Кръгов конус

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия

Кръгов конус

Вижте:

ТеорияОсновни задачи

Тест – Софийски и Технически университет

Прав кръгов конус има образуваща с дължина 10 и височина 8. Намерете пълната повърхнина на конуса.
- А)36π
- Б)60π
- В)96π
- Г)48π
- Д)100π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерете радиуса r на конуса.
2. Използвате твърдение (8), за да намерите S₁.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAOM (AOM = 90°):
  AM² = AO² + MO² 10² = r² + 8² r² = 36 r = 6.
- Използваме твърдение (8) и намираме лицето на повърхнината на конуса:
  S₁ = πr(r + l) = π.6.(6 + 10) = 96π.
- Верен отговор В).

Осното сечение на прав кръгов конус с връх С е равнобедрен ΔABC с бедро AC = 6 и ABC = 45°. Намерете лицето на околната повърхнина на конуса.
- А)24π
- Б)36π
- В)48π
- Г)48π
- Д)54π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ΔABC е правоъгълен.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината и радиуса на конуса.
3. Използвайте твърдение (6), за да намерите търсеното лице.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие ΔABC – равнобедрен ABC = BAC = 45°.
- Тогава от теорема за сбор на ъгли в триъгълник следва, че ACB = 90°.
- Използваме питагорова теорема за ΔABC (ACB = 90°):
  AB² = AC² + BC² = (6)² + (6)² = 144 AB = 12.
- АВ = 2r 12 = 2r r = 6.
- Използваме твърдение (6) и намираме лицето на околната повърхнина на конуса:
  S = πrl = π . 6 . 6 = 36π.
- Верен отговор Б).

Лицето на околната повърхнина на прав кръгов конус е два пъти по- голямо от лицето на основата. Образуващата на конуса сключва с основата ъгъл с големина:
- А)20°
- Б)30°
- В)45°
- Г)60°
- Д)80°
Зад. от изпит в ТУ, 6.04.2013 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че осното сечение на конуса е равностранен триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Търсим ъгъл α.
- От твърдение (6) получаваме, че S = πrl.
- Основата е кръг с лице B = πr².
- По условие имаме S = 2B πrl = 2πr² l = 2r, т.е. BM = AB.
- Но по условие l = AM = BM, т.е. ΔABM – равностранен или ABM = α = 60°.
- Верен отговор Г).

Образуващата на прав кръгов конус е 8, а лицето на околната му повърхнина е 24π. Да се намери обемът на конуса.
- А)24π
- Б)9π
- В)3π
- Г)18π
- Д)30π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От твърдение (6) намерете радиуса r на конуса.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината h на конуса.
3. Използвайте твърдение (10), за да намерете обема на конуса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме твърдение (6):
  S = πrl 24π = πr.8 r = 3.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBOM (BOM = 90°):
  BM² = BO² + MO² 8² = 3² + h² h² = 55 h = .
- Използваме твърдение (10):
  V = πr²h = .π.3². = 3π.
- Верен отговор В).

Височината и образуващата на прав кръгов конус се отнасят както 4 : 5, а обемът на конуса е 96π. Лицето на пълната повърхнина на конуса е:
- А)46π
- Б)56π
- В)66π
- Г)76π
- Д)96π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото отношение въведете х, а от питагорова теорема приложена за подходящ правоъгълен триъгълник, изразете радиуса r на конуса чрез х.
2. Намерете х от твърдение (10).
3. Намерете лицето на повърхнината, като използвате твърдение (8).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение записваме, че h = 4x, l = 5x.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBOM (BOM = 90°):
  BM² = BO² + MO² (5x)² = r² + (4x)² r² = 9x² r = 3x.
- Използваме твърдение (10):
  V = πr²h 96π = .π.(3x)².4x x³ = 8 x = 2.
- Тогава r = 3x = 3.2 = 6, l = 5x = 5.2 = 10.
- Използваме твърдение (8):
  S₁ = πr(l + r) = π.6.(10 + 6) = 96π.
- Верен отговор Д).

Равнобедрен триъгълник е завъртян около височината към основата му. Намерете лицето на околната повърхнина на получения конус, ако лицето на триъгълника е 12, а обемът на конуса е 12π.
- А)12π
- Б)9π
- В)20π
- Г)15π
- Д)16π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формула (1) изразете височината h чрез радиуса r на конуса.
2. От твърдение (10) намерете r, а след това h.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете образуващата l на конуса.
4. Използвайте твърдение (6), за да намерите търсеното лице.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека ΔABM се завърта около височината си МО и така се получава конус.
- Използваме формула (1) за ΔABM:
  S_ΔABM = 12 = r . h h = .
- Използваме твърдение (10):
  V = πr²h 12π = .π.r². r = 3.
- Тогава h = .
- Използваме питагорова теорема за ΔBOM (BOM = 90°):
  BM² = BO² + MO² = 3² + 4² = 25 l = BM = 5.
- Използваме твърдение (6):
  S = πrl = π.3.5 = 15π.
- Верен отговор Г).

Образуващата на прав кръгов конус сключва ъгъл 60° с равнината на основата, а височината му е 10 cm. Обемът на конуса в cm³ е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Зад. от изпит в ТУ, 7.04.2012 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте тригонометрична функция за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите радиуса на конуса.
2. Използвайте твърдение (10), за да намерите търсения обем.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (13) за ΔBOM (BOM = 90°):
- Прилагаме твърдение (10):
- Верен отговор Г).

На фигурата е даден прав кръгов конус с осно сечение ΔABC, образуваща BC = 20 и ABC = 30°. Намерете обема на конуса.
- А)100π
- Б)300π
- В)400π
- Г)800π
- Д)1000π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте тригонометрична функция за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите радиуса на конуса.
2. Използвайте твърдение (10), за да намерите търсения обем.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (11) за ΔBOC (BOC = 90°):
  cos 30° = .
- Използваме формула (10) отново за ΔBOC:
  sin 30° = h = 10.
- Прилагаме твърдение (10):
  V = πr²h = .π.(10)².10 = 1 000π.
- Верен отговор Д).

Височината на прав кръгов конус е 18 cm, а лицето на триъгълник със страни диаметър на основата и две образуващи на конуса е 108 cm². Обемът на конуса е равен на:
- А)600 cm³
- Б)648 cm³
- В)108π cm³
- Г)110 cm³
- Д)216π cm³
Зад. от изпит в ТУ, 8.07.2013 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете радиуса на основата и след това обема на конуса.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Радиусът на основата на прав кръгов конус е 6 cm, а тангенсът на ъгъла между негова образуващата и основата му е равен на 2. Обемът на конуса е равен на:
- А)121π cm³
- Б)144π cm³
- В)169π cm³
- Г)196π cm³
- Д)197π cm³
Зад. от изпит в ТУ, 12.04.2014 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на конуса и след това използвайте твърдение (10).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме тригонометрична функция от формула (12) за ΔBOM (BOM = 90°):
  tg α = h = 12.
- Намираме обема на конуса:
  = 144π cm³.
- Верен отговор Б).

Прав кръгов конус има образуваща с дължина 13 и лице на основата 25π. Обема на конуса е:
- А)80π
- Б)60π
- В)140π
- Г)120π
- Д)100π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формулата за лице на кръг намерете r.
2. Приложете питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник и намерете височината h на конуса.
3. Използвайте твърдение (10), за да намерите обема на конуса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Основата на конуса е кръг с лице B = πr², тогава 25π = πr² r² = 25 r = 5.
- Прилагаме питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник:
  l² = r² + h² 13² = 5² + h² h² = 144 h = 12.
- Прилагаме твърдение (10):
  V = πr²h = .π.5².12 = 100π.
- Верен отговор Д).

На фигурата е даден прав кръгов конус с осно сечение ΔABC, височина CO = 4 и cos BAC = . Намерете отношението между лицето на ΔABC и лицето на околната повърхнина на конуса.
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От правоъгълен ΔAOC намерете r и l.
2. От подходяща формула намерете лицето на ΔABC.
3. Използвайте твърдение (6), за да намерите лицето на околната повърхнина на конуса.
4. Разделете двете лица.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От формула (11) получаваме:
  cos α = , т.е. r = 3x, l = 5x.
- Използваме питагорова теорема за ΔAOC (AOC = 90°):
  h² + r² = l² 4² + (3x)² = (5x)² x² = 1 x = 1.
- Тогава AO = r = 3x = 3, AC = BC = l = 5x = 5.
- Използваме формула (1) за ΔABC:
  S_ΔABC = AB . CO = . 6 . 4 = 12.
- Използваме твърдение (6):
  S = πrl = π . 3 . 5 = 15π.
- Намираме търсеното отношение:
  .
- Верен отговор В).

На фигурата е даден прав кръгов конус с радиус на основата BO = 5 и височина CO = 3. През върха С е построено сечение MNC, така че MN AB и OCH = 30°. Намерете лицето на ΔMNC.
- А)12
- Б)15
- В)18
- Г)21
- Д)24
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. В подходящ правоъгълен триъгълник използвайте формули (11), (1) и (3), за да намерите съответно СН, ОН и МН.
2. Използвайте формула (1), за да намерите търсеното лице.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме тригонометрична функция от формула (11) за ΔHOC (HOC = 90°):
  cos 30° = CH = 6.
- Прилагаме формула (1) за ΔHOC (HOC = 90°, HCO = 30°):
  OH = CH = . 6 = 3.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔHOM (OHM = 90°, MO = BO = 5):
  OH² + MH² = MO² 3² + MH² = 5² MH² = 16 MH = 4.
- MN AB и от формула (1) следва, че NH = MH = 4. Тогава MN = MH + NH = 4 + 4 = 8.
- Използваме формула (1):
  S_ΔMNC = MN . CH = . 8 . 6 = 24.
- Верен отговор Д).

Височината на прав кръгов пресечен конус е 48 cm. Радиусите на двете му основи са съответно 36 cm и 72 cm. Образуващата на конуса има дължина:
- А)60 cm
- Б)50 cm
- В)40 cm
- Г)30 cm
- Д)10 cm
Зад. от изпит в ТУ, 11.07.2007 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Постройте височината на пресечения конус така, че да се получи правоъгълен триъгълник и от този триъгълник намерете образуващата.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Построяваме A₁D || OO₁ и A₁D = O₁O = h = 48.
- Тогава DOO₁A₁ – правоъгълник, т.е. DO = A₁O₁ = r₁ = 36.
- AD = AO – DO = 72 – 36 = 36.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔADA₁ (ADA₁ = 90°):
  l² = AA₁² = AD² + A₁D² = 36² + 48² = 3600 l = 60 cm.
- Верен отговор А).

Височината на конус е 2 пъти по-голяма от височината на цилиндър, а диаметъра на основата му е 2 пъти по-малък от диаметъра на основата на цилиндъра. Тогава отношението на обема на цилиндъра към обема на конуса е:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)6
Зад. от изпит в УАСГ, 26.04.2015 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте твърдение (10) и твърдение (14).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме: h_к = 2h_ц и r_ц = 2r_к, където h_к – височина на конуса, h_ц – височина на цилиндъра, r_ц – радиус на цилиндъра, r_к – радиус на конуса.
- От твърдение (14) записваме V_ц = πr_ц²h_ц.
- От твърдение (10) записваме
- Верен отговор Г).

В прав кръгов конус, осното сечение на който е равностранен триъгълник, е вписана сфера с радиус r. Лицето на пълната повърхнина на конуса е:
- А)12πr²
- Б)9πr²
- В)8πr²
- Г)4πr²
- Д)2πr²
Зад. от изпит в ТУ, 26.04.2014 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че в равностранен триъгълник медицентър, ортоцентър, център на вписаната окръжност и център на описаната окръжност съвпадат.
2. Използвайте твърдение (8), за да намерите търсеното лице.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От ΔABS – равностранен и O₁ – център на вписаната в него окръжност (тази точка се явява и център на вписаната в конуса сфера) следва, че O₁ е медицентър в ΔABS, т.е. OO₁ = r, SO₁ = 2r, SO = 3r, ABS = 60°.
- Прилагаме тригонометрична функция котангенс за ΔOBS (BOS = 90°):
  cotg 60° = .
- BS = l = 2r_к = 2 r.
- Използваме твърдение (8):
  S₁ = πr_к(r_к + l) = π . . r (r + 2r) = 9πr².
- Верен отговор Б).

На фигурата в прав кръгов конус е вписана сфера с радиус r = 2. Намерете обема на конуса, ако осното му сечение е равностранен триъгълник.
- А)18π
- Б)20π
- В)22π
- Г)24π
- Д)26π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че в равностранен триъгълник медицентър, ортоцентър, център на вписаната окръжност и център на описаната окръжност съвпадат.
2. Използвайте твърдение (10), за да намерите търсения обем.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От ΔABS – равностранен и O₁ – център на вписаната в конуса сфера следва, че O₁ е медицентър в ΔABS, т.е. OO₁ = r = 2, SO₁ = 2r = 2.2 = 4, h = SO = 3r = 3.2 = 6, ABS = 60°.
- Прилагаме тригонометрична функция котангенс за ΔOBS (BOS = 90°):
  cotg 60° = r_к = 2.
- Използваме твърдение (10):
  V = .
- Верен отговор Г).

Осните сечения на прав кръгов конус имат прав ъгъл при върха, а радиусът на основата на конуса е R. Радиусът на вписаната в конуса сфера е:
- А)R(1 – )
- Б)R( – 1)
- В)R
- Г)
- Д)
Зад. от изпит в ТУ, 11.07.2011 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че осното сечение е правоъгълен равнобедрен триъгълник и радиусът на вписаната в конуса сфера е равен на радиуса на вписаната в този триъгълник окръжност.
2. Изразете образуващата l чрез радиуса R на основата на конуса.
3. Използвайте формулата (9).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Осното сечение е ΔABM.
- По условие този триъгълник е правоъгълен (AMB = 90°) и равнобедрен, защото l = AM = BM – образуващи.
- АВ – диаметър на основата AO = OB = R, т.е. т. О е среда на АВ или МО – медиана в ΔABM.
- ΔABM – равнобедрен правоъгълен, МО – медиана МО = AO = BO = R.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAOM (AOM = 90°):
  AM² = AO² + OM² = R² + R² = 2R² AM = R.
- Т.е. AM = BM = R.
- Намираме радиуса r на вписаната в ΔABM окръжност (това е голямата окръжност на вписаната в конуса сфера) и се намира по формула (9):
- Верен отговор Б).

Осните сечения на прав кръгов конус имат прав ъгъл при върха му, а радиусът на основата му е 3 cm. Отношението на радиусите на описаната и вписаната спрямо конуса сфери е равно на:
- А)
- Б)
- В)1 +
- Г)
- Д) – 1
Зад. от изпит в ТУ, 4.04.2015 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Осното сечение е равнобедрен правоъгълен триъгълник, като търсените радиуси са r_o – радиус на описаната окръжност около това сечение и r_в – радиус на вписаната окръжност в това сечение.
2. Използвайте формула (9), за да намерите r_o.
3. Използвайте формула (9), за да намерите _в.
4. Съставете търсеното отношение.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Осните сечения на прав кръгов конус имат прав ъгъл при върха му, а радиусът на основата му е R. Отношението на радиусите на описаната и вписаната спрямо конуса сфера е:
- А)1 +
- Б) – 1
- В)
- Г)2
- Д)
Зад. от изпит в ТУ, 13.07.2009 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Виж упътването на Зад. 19.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура