Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра


Зад. №1:
Разделете полиномите P(x) = 2x4 + x3 – x и Q (x) = x3 + 1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте описаните в "Действия с полиноми" начини.

I начин: Изчисленията при деленето на полиноми се извършват по начин, който е подобен на деленето на числа.

  1. Подреждаме едночлените в делимото P(x) по намаляващи степени на променливата. Ако няма поредна степен, коефициентът на едночлена е 0.
  2. Делим старшите членове на делимото P(x) и делителя Q (x), и получаваме поредния едночлен от частното S (x).
  3. Умножаваме делителя Q (x) с този едночлен и получения полином изваждаме от делимото P(x).
  4. Разглеждаме получената разлика като ново делимо и повтаряме стъпки 2 и 3.
  5. Стъпка 4 се повтаря, докато се получи полином със степен, по-малка от степента на делителя или 0.

деленето на полиноми

Отговор – Така получихме, че при деленето на полиномите P(x) и Q (x) се получава частно S (x) = 2x + 1 и остатък R (x) = – 3x – 1.

II начин: Използваме метода на неопределените коефициенти.

  1. От степените на делимото P(x) и делителя Q (x) определяме степените на частното S (x) и възможно най-високата степен на остатъка R (x):
    • Определяме степента на частното – Делимото P(x) е от 4-та степен, а делителят Q (x) е от 3-та степен, тогава частното S (x) ще е от (4 – 3 = 1) 1-ва степен.
    • Определяме степента на остатъка – От Теорема 2 за делене с остатък следва, че степента на остатъка R (x) трябва да е по-малък от 3, т.е. степента на остатъка е по-малка или равна на 2.
  2. Записваме частното S (x) и остатъка R (x) с неопределените коефициенти A, B, C, D, E:
    • S (x) = Ax + B.
    • R (x) = Cx2 + Dx + E.
  3. Използваме Теорема 2 от действия с полиноми и привеждаме дясната страна на полученото уравнение в нормален вид:

    P (x) = S (x).Q (x) + R (x) 2x4 + x3 – x = (Ax + B)(x3 + 1) + Cx2 + Dx + E 2x4 + x3 – x = Ax4 + Bx3 + Cx2 + (A + D)x + B + E.

  4. Приравняваме коефициентите пред еднаквите степени на неизвестното и решаваме получената система:

    A = 2, B = 1, C = 0, D = – 3, E = – 1.

  5. Записваме отговора:
    • Частното е S (x) = 2x + 1.
    • Остатъкът е R (x) = – 3x – 1.

Зад. №2:
Да се извърши деленето:

а) .

б) .

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Попълваме таблицата по схемата на Хорнер и използваме теоремата на Безу:

схема на Хорнер

  • Попълваме първи ред – Последователно поставяме коефициентите на полинома P3(x) = 2x3 – 3x2 – x – 1.
  • Попълваме втори ред – В първата колона на втори ред поставяме числото 3, защото от x – 3 следва, че x0 = 3, във втората колона поставяме 2 – старшият коефициент на P3(x). Попълваме следващите клетки, като използваме схемата на Хорнер.
  • Прилагаме Теоремата на Безу (формула 4):

    2x3 – 3x2 – x – 1 = (x – 3)(2x2 + 3x + 8) + 23.

б)

  • Полиномът P4(x) = x4 – 3x2 + 1, който се намира в числител НЕ съдържа всички степени на неизвестното x и затова при попълването на таблицата по схемата на Хорнер, на мястото на липсващите степени добавяме 0:таблица на Хорнер
  • Прилагаме Теоремата на Безу (формула 4):

    x4 – 3x2 + 1 = (x + 2)(x3 – 2x2 + 7x – 14) + 29.

Зад. №3:
Намерете стойността на полинома P (x) = 2x3 + 9x2 – 6 при x равно на 3 и – 2.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте схемата на Хорнер.

Попълваме таблицата по схемата на Хорнер:теоремата на Безу

Върни се в теорията


II. Елементи на математическия анализ – Уравнения от по-висока степен

Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Кои от числата 2, 3, – 5 са корени на уравнението P4 (x) = x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = 0 и да се разложи на множители полиномът P4 (x).
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • За удобство, при пресмятанията със схемата на Хорнер ще използваме една таблица. След като проверим дали числото е корен на даден полином, редът, в който получим 0 отдясно, става първи ред за следващите пресмятания, до получаване на нова 0 отдясно:разлагане на множители
  • От трети ред на таблицата виждаме, че числото 3 е корен на уравнението x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = 0 (защото редът завършва с 0) и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

    x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = (x – 3)(x3 + 5x2 – 1x – 5).

  • От четвърти (последен) ред на таблицата виждаме, че числото – 5 е корен на уравнението x3 + 5x2 – 1x – 5 = 0 и отново прилагаме формула (7):

    x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = (x – 3)(x + 5)(x2 – 1).

  • В последната скоба прилагаме подходяща формула за съкратено умножение:

    x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = (x – 3)(x + 5)(x – 1)(x + 1).

Зад. №2:
Да се намерят корените на уравнението:

а) x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0.

б) 2x4 – 7x3 + 8x + 3 = 0.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Намерете корените на уравнението (формули 8 и 9) и използвайте схемата на Хорнер.

а)

  • Това уравнение ще има корени цели числа, защото старшият коефициент е 1.
  • От формула (9) определяме, че евентуалните корени са цели числа, които делят свободния член.
  • Делителите на числото 6 (свободния член) са: ±1; ±2; ±3; ±6. Чрез директна проверка на числата ±1 установяваме, че НЕ са корени на уравнението. За останалите ще използваме схемата на Хорнер:уравнение от 4 степен
  • От 2-ри ред и 5-ти ред на таблицата виждаме, че числата 2 и – 3 са корени на уравнението x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0 и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

    x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = (x – 2)(x + 3)(x2 + x + 1) = 0.

  • Квадратният тричлен x2 + x + 1 (последната скоба) НЕ се разлага на множители, защото има отрицателна дискриминанта, тогава горното уравнение (даденото уравнение) има два реални корена x1 = 2 и x2 = – 3.

б)

  • Това уравнение ще има рационални корени, защото старшият коефициент е различен от 1.
  • От формула (8) определяме, че евентуалните рационални корени са числа, които делят старшия коефициент и свободния член.
  • Делителите на числото 3 (свободния член) са: p = ±1; ±2; ±3., а на числото 2 (старшия коефициент) са: q = ±1; ±2. От формула (8) следва, че рационалните корени на даденото уравнения могат да бъдат числата:

    = ±1; ±3;

  • Чрез директна проверка на числата ±1 установяваме, че НЕ са корени на уравнението. За останалите ще използваме схемата на Хорнер:корени на уравнение и схема Хорнер
  • От 2-ри ред и 5-ти ред на таблицата виждаме, че числата 3 и – са корени на уравнението 2x4 – 7x3 + 8x + 3 = 0 и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

    2x4 – 7x3 + 8x + 3 = (x – 3)(x + )(2x2 – 2x – 2) = 0.

  • Квадратното уравнение 2x2 – 2x – 2 = 0 (последната скоба) има корени
  • Даденото уравнение има четири реални корена:

    x1 = 3,

Зад. №3:
Да се реши уравнението:

а) x4 – 4x2 – 4x – 1 = 0.

б) x5 + x4 – 5x3 – 5x2 + x + 1 = 0.

в) x5 – 6x4 – 5x3 – 5x2 – 6x + 1 = 0.

г) x6 + x4 – 21x3 + x2 + 1 = 0.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Приложете подходяща формула за съкратено умножение и разложете на множители.

б) Приложете правилото за решаване на реципрочно уравнение от нечетна степен

в) Първо приложете правилото за решаване на реципрочно уравнение от нечетна степен, а след това – правилото за решаване на реципрочно уравнение от четна степен.

г) Използвайте правилото за решаване на реципрочно уравнение от четна степен.

а)

  • Прилагаме формули за съкратено умножение (1) и (5), и след това разлагаме на множители:

    x4 – 4x2 – 4x – 1 = 0 x4 – (4x2 + 4x + 1) = 0 x4 – (2x + 1)2 = 0 (x2 – 2x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0 (x2 – 2x – 1)(x + 1)2 = 0.

  • Решенията на това уравнение са:
    • x2 – 2x – 1 = 0 x1/2 = 1 ± .
    • (x + 1)2 = 0 x3 = – 1.
  • Отговор: Даденото уравнение има три реални корена: две ирационални числа x1/2 = 1 ± и едно цяло число x3 = – 1.

б)

  • От формула за реципрочно уравнение (формула 10) виждаме, че уравнението е реципрочно от нечетна степен, т.е. ще има корен x0 = – 1. Прилагаме схемата на Хорнер:реципрочно уравнение
  • Разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

    x5 + x4 – 5x3 – 5x2 + x + 1 = (x + 1)(x4 – 5x2 + 1) = 0.

  • От втората скоба получаваме биквадратно уравнение с решения:

    x4 – 5x2 + 1 = 0 x1/2 = , x3/4 =

  • Отговор: Даденото уравнение има пет реални корена: едно цяло число x0 = – 1 и четири ирационални числа: x1/2 = , x3/4 =

в)

  • Отново уравнението е реципрочно от нечетна степен, т.е. има корен x0 = – 1. Прилагаме схемата на Хорнер:уравнение от нечетна степен
  • Получаваме:

    x5 – 6x4 – 5x3 – 5x2 – 6x + 1 = (x + 1)(x4 – 7x3 + 2x2 – 7x + 1) = 0.

  • От втората скоба получаваме реципрочно уравнение от четна степен и използваме правилото за решаването му:

    Стъпка A: Разделяме уравнението на x2 (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x2):

    x4 – 7x3 + 2x2 – 7x + 1 = 0 | : x2 x2 – 7x + 2 – 7..

    Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти:

    x2 – 7x + 2 – 7. x2 + – 7(x + ) + 2 = 0.

    Стъпка С: Полагаме x + = y.

    Стъпка D: От това полагане може да получим:

    x + = y ↑ 2 x2 + = y2 – 2.

    Стъпка E: Заместваме в уравнението от Стъпка В и решаваме полученото квадратно уравнение, което е от непълен вид:

    y2 – 2 – 7y + 2 = 0 y2 – 7y = 0 y(y – 7) = 0 y1 = 0, y2 = 7.

  • Заместваме в полагането от Стъпка С и решаваме получените уравнения:
    • при y1 = 0 x + = 0 x2 + 1 = 0. Това уравнение няма решение, защото сборът от две неотрицателни числа е винаги по-голямо от 0.
    • при y2 = 7 x + = 7 x2 – 7x + 1 = 0
  • Отговор: Даденото уравнение има три реални корена: едно цяло число x0 = – 1 и две ирационални числа:

г)

  • Уравнението е реципрочно с четна степен и използваме правилото за решаването му:

    Стъпка A: Разделяме уравнението на x3 (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x3):

    x6 + x4 – 21x3 + x2 + 1 = 0 | : x3 x3 + x – 21 + .

    Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти:

    x3 + x – 21 + x3 + + (x + ) – 21 = 0.

    Стъпка С: Полагаме x + = y.

    Стъпка D: От това полагане може да получим:

    x + = y ↑ 3 x3 + = y3 – 3y.

    Стъпка E: Заместваме в уравнението от Стъпка В и получаваме уравнение от трета степен с цели коефициенти (формула 9):

    – 21 = 0 y3 – 3y + y – 21 = 0 y3 – 2y – 21 = 0.

    Делителите на свободния му член са: ± 1; ± 3; ± 7. Директно проверяваме, че числата ± 1 НЕ са решения. За числото x0 = 3 използваме схемата на Хорнер:схема на Хорнер

    От Теоремата на Безу (формула 4) получаваме

    y3 – 2y – 21 = 0 (y – 3)(y2 + 3y + 7) = 0.

    Това уравнение има решение y = 3, защото квадратното уравнение y2 + 3y + 7 = 0 има отрицателна дискриминанта, т.е. няма решение.

  • Заместваме в полагането от Стъпка С и решаваме полученото квадратно уравнение:

    при y = 3 x + = 3 x2 – 3x + 1 = 0

  • Отговор: Даденото уравнение има два корена:

Зад. №4:
Да се реши уравнението x4 – 3x3 + 3x + 1 = 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Въпреки, че уравнението НЕ е реципрочно, ще го решим по правилото за решаване на реципрочно уравнение с четна степен.
  • Коефициентите пред трета и първа степен НЕ са равни, т.е. уравнението НЕ е реципрочно, но те са противоположни числа и ще го решим с правилото за реципрочно уравнение с четна степен:

    Стъпка A: Разделяме уравнението на x2 (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x2):

    x4 – 3x3 + 3x + 1 = 0 | : x2 x2 – 3x + 3..

    Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти:

    x2 – 3x + 3. x2 + – 3(x – ) = 0.

    Стъпка С: Полагаме x + = y.

    Стъпка D: От това полагане може да получим:

    x – = y = y2 x2 + = y2 + 2.

    Стъпка E: Заместваме в уравнението от Стъпка В и решаваме полученото квадратно уравнение:

    x2 + – 3(x – ) = 0 y2 + 2 – 3y = 0 y2 – 3y + 2 = 0 y1 = 2, y2 = 1.

  • Заместваме в полагането от Стъпка С и решаваме получените уравнения:
    • при y1 = 2 x – = 2 x2 – 2x – 1 = 0 x1/2 = 1 ± .
    • при y2 = 1 x – = 1 x2 – x – 1 = 0 x3/4 =
  • Отговор: Даденото уравнение има четири корена: x1/2 = 1 ± , x3/4 =

Върни се в теорията


III. Елементи на математическия анализ – Неравенства от по-висока степен

Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Да се реши неравенството x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 > 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте Зад. 1, за да разложите на множители и приложете метода на интервалите.
  • От Зад. 1 видяхме, че:

    x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = (x – 3)(x + 5)(x – 1)(x + 1).

  • Тогава неравенството е:

    x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 > 0 (x – 3)(x + 5)(x – 1)(x + 1) > 0.

  • Използваме метода на интервалите:
    • x – 3 = 0 x = 3.
    • x + 5 = 0 x = – 5.
    • x – 1 = 0 x = 1.
    • x + 1 = 0 x = – 1.
    • Нанасяме на числовата ос и определяме знаците на интервалите:

    • Решенията са:

      x (– ∞; – 5) (– 1; 1) (3; + ∞).

Върни се в теорията


Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама