• Определение – Нека са дадена: променливата x, n – цяло неотрицателно число и числата a₀ ≠ 0, a₁, …, a_n, то полином P_n (x) или многочлен от n-та степен на една променлива x е израз от вида

  (1): P_n (x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_{n – 1}x + a_n.

  където: числата a₀, a₁, …, a_n се наричат коефициенти на полинома, a₀ – старши коефициент, a_n – свободен член, n – степен на полинома.

  Бележка:

  От (1) се вижда, че полиномът е сбор от едночлени.
• Нормален вид на полином – Един полином е приведен в нормален вид, ако степените на променливата са подредени в низходящ ред и е максимално опростен.
• Степен на полином – Най-високата от степените на едночлените, които участват в даден полином.

  Например, във формула (1) полиномът Pn (x) е от n-та степен.

  Когато степента на полинома се подразбира, то вместо P_n (x) се записва P (x).

• Константен полином – Всяко число (без 0) се нарича константен полином (полином от нулева степен).
• Нулев полином – Числото 0 се нарича нулев полином.

• Равни полиноми

  Теорема 1 (за равни полиноми): Два полинома от една и съща степен са равни, ако коефициентите пред съответните им степени са равни.

• Събиране (изваждане) – Събираме (или изваждаме) коефициентите пред подобните едночлена.

  Например: Дадени са полиномите P (x) = – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 и Q (x) = 3x³ – 2x² + 1.

  Намираме:

  P (x) + Q (x) = – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 + 3x³ – 2x² + 1 = – 5x⁵ + 5x³ – 2x² + x + 2.

  P (x) – Q (x) = – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 – (3x³ – 2x² + 1) = – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 – 3x³ + 2x² – 1 = – 5x⁵ – x³ + 2x² + x.

• Умножение – Сборът от произведенията на всеки едночлен от единия полином с всеки едночлен от другия и полученият израз се привежда в нормален вид.

  Например: Дадени са полиномите P (x) = – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 и Q (x) = 3x³ – 2x² + 1.

  Намираме:

  P (x) Q (x) = (– 5x⁵ + 2x³ + x + 1)(3x³ – 2x² + 1) = (– 5x⁵ + 2x³ + x + 1).3x³ – (– 5x⁵ + 2x³ + x + 1).2x² + (– 5x⁵ + 2x³ + x + 1).1 = – 15x⁸ + 6x⁶ + 3x⁴ + 3x³ + 10x⁷ – 4x⁵ – 2x³ – 2x² – 5x⁵ + 2x³ + x + 1 = – 15x⁸ + 10x⁷ + 6x⁶ – 9x⁵ + 3x⁴ + 3x³ – 2x² + x + 1.

• Делене
  • Делене с остатък – Всеки две цели числа можем да разделим с частно и остатък (понякога няма остатък, т.е. числата се делят точно).
    Бележка:

    Не забравяйте, че на 0 не може да се дели.

    Например, при деленето на 13 с 2 се получава частно 6 и остатък 1, като резултатът може да запишем по два начина:

    13 = 2.6 + 1 или

    Следвайки тази схема може да се докаже следната теорема.

    Теорема 2 (за делене на полиноми с частно и остатък): Нека P (x) и Q (x) ≠ 0 са два полинома. Тогава може да се намери единствена двойка полиноми S (x) и R (x), така че степента на R (x) е по-малка от степента на S (x) и

    (2): P (x) = S (x).Q (x) + R (x).

  • Делимо и делител – Полиномите P (x) и Q (x) са съответно делимо и делител.
  • Частно – Полиномът S (x) се нарича частно. Степента на частното се определя като разделим степените на делимото и делителя.
  • Остатък – Полиномът R (x) се нарича остатък. Степента на остатъка е винаги по-малка от степента на частното.
  • Делене без остатък – Когато имаме R (x) = 0, т.е. нямаме остатък, то ще кажем, че полиномът Q (x) дели полинома P (x). Тогава от (2) получаваме:

    (3): P (x) = S (x).Q (x).

• Метод на неопределените коефициенти – Този метод се използва при решаването на различни задачи с полиноми, например, при делене на полиноми. При него се съставя система от коефициентите пред еднаквите степени на неизвестното в два полинома.

  Например, ако имаме два полинома P (x) = 9x – 3 и Q (x) = Ax + B + C. Тогава записваме 9 = A, – 3 = B + C.

  Ще демонстрираме този начин в Зад. 1 (подобен начин използвахме при решаването на Зад. 1 а)).

Бележка:
Сборът, разликата и произведението на два многочлена са многочлени, но частното на два многочлена невинаги е многочлен, защото при деленето на две числа може да се получи остатък.

• Определение – Полином P (x, y), който НЕ променя стойността си, когато разменим местата на променливите, т.е.:

  P (x, y) = P (y, x), за всяка двойка неизвестни (x, y).

• Примери:
  1. Полиномът P (x, y) = x² – 3xy + y² е симетричен, защото, ако сменим местата на променливите x и y, то стойността му НЕ се променя:

     P (1, 2) = 1² – 3.1.2 + 2² = – 1.

     P (2, 1) = 2² – 3.2.1 + 1² = – 1.

     Т.е. P (1, 2) = P (2, 1).

  2. Други симетрични полиноми: 3x² + 3y²; 4xy; (x – y)⁴; x² + y² – x – y.
  3. Несиметрични полиноми са: 3x² + 2y²; 4x – y; (x – y)³; x² + y² – x.
• Елементарни симетрични полиноми – Ако положим p = x + y и q = x.y, то p и q се наричат елементарни симетрични полиноми.
• Степенни сборове – Симетричен полином от вида:

  S^k (x, y) = x^k + y^k, където k е число.

Бележки:
1. Може да се докаже, че ако симетричният полином P (x, y) съдържа едночлена Ax^k, то той трябва да съдържа и едночлена Ay^k, т.е. полиномът P (x, y) трябва да съдържа израза A(x^k + y^k).
2. Освен това, ако симетричният полином P (x, y) съдържа едночлена Ax^k yⁿ, където k ≠ n, то той трябва да съдържа и едночлена Axⁿ y^k, т.е. полиномът P (x, y) трябва да съдържа израза A(x^k yⁿ + xⁿ y^k).
• Основна задача

  ОЗ. №1:

  Ако p = x + y и q = x.y са елементарните симетрични полиноми и n е произволно естествено число, то за степените сборове S_n важи формула:

  (A): S_n = p.S_{n – 1} – q.S_{n – 2}.

  Доказателство

  1. Ще докажем формула (A) за S₂ = x² + y².
     • От определението за степенен сбор и елементарни симетрични полиноми следва, че S₁ = x + y = p и S₂ = x² + y².
     • Използваме формула (14) и отчитаме горните равенства:

       S₂ = x² + y² = (x + y)² – 2xy = p² – 2q = p.S₁ – 2q.

  2. Ще докажем формула (A) за S₃ = x³ + y³.
     • Отново използваме елементарните симетрични полиноми и степенен сбор, за да намерим произведението:

       pS₂ = (x + y)(x² + y²) = x³ + xy² + yx² + y³ = (x³ + y³) + xy(x + y) = S₃ + qS₁ S₃ = pS₂ – qS₁, т.е. това е точно формула (А) при n = 3.

     • Заместваме с S₂ = p² – 2q (получено в стъпка 1) и получаваме:

       S₃ = x³ + y³ = p(p² – 2q) – pq = p³ – 3pq.

     Бележка:

     Нека да отбележим, че равенство S₃ = pS₂ – qS₁ е точно познатата формула (6) за съкратено умножение, защото:

     S₃ = pS₂ – qS₁ x³ + y³ = (x + y)(x² + y²) – xy(x + y) = (x + y)(x² – xy + y²).

  3. Ще докажем формула (A) за S₄ = x⁴ + y⁴.
     • Намираме произведението:

       pS₃ = (x + y)(x³ + y³) = x⁴ + xy³ + yx³ + y⁴ = (x⁴ + y⁴) + xy(x² + y²) = S₄ + qS₂ S₄ = pS₃ – qS₂, т.е. това е точно формула (А) при n = 4.

     • Заместваме с S₂ = p² – 2q (получено в стъпка 1) и S₃ = p³ – 3pq (получено в стъпка 2), и получаваме:

       S₄ = x⁴ + y⁴ = p(p³ – 3p) – q(p² – 2q) = p⁴ – 4p²q + 2q².

  4. По подобен начин доказваме формула (A) за S₅ = x⁵ + y⁵.
     • Намираме произведението:

       pS₄ = (x + y)(x⁴ + y⁴) = x⁵ + xy⁴ + yx⁴ + y⁵ = (x⁵ + y⁵) + xy(x³ + y³) = S₅ + qS₃ S₅ = pS₄ – qS₃, т.е. това е точно формула (А) при n = 5.

     • Заместваме с S₃ = p³ – 3pq и S₄ = p⁴ – 4p²q + 2q² (получено в по-горните стъпки), и получаваме:

       S₅ = x⁵ + y⁵ = p(p⁴ – 4p²q + 2q²) – q(p³ – 3pq) = p⁵ – 5p³q + 5pq².

  5. Така може да продължим до доказване на (A) за произволно n.

• Първоначални бележки – Досега разгледахме делене на произволни полиноми. Когато делимото е полином от n-та степен, а делителят е полином от първа степен (двучлен), то деленето може да се извърши по-лесно, като използваме теоремата на Безу и схемата на Хорнер.
• Теорема на Безу – Остатъкът R от деленето на полином P_n (x) от n-та степен на двучлена x – x₀ (където x₀ е стойността на полинома при x = x₀) е равен на P_n (x₀), т.е.:

  (4): P_n (x) = (x – x_n) Q_{n – 1} (x) + P_n (x₀).

  Бележка:

  Двучленът x – x₀ е от първа степен, а по определение остатъкът има по-ниска степен, т.е. степента на P_n (x₀) е по-ниска от 1. Това означава, че при деленето на полином P_n (x) с полином от първа степен, остатъкът винаги е число (константа). Затова може да смятаме, че P_n (x₀) = R, където R е число.

  Полиномите, които участват в Теоремата на Безу имат вида:

  (5): P_n (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_{n – 1} x + a_n.

  Q_{n – 1} (x) = b₀ x^{n – 1} + b₁ x^{n – 2} + … + b_{n – 2} x + b_{n – 1}.

  P_n (x₀) = R = x₀ b_{n – 1} + a_n.

• Схема на Хорнер – Пресмятането на коефициентите b₁, b₂, …, b_{n – 1} и P_n (x₀) = R се извършва, като последователно се попълва таблица, наречена схема на Хорнер:
  Бележки:

  Схемата на Хорнер често се използва за:

  1. делене на полином с двучлен;
  2. пресмятане на стойност на полином, защото x₀ е стойността на полинома P_n (x₀) при x = x₀;
  3. решаване на уравнения и неравенства от по-висока степен (това приложение ще разгледаме по-нататък.
  4. Има и други приложения.

Решаването на уравнения е една от основните задачи в алгебрата. Знаем, че при решаване на линейни и квадратни уравнения се използват готови формули (методи). Решаването на уравнения от по-висока степен е възможно само в някои специални случаи. Тук ще разгледаме методи за решаване на някои специални видове уравнения.

Числото x₀ е корен (нула) на полинома P_n (x), ако имаме

(6): P_n (x₀) = 0.

T₁: Всеки полином от нечетна степен има поне един корен.

T₂: Един полином от n-та степен може да има най-много n корена.

• Oпределение – Нека P_n (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_{n – 1} x + a_n е полином от n-та степен и числото x₀ е корен (нула) на този полином, то имаме

  (7): P_n (x) = (x – x₀)(a₀ x^{n – 1} + b₁ x^{n – 2} + … + b_{n – 2} x + b_{n – 1}) или

  P_n (x) = (x – x₀) Q_{n – 1} (x),

  където Q_{n – 1} (x) = a₀ x^{n – 1} + b₁ x^{n – 2} + … + b_{n – 2} x + b_{n – 1}.

  Това представяне се нарича изнасяне на множител (или разлагане на множители).

  Бележки:

  1. Степента на полинома (частното) Q_{n – 1} (x) е по-ниска с ЕДИНИЦА, спрямо съответната степен на P_n (x) и освен това имат едни и същи старши коефициенти a₀.
  2. Ако x₁ е друг корен на P_n (x) = 0, то Q_{n – 1} (x) = 0.
• Разложим и неразложим полином – От формула (7) се вижда, че полином, който се представя като произведение на два полинома (които не са константи) от по-ниска степен, се нарича разложим полином. В противен случай се нарича неразложим.
• Прости множители – Може да се докаже, че единствените неразложими полиноми са полиномите от първа степен (защото няма как да се понижи степента им) и полиномите от втора степен с отрицателна дискриминанта. Тези полиноми се наричат прости множители.

Решени задачи

• Рационални корени на уравнение с цели коефициенти

  (8): Ако x₀ – несъкратима дроб) е рационален корен на уравнението P_n (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_{n – 1} x + a_n = 0, където a₀, a₁, …, a_n са цели числа, то числото p дели свободния член a_n, а q дели старшия коефициент a₀.

• Цели корени на уравнение с цели коефициенти – От формула (8) при a₀ = 1 получаваме следната теорема:

  (9): Ако x₀ е рационален корен на уравнението P_n (x) = xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_{n – 1} x + a_n = 0, където a₁, …, a_n са цели числа, то x₀ е цяло число, което дели свободния член a_n.

Решени задачи

• Определение – Уравнението

  (10): P_n (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_{n – 1} x + a_n = 0 е реципрочно, ако равноотдалечените му коефициенти от краищата, са равни, т.е.

  a₀ = a_n; a₁ = a_{n – 1}; …; a_k = a_{n – k}.

• Решаване на реципрочни уравнение от нечетна степен – От определението за реципрочно уравнение (формула 10) следва, че ако реципрочното уравнение е от нечетна степен, то има корен x₀ = – 1. Тогава полиномът P_n (x) (лявата страна на уравнението) е произведение от (x + 1) и полином от четна степен, който се разлага на множители по описания по-надолу начин.
• Решаване на реципрочни уравнение от четна степен – Стъпки за решаването на реципрочно уравнение от четна степен: Нека реципрочното уравнение има четна степен n = 2k.

  Стъпка A: Разделяме уравнението на x_k (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x_k).

  Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти.

  Стъпка С: Полагаме x + = y.

  Стъпка D: От това полагане може да получим:

  x + = y² y² – 2.

  x + y³ = y³ – 3y и т.н.

  Стъпка E: Така ще получим уравнение от по-ниска степен, което решаваме по познатите начини.

Решени задачи

При решаване на неравенства от по-висока степен може да приложим следното правило:

Нека да разгледаме схемата, която е получена от формулите за съкратено умножение:

От тези формули може да направим изводите:

• Броят на членовете в съответната формула е равен на степенния показател, увеличен с единица.
• Степенните показатели на a (първото) намаляват, а на b (второто) – растат.
• Степента на всеки член е равен на степента на формулата.
• Коефициентите пред всечи член се получават по схемата:

  

Тази схема на коефициентите е известна като триъгълник на Паскал.

Нека коефициентите от последния ред на триъгълника на Паскал да се запишат по този (нов) начин:

Така стигаме до общата формула за коефициента пред k-тия член в развитието на формулата (a + b)ⁿ:

Означението се чете „n над k„ и се нарича биномен коефициент.

• Определения за някои биномни коефициенти:

• Определение за Нютонов бином (формула за съкратено умножение на произволна степен) – Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по формулата: