Точка B₁ е симетрична на т. B.
  - BB₁ ∩ CD = E, AA₁ ∩ CD = F.
- ABB₁A₁ – правоъгълник, защото: AB || A₁B₁, AA₁ || BB₁, ABB₁ = 90°, т.е. AB = A₁B₁ = a, AA₁ = BB₁.
- ΔAA₁D ≅ ΔBB₁C (III признак, защото: 1) AD = BC, 2) A₁D = B₁C, 3) AA₁ = BB₁, т.е. височините им са равни (DF = CE).
- Получават се:
  - Прав кръгов цилиндър ABB₁A₁ с образуваща AB = A₁B₁ = a.
  - Прав кръгов конус AA₁D с образуваща AD = b.
  - Прав кръгов конус BB₁C с образуваща BC = b.
  - И трите тела имат един и същи радиус AF = BE = h_a = r (височината h_a към страната a на успоредника ABCD).
- Разглежданото тяло има височина h = CD = a.
- Обемът на тялото се получава като от обема на прав кръгов цилиндър ABB₁A₁, получен при завъртането на ABEF около EF извадим обема на прав кръгов конус AA₁D, получен при завъртането на правоъгълния ΔAFD (F = 90°) около DF и прибавим обема на прав кръгов конус BB₁C, получен при завъртането на правоъгълния ΔBEC (E = 90°) около CE, т.е.:
  V_тяло = .
- Но = , защото имат едни и същи радиуси (AF = BE = h_a = r) и равни височини (DF = CE), тогава от горното равенство получаваме:
  .
- Намираме обема на тялото (отговора):
  - AB || CD BAD = ADF = α (като кръстни ъгли).
  - Използваме Формула (10) за правоъгълния ΔADF (F = 90°):
    sin α = h_a = r = b sin α.
  - = πr²h = π.h_a².a = π.a.b².sin² α.
- Верен отговор В).

За кои стойности на реалното число k функцията f (x) = kx³ + 3x² + kx + 1 е растяща в интервала (– ∞; + ∞) за всяка реална стойност на x?
- А)k (– ∞; – ]
- Б)k [; + ∞)
- В)k
- Г)k (0; ]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте условието за монотонност на функция (растяща функция).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Таблица 1 и намираме първата производна:
  f ' = 3kx² + 6x + k.
- От условието за монотонност на функция следва, че f (x) е растяща, ако f ' (x) ≥ 0 има решение за всяко x (– ∞; + ∞).
- От Таблица 1 следва, че квадратното неравенство f ' (x) = 3kx² + 6x + k ≥ 0 има решение x (– ∞; + ∞), ако е изпълнена системата ( за дискриминантата D₁ използваме кратката формула):
- Верен отговор Б).

В таблицата е дадено разпределението на случайната величина X. Математическото очакване на X е равно на:
- А)–
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че сборът от вероятностите на една величина е равна на 1 и намерете числото μ.
2. Използвайте формула 2, за да намерете математическото очакване ЕХ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме дадената таблица и свойство на вероятностите в закона за разпределение (формула 1):
- Намираме математическото очакване (формула 2):
  EX = p₁x₁ + p₂x₂ + p₃x₃ + p₄x₄ = .
- Верен отговор В).

При производството на детайли за коли фирма А произвежда 1% некачествени детайли, а фирма Б – 2% некачествени детайли. Клиент поръчва детайл в магазин, в който 80% от детайлите са на фирма А, а останалите – на фирма Б. Ако закупен детайл е некачествен, вероятността да е произведен от фирма А, е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележете събитията: A = {Детайлът е от фирма А}, B = {Детайлът е от фирма В} и C = {Детайлът е некачествен}.
2. От условието определете вероятностите Р (А), Р (В) и условните вероятности P (C/A) – некачествените детайли са от фирма А и Р (С/В) – некачествените детайли са от фирма В.
3. Използвайте формула за пълна вероятност и намерете пълната вероятност Р (С).
4. Използвайте Теорема (формула) на Бейс и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме събитията:
  - A = {Детайлът е от фирма А}.
  - B = {Детайлът е от фирма В}.
  - C = {Детайлът е некачествен}.
- По условие имаме вероятностите:
  - P (A) = 80% = 0,8.
  - P (B) = 100% – 80% = 20% = 0,2.
- По условие са дадени условните вероятности:
  - Некачествените детайли са от фирма А:
    P (C/A) = 1% = 0,01.
  - Некачествените детайли са от фирма B:
    P (C/B) = 2% = 0,02.
- Използваме формула за пълна вероятност и намираме вероятността на събитието С:
  P (C) = P (A) . P (C/A) + P (B) . P (C/B) = 0,8.0,01 + 0,2.0,02 = 0,012.
- От Теоремата на Бейс намираме вероятността детайлът да е от фирма А, при положение че е дефектен:
  P (A/C) = .
- Верен отговор Г).

Условията на останалите задачи и указание за решенията им, може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове профил, 2025 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура