Приложение на математическия анализ

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Алгебра

Приложение на математическия анализ

Съдържание на темата:

Асимптоти
Изследване изменението на някои функции

Задачи

Теория

I. Асимптоти

Начални бележки – Когато една функция е дефинирана в безкраен интервал, е важно да изследваме поведението ѝ в краищата на този интервал. Когато една точка се движи от центъра на координатна система до безкрайността, тя описва някаква графика. Ако разстоянието на тази графика до някаква фиксирана права клони към нула, то казваме, че графиката приближава правата асимптотично и тя е асимптота на функцията.
Определение – Правата с уравнение y = kx + b се нарича асимптота на функцията y = f (x) при x → ± ∞, ако
(1): = 0.

Хоризонтална асимптота – При k = 0 правата с уравнение y = b (b – крайно число) е хоризонтална асимптота (Фиг. 1), ако имаме:
.
Вертикална асимптота – Правата x = a се нарича вертикална асимптота (Фиг. 2), ако е изпълнено едно от равенствата:
или , като правата x = a е вертикална асимптота.

Например, на Фиг. 2 имаме вертикална асимптота отдясно.
Наклонена асимптота – Ако k е ъглов коефициент, а b – свободен член, виж Декартово уравнение на права (формула 9), то права с уравнение y = kx + b е асимптота на функцията y = f (x) тогава и само тогава, когато
(2): и .
- При k ≠ 0, правата y = kx + b е наклонена асимптота (Фиг. 3).
- При k = 0, правата y = b е хоризонтална асимптота (Фиг. 1).
Бележка:
Както се вижда от Фиг. 3, правата y = kx + b пресича координатните оси Ox и Oy съответно в т. M и т. N. Тогава:
- свободният член (отреза от оста Oy) е отсечката b = ON;
- ъгловият коефициент, виж Начини за задаване на права (формула 11), е k = tg α.

II. Изследване изменението на някои функции

Ще разглеждаме функции, зададени аналитично, диференцируеми върху цялата числова ос. Ще изследваме поведението им и ще начертаем графиките им.

Определяме дефиниционната област на функцията – Когато дефиниционната област (ДМ) не е посочена в условието на задачата, тя съвпада с множеството от допустимите стойности (ДС) на аналитичния израз.
Определя се общият характер на функцията:
1. Проверяваме за четност или нечетност – Ако функцията е четна, то графиката ѝ е симетрична спрямо ординатната ос Oy. Ако е нечетна, то графиката ѝ е симетрична спрямо центъра на координатната система. И с двата случая ще продължим изследванията само при неотрицателни стойности на аргумента.
2. Проверяваме за периодичност – Ако периодът е T, продължаваме изследването само за стойности на аргумента x от интервала [0; T].
3. Проверяваме за непрекъснатост или точки на прекъсване.
Определяме поведението на функцията в краищата на дефиниционните интервали, т.е. изследваме за асимптоти.
Намираме първата производна и:
1. намираме интервалите в които функцията расте или намалява (монотонна), като определяме интервалите в който тя е: положителна, отрицателна.
2. определяме локалните екстремуми (определяме точките, в които функцията приема стойности 0 или не съществува).
Намираме втората производна, за да изследваме за: изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексни точки, най-голяма стойност (НГС) и най-малка стойност (НМС).
Съставяме таблица:
1. Успоредно с изпълнението на тези стъпки, в които изчисляваме величини-те x, y', y'', y, подреждаме резултатите в следната таблица
2. Определяме характерни точки от графиката на функцията – Ако получените до тук данни за функцията са недостатъчни, намираме някои характерни точки, например, пресечните точки на графиката с координатните оси и др.
Начертаваме графиката на функцията.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура