Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия
- Зад. №1:
- Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен триъгълник. Намерете радиуса на основата на конуса и лицето на осното му сечение, ако височината на конуса е cm.
- MO височина в равностранния ΔABM MO = AB = AB AB = 2 cm, тогава AO = r = AB = . 2 = 1 cm.
- SΔABM = .
- Зад. №2:
- Успоредно сечение на прав кръгов конус има лице 25π cm2. Намерете лицето на основата B, ако успоредното сечение дели височината на конуса в отношение 1 : 2 считано от върха му.
- Постройте успоредно сечение.
- Използвайте подходящо свойство на успоредните сечения.
- Нека k1 е успоредното сечение. От даденото отношение следва, че h1 = MO1 = x и h = MO = 3x.
- От Свойство на успоредните сечения ( Твърдение 5) получаваме:
B = 225π cm2.
- Зад. №3:
- Намерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на прав кръгов конус, ако:
а) радиусът на основата на конуса е r = 5 cm, а лицето на осното му сечение е 25 cm2.
б) лицето на осното му сечение е 60 cm2, а косинуса на ъгъл между височината h и околния ръб l на конуса е .
а) Последователно намерете:
- Височината на ΔABM.
- Образуващата ВМ на конуса.
б) От даденото и подходящ правоъгълен триъгълник последователно намерете:
- h, l и r на конуса.
- S, S1 и V на конуса.
Осното сечение на конуса е ΔABM.
а) Последователно намираме:
- SΔABM = h = 5 cm.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔBOM:
BM2 = OB2 + MO2 = 52 + 52 =2.25 BM = l = 5. - S = πrl = π.5.5 S = 25π cm2.
- S1 = πr(l + r) = π.5.( 5 + 5) S1 = 25( + 1)π cm2.
- cm3
б) Нека да е дадено cos BMO = cos γ1 = :
- От ΔBOM – правоъгълен cos BMO = , т.е. h = 12x и l = 13x.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔBOM:
r2 = l2 – h2 = (13x)2 – (12x)2 = 25x2 r = 5x. - От даденото имаме = r.h 60 = 5x.12x x = 1.
- Тогава h = 12x = 12.1 = 12 cm, l = 13x = 13.1 = 13 cm и r = 5x = 5.1 = 5 cm.
- Последователно намираме:
S = πrl = π.5.13 S = 65π cm2.
S1 = πr(l + r) = π.5.(13 + 5) S1 = 90π cm2.
V = πr2h = π.52.12 = 100π cm3.
- Зад. №4:
- Радиусът на основата на прав кръгов конус е 5 cm, а височината му е 7 cm. Намерете възможно най-голямото лице на сечение на конуса с равнина, минаваща през върха на конуса.
- Приложете Питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерете образуващата на конуса.
- Постройте сечението и съобразете, че всяко сечение на прав кръгов конус с равнина, минаваща през върха на конуса е равнобедрен триъгълник с бедра l – образуващата на конуса.
- Изразете лицето на това сечение чрез l и φ (ъгъл между бедрата на сечението).
- Намерете при коя стойност на φ, лицето на сечението е най-голямо.
- Нека търсеното сечение с най-голямо лице да е ΔPQM.
- Използваме Питагорова теорема за ΔOPM, за да намерим образуващата на конуса:
PM2 = OP2 + MO2 = 52 + 72 =74. - Всяко сечение на прав кръгов конус с равнина, минаваща през върха на конуса, е равнобедрен триъгълник с бедра l – образуващата на конуса, т.е. ΔPQM е равнобедрен и нека PMQ = φ.
- Тогава SΔPQM = .
- Най-голямата стойност на sin φ 1 и това става при φ = 90°, защото тогава sin φ = 1, т.е. най-голямото лице на сечението ще бъде 37 cm2.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: