• Начални бележки – Когато една функция е дефинирана в безкраен интервал, е важно да изследваме поведението ѝ в краищата на този интервал. Когато една точка се движи от центъра на координатна система до безкрайността, тя описва някаква графика. Ако разстоянието на тази графика до някаква фиксирана права клони към нула, то казваме, че графиката приближава правата асимптотично и тя е асимптота на функцията.
• Определение – Правата с уравнение y = kx + b се нарича асимптота на функцията y = f (x) при x → ± ∞, ако

  (1): = 0.

O – Права, която има една обща точка с окръжността.

• Допирателна към окръжност – Ако е дадена окръжност с нормално уравнение k: (x – α)² + (y – β)² = R², където центърът има координати (α; β), а R е радиуса на окръжността, то допирателната t₀ към окръжността k в точката M (x₀; y₀) има уравнение:

  (6): t₀: (x₀ – α) + (y₀ – β)(y – β) = R².

• Допирателна към елипса:

  Теорема: Права с общо уравнение t₀: Ax + By + C = 0 е допирателна към елипсата точно когато a²A² + b²B² – C² = 0.

  Следствие: Права с декартово уравнение t₀: е допирателна към елипсата в точката M (x₀; y₀).

• Допирателна към хипербола:

  Теорема: Права с общо уравнение t₀: Ax + By + C = 0 е допирателна към хиперболата точно когато a²A² – b²B² – C² = 0.

  Следствие: Права с декартово уравнение t₀: е допирателна към хиперболата в точката M (x₀; y₀).

О – Параболата е крива, която е графика на квадратната функция f (x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, т.е. допирателната ѝ t₀ в точката M (x₀; f (x₀)) се задава с формула (3).

Ще разглеждаме функции, зададени аналитично, диференцируеми върху цялата числова ос. Ще изследваме поведението им и ще начертаем графиките им.

1. Определяме дефиниционната област на функцията – Когато дефиниционната област (ДМ) не е посочена в условието на задачата, тя съвпада с множеството от допустимите стойности (ДС) на аналитичния израз.
2. Определя се общият характер на функцията:
   1. Проверяваме за четност или нечетност – Ако функцията е четна, то графиката ѝ е симетрична спрямо ординатната ос Oy. Ако е нечетна, то графиката ѝ е симетрична спрямо центъра на координатната система. И с двата случая ще продължим изследванията само при неотрицателни стойности на аргумента.
   2. Проверяваме за периодичност – Ако периодът е T, продължаваме изследването само за стойности на аргумента x от интервала [0; T].
   3. Проверяваме за непрекъснатост или точки на прекъсване.
3. Определяме поведението на функцията в краищата на дефиниционните интервали, т.е. изследваме за асимптоти.
4. Намираме първата производна и:
   1. намираме интервалите в които функцията расте или намалява (монотонна), като определяме интервалите в който тя е: положителна, отрицателна.
   2. определяме локалните екстремуми (определяме точките, в които функцията приема стойности 0 или не съществува).
5. Намираме втората производна, за да изследваме за: изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексни точки, най-голяма стойност (НГС) и най-малка стойност (НМС).
6. Съставяме таблица:
   1. Успоредно с изпълнението на тези стъпки, в които изчисляваме величините x, y', y'', y, подреждаме резултатите в следната таблица

   2. Определяме характерни точки от графиката на функцията – Ако получените до тук данни за функцията са недостатъчни, намираме някои характерни точки, например, пресечните точки на графиката с координатните оси и др.
7. Начертаваме графиката на функцията.