Лого за уроци по математика
самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия


I. Определение и елементи

(1): Нека да имаме кръг k (O, r) и точка M не принадлежаща на равнината на кръга. Тялото образувано от всички възможни отсечки, свързващи т. M с окръжността се нарича кръгов конус (Фиг. 1).

  • Основа – кръга k (O, r).
  • Връх – точката M.
  • Радиус – радиусът r на основата k.
  • Ос – правата MO.
  • Образуваща l – отсечката свързваща върха M с точка от окръжността. На Фиг. 1 образуващата е MB = l.
  • Височина h – Отсечката MH съединяваща върха M на конуса с проекцията му OH върху равнината на основата.

II. Видове конуси

O – Конус, на който оста му е перпендикулярна на основата, т.е. MO = h.

O – Тяло, което е част от кръгов конус, заключена между основата му и равни успоредна на основата му. На Фиг. 3 пресечен кръгов конус е тялото ABB1A1. Кръговете k и k1 се наричат основи, OO1 – ос, при прав кръгов пресечен конус (Фиг. 3) височината h и оста OO1 съвпадат.

III. Сечения на кръгов конус с равнина

  • Oпределение – Сечение на кръгов конус с равнина, която минава през оста му. На Фиг. 2 ΔABM е осно сечение.
  • Свойства на осните сечения.

    (2): Осните сечения на прав кръгов конус са еднакви равнобедрени триъгълници. Всеки от тези триъгълници се дели от височината му MO на два еднакви правоъгълни триъгълника. Например на Фиг. 2 ΔABM е равнобедрен триъгълник, а ΔAOM и ΔBOM са правоъгълни триъгълници.

    (3): Осното сечение на кръгов пресечен конус е трапец, а всички осни сечения на прав кръгов пресечен конус са еднакви равнобедрени трапеци, всеки от който се разделя от оста на конуса на два еднакви правоъгълни трапеца. Например На Фиг. 3 ABB1A1 е равнобедрен трапец, а AOO1A1 и BOO1B1 са правоъгълни трапеци.

  • Oпределение – Сечение на кръгов конус с равнина, която е успоредна на основата му. На Фиг. 3 кръгът k1 е успоредно сечение на конуса.
  • Свойства на успоредните сечения.

    (4): Всяко успоредно сечение на прав кръгов конус е кръг. Например на Фиг. 3 k1 е успоредно сечение на конуса, затова е кръг.

    (5): Ако с B1 и B отбележим лицето на сечението и лицето на основата на конуса (Фиг. 3), а с h1 = MO1 и h = MO – разстоянието на сечението до върха на конуса и височината на конуса, то имаме , където r1 и r – радиусите на сечението и на основата на конуса.

IV. Повърхнина и обем на кръгов конус

  • Лице на околната повърхнина S на прав кръгов конус:

    (6): S = πrl.

  • Лице на околната повърхнина S на прав кръгов пресечен конус:

    (7): S = πl(r + r1), където l е образуваща, r и r1 са радиусите на основите му.

  • Лице на пълна повърхнина S1 на прав кръгов конус:

    (8): S1 = S + B = πr(l + r).

  • Лице на пълна повърхнина S1 на прав кръгов пресечен конус:

    (9): S1 = S + B + B1 = πl(r + r1) + πr2 + πr12, където B и B1 са лицата на основите му.

  • Обем V на прав кръгов конус:

    (10): V = B.h = πr2h.

  • Обем V на прав кръгов пресечен конус:

    (11): V = (r2 + r12 + r.r1).

V. Кръгов конус и сфера

Oпределение – Ако осното сечение на конуса е описано около голямата окръжност на сферата.

(12): Във всеки прав кръгов конус може да се впише сфера, защото осното му сечение е равнобедрен триъгълник, а във всеки триъгълник може да се впише окръжност. Центърът на сферата лежи на височината на осното сечение (равнобедрения триъгълник) на конуса.

(13): Във всеки прав кръгов пресечен конус може да се впише сфера, защото осното му сечение е равнобедрен трапец, а във всеки равнобедрен трапец може да се впише окръжност.

Oпределение – Ако сферата минава през върха на конуса, а окръжността на основата му е сечение на сферата.

(14): Достатъчно условие – Около осното сечение на кръгов конус да може да се опише окръжност.

(15): Около всеки прав кръгов конус може да се опише сфера, защото осното му сечение е триъгълник.

(16): Около всеки пресечен конус (прав кръгов) може да се опише сфера, защото около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност. Центърът на сферата лежи на симетралата на основите на трапеца.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама