I начин: Изчисленията при деленето на полиноми се извършват по начин, който е подобен на деленето на числа.

1. Подреждаме едночлените в делимото P(x) по намаляващи степени на променливата. Ако няма поредна степен, коефициентът на едночлена е 0.
2. Делим старшите членове на делимото P(x) и делителя Q (x), и получаваме поредния едночлен от частното S (x).
3. Умножаваме делителя Q (x) с този едночлен и получения полином изваждаме от делимото P(x).
4. Разглеждаме получената разлика като ново делимо и повтаряме стъпки 2 и 3.
5. Стъпка 4 се повтаря, докато се получи полином със степен, по-малка от степента на делителя или 0.

Отговор – Така получихме, че при деленето на полиномите P(x) и Q (x) се получава частно S (x) = 2x + 1 и остатък R (x) = – 3x – 1.

II начин: Използваме метода на неопределените коефициенти.

1. От степените на делимото P(x) и делителя Q (x) определяме степените на частното S (x) и възможно най-високата степен на остатъка R (x):
   • Определяме степента на частното – Делимото P(x) е от 4-та степен, а делителят Q (x) е от 3-та степен, тогава частното S (x) ще е от (4 – 3 = 1) 1-ва степен.
   • Определяме степента на остатъка – От Теорема 2 за делене с остатък следва, че степента на остатъка R (x) трябва да е по-малък от 3, т.е. степента на остатъка е по-малка или равна на 2.
2. Записваме частното S (x) и остатъка R (x) с неопределените коефициенти A, B, C, D, E:
   • S (x) = Ax + B.
   • R (x) = Cx² + Dx + E.
3. Използваме Теорема 2 от действия с полиноми и привеждаме дясната страна на полученото уравнение в нормален вид:

   P (x) = S (x).Q (x) + R (x) 2x⁴ + x³ – x = (Ax + B)(x³ + 1) + Cx² + Dx + E 2x⁴ + x³ – x = Ax⁴ + Bx³ + Cx² + (A + D)x + B + E.

4. Приравняваме коефициентите пред еднаквите степени на неизвестното и решаваме получената система:

   A = 2, B = 1, C = 0, D = – 3, E = – 1.

5. Записваме отговора:
   • Частното е S (x) = 2x + 1.
   • Остатъкът е R (x) = – 3x – 1.

• За удобство, при пресмятанията със схемата на Хорнер ще използваме една таблица. След като проверим дали числото е корен на даден полином, редът, в който получим 0 отдясно, става първи ред за следващите пресмятания, до получаване на нова 0 отдясно:
• От трети ред на таблицата виждаме, че числото 3 е корен на уравнението x⁴ + 2x³ – 16x² – 2x + 15 = 0 (защото редът завършва с 0) и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

  x⁴ + 2x³ – 16x² – 2x + 15 = (x – 3)(x³ + 5x² – 1x – 5).

• От четвърти (последен) ред на таблицата виждаме, че числото – 5 е корен на уравнението x³ + 5x² – 1x – 5 = 0 и отново прилагаме формула (7):

  x⁴ + 2x³ – 16x² – 2x + 15 = (x – 3)(x + 5)(x² – 1).

• В последната скоба прилагаме подходяща формула за съкратено умножение:

  x⁴ + 2x³ – 16x² – 2x + 15 = (x – 3)(x + 5)(x – 1)(x + 1).

а)

• Това уравнение ще има корени цели числа, защото старшият коефициент е 1.
• От формула (9) определяме, че евентуалните корени са цели числа, които делят свободния член.
• Делителите на числото 6 (свободния член) са: ±1; ±2; ±3; ±6. Чрез директна проверка на числата ±1 установяваме, че НЕ са корени на уравнението. За останалите ще използваме схемата на Хорнер:
• От 2-ри ред и 5-ти ред на таблицата виждаме, че числата 2 и – 3 са корени на уравнението x⁴ + 2x³ – 4x² – 5x – 6 = 0 и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

  x⁴ + 2x³ – 4x² – 5x – 6 = (x – 2)(x + 3)(x² + x + 1) = 0.

• Квадратният тричлен x² + x + 1 (последната скоба) НЕ се разлага на множители, защото има отрицателна дискриминанта, тогава горното уравнение (даденото уравнение) има два реални корена x₁ = 2 и x₂ = – 3.

б)

• Това уравнение ще има рационални корени, защото старшият коефициент е различен от 1.
• От формула (8) определяме, че евентуалните рационални корени са числа, които делят старшия коефициент и свободния член.
• Делителите на числото 3 (свободния член) са: p = ±1; ±2; ±3., а на числото 2 (старшия коефициент) са: q = ±1; ±2. От формула (8) следва, че рационалните корени на даденото уравнения могат да бъдат числата:

  = ±1; ±3;

• Чрез директна проверка на числата ±1 установяваме, че НЕ са корени на уравнението. За останалите ще използваме схемата на Хорнер:
• От 2-ри ред и 5-ти ред на таблицата виждаме, че числата 3 и – са корени на уравнението 2x⁴ – 7x³ + 8x + 3 = 0 и разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

  2x⁴ – 7x³ + 8x + 3 = (x – 3)(x + )(2x² – 2x – 2) = 0.

• Квадратното уравнение 2x² – 2x – 2 = 0 (последната скоба) има корени
• Даденото уравнение има четири реални корена:

  x₁ = 3,

а) Приложете подходяща формула за съкратено умножение и разложете на множители.

б) Приложете правилото за решаване на реципрочно уравнение от нечетна степен

в) Първо приложете правилото за решаване на реципрочно уравнение от нечетна степен, а след това – правилото за решаване на реципрочно уравнение от четна степен.

г) Използвайте правилото за решаване на реципрочно уравнение от четна степен.

а)

• Прилагаме формули за съкратено умножение (1) и (5), и след това разлагаме на множители:

  x⁴ – 4x² – 4x – 1 = 0 x⁴ – (4x² + 4x + 1) = 0 x⁴ – (2x + 1)² = 0 (x² – 2x – 1)(x² + 2x + 1) = 0 (x² – 2x – 1)(x + 1)² = 0.

• Решенията на това уравнение са:
  • x² – 2x – 1 = 0 x_1/2 = 1 ± .
  • (x + 1)² = 0 x₃ = – 1.
• Отговор: Даденото уравнение има три реални корена: две ирационални числа x_1/2 = 1 ± и едно цяло число x₃ = – 1.

б)

• От формула за реципрочно уравнение (формула 10) виждаме, че уравнението е реципрочно от нечетна степен, т.е. ще има корен x₀ = – 1. Прилагаме схемата на Хорнер:
• Разлагаме на множители (прилагаме формула 7):

  x⁵ + x⁴ – 5x³ – 5x² + x + 1 = (x + 1)(x⁴ – 5x² + 1) = 0.

• От втората скоба получаваме биквадратно уравнение с решения:

  x⁴ – 5x² + 1 = 0 x_1/2 = , x_3/4 =

• Отговор: Даденото уравнение има пет реални корена: едно цяло число x₀ = – 1 и четири ирационални числа: x_1/2 = , x_3/4 =

в)

• Отново уравнението е реципрочно от нечетна степен, т.е. има корен x₀ = – 1. Прилагаме схемата на Хорнер:
• Получаваме:

  x⁵ – 6x⁴ – 5x³ – 5x² – 6x + 1 = (x + 1)(x⁴ – 7x³ + 2x² – 7x + 1) = 0.

• От втората скоба получаваме реципрочно уравнение от четна степен и използваме правилото за решаването му:

  Стъпка A: Разделяме уравнението на x² (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x²):

  x⁴ – 7x³ + 2x² – 7x + 1 = 0 | : x² x² – 7x + 2 – 7..

  Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти:

  x² – 7x + 2 – 7. x² + – 7(x + ) + 2 = 0.

  Стъпка С: Полагаме x + = y.

  Стъпка D: От това полагане може да получим:

  x + = y ↑ ² x² + = y² – 2.

  Стъпка E: Заместваме в уравнението от Стъпка В и решаваме полученото квадратно уравнение, което е от непълен вид:

  y² – 2 – 7y + 2 = 0 y² – 7y = 0 y(y – 7) = 0 y₁ = 0, y₂ = 7.

• Заместваме в полагането от Стъпка С и решаваме получените уравнения:
  • при y₁ = 0 x + = 0 x² + 1 = 0. Това уравнение няма решение, защото сборът от две неотрицателни числа е винаги по-голямо от 0.
  • при y₂ = 7 x + = 7 x² – 7x + 1 = 0
• Отговор: Даденото уравнение има три реални корена: едно цяло число x₀ = – 1 и две ирационални числа:

г)

• Уравнението е реципрочно с четна степен и използваме правилото за решаването му:

  Стъпка A: Разделяме уравнението на x³ (от директна проверка разбираме, че x = 0 НЕ е корен на уравнението и може да разделим на x³):

  x⁶ + x⁴ – 21x³ + x² + 1 = 0 | : x³ x³ + x – 21 + .

  Стъпка В: Групираме едночлените с равни коефициенти:

  x³ + x – 21 + x³ + + (x + ) – 21 = 0.

  Стъпка С: Полагаме x + = y.

  Стъпка D: От това полагане може да получим:

  x + = y ↑ ³ x³ + = y³ – 3y.

  Стъпка E: Заместваме в уравнението от Стъпка В и получаваме уравнение от трета степен с цели коефициенти (формула 9):

  – 21 = 0 y³ – 3y + y – 21 = 0 y³ – 2y – 21 = 0.

  Делителите на свободния му член са: ± 1; ± 3; ± 7. Директно проверяваме, че числата ± 1 НЕ са решения. За числото x₀ = 3 използваме схемата на Хорнер:

  От Теоремата на Безу (формула 4) получаваме

  y³ – 2y – 21 = 0 (y – 3)(y² + 3y + 7) = 0.

  Това уравнение има решение y = 3, защото квадратното уравнение y² + 3y + 7 = 0 има отрицателна дискриминанта, т.е. няма решение.

• Заместваме в полагането от Стъпка С и решаваме полученото квадратно уравнение:

  при y = 3 x + = 3 x² – 3x + 1 = 0

• Отговор: Даденото уравнение има два корена: