Цилиндър

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия

Вижте:

ТеорияОсновни задачи

Тест – Софийски и Технически университет

Осното сечение на прав кръгов цилиндър е квадрат с диагонал, равен на 4. Да се намери лицето на пълната повърхнина S₁ и обемът на цилиндъра V.
- А)S₁ = 12π, V = 4π
- Б)S₁ = 6π, V = 6π
- В)S₁ = 5π, V = 6π
- Г)S₁ = 12π, V = 8π
- Д)S₁ = 8π, V = 4π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте твърдение (8), за да определите осното сечение.
2. Приложете питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите височината и радиуса на цилиндъра.
3. Използвайте твърдения (13) и (14).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Квадратът ABB₁A₁ е осното сечение на цилиндъра, т.е. AB₁ = 4, AB = BB₁ = h = 2r.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABB₁ (ABB₁ = 90°):
  AB² + BB₁² = AB₁² h² + h² = 4² h² = 8 h = 2.
- 2r = h = 2 r = .
- Използваме твърдение (13), за да намерим лицето на пълната повърхнина:
  S₁ = 2πr(h + r) = 2π. (2 + ) = 12π.
- Използваме твърдение (14), за да намерим обема:
  V = πr²h = π. ()² . 2 = 4π.
- Верен отговор А).

Осното сечение ABCD на прав кръгов цилиндър има диагонал AC = 8 и BAC=30°. Намерете обема на цилиндъра.
- А)30π
- Б)48π
- В)60π
- Г)65π
- Д)80π
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Вижте упътването на Зад. 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Правоъгълникът ABCD е осното сечение на цилиндъра, тогава AB = 2r, BC = h.
- Намираме обема на цилиндъра:
  - Прилагаме формула (1), за ΔABC (ABC = 90°, BAC = 30°):
    BC = h = AC = . 8 = 4.
  - Прилагаме питагорова теорема за ΔABC (ABC = 90°):
    AB² + BC² = AC² (2r)² + 4² = 8² r² = 12 r = 2.
  - Използваме твърдение (14), за да намерим обема:
    V = πr²h = π.(2)².4 = 48π.
- Верен отговор Б).

Дължината на окръжността на основата на прав кръгов цилиндър е равна на 4π, а периметъра на осното сечение на цилиндъра е 14. Намерете обема на цилиндъра.
- А)6π
- Б)12π
- В)18π
- Г)8π
- Д)10π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формулата за дължина на окръжност намерете радиуса на основата.
2. От формулата за периметър на правоъгълник намерете височината на цилиндъра.
3. Използвайте твърдение (14), за да намерите обема на цилиндъра.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Знаем, че C = 2πr, където С – дължина на окръжността, r – радиус на окръжността.
- От даденото получаваме:
  C = 2πr 4π = 2πr r = 2.
- Осното сечение на цилиндъра е правоъгълник със страни 2r и h, където r и h са радиус и височина на цилиндъра.
- Използваме формулата за периметър на правоъгълник:
  P = 2 . 2r + 2 . h 14 = 2 . 2 . 2 + 2h h = 3.
- Използваме твърдение (14), за да намерим обема на цилиндъра:
  V = πr²h = π .2² . 3 = 12π.
- Верен отговор Б).

Прав кръгов цилиндър има обем 72π и лице на околната повърхнина 48π. Диагонала на осното сечение на цилиндъра е равен на:
- А)10
- Б)14
- В)18
- Г)22
- Д)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Като използвате твърдения (12) и (14), съставете система и намерете височината и радиуса на цилиндъра.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете търсения диагонал.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Правоъгълникът ABCD е осното сечение цилиндъра, тогава AB = 2r, BC = h.
- Намираме r и h:
  - Използваме твърдение (12):
    S = 2πrh 48π = 2πrh rh = 24.
  - Използваме твърдение (14):
    V = πr²h 72π = πr²h r²h = 72.
  - От тези две уравнения съставяме система и я решаваме:
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABC (ABC = 90°):
  AC² = AB² + BC² = (2r)² + h² = (2.3)² + 8² = 100 AC = d = 10.
- Верен отговор А).

Радиусът на основата на прав кръгов цилиндър е 2 cm, а диагоналът на осното му сечение е 5 cm. Височината на цилиндъра е равна на:
- А)3 cm
- Б)4 cm
- В)5 cm
- Г)2 cm
- Д)6 cm
Зад. от изпит в ТУ, 7.07.2014 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете диагонала на основата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на цилиндъра.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Осното сечение е ABB₁A₁ – правоъгълник с диагонал AB₁, а търсената височина е BB₁ = h.
- AB – диаметър на основата AB = 2r = 2.2 = 4 cm.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABB₁ (ABB₁ = 90°):
  AB₁² = AB² + BB₁² 5² = 4² + h² h² = 9 h = 3 cm.
- Верен отговор А).

Отношението на лицето на основата на прав кръгов цилиндър към лицето на осното му сечение е . Да се намери градусната мярка на ъгъла между диагоналите на осното сечение на цилиндъра.
- А)15°
- Б)30°
- В)45°
- Г)60°
- Д)90°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че осното сечение на цилиндъра е квадрат.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Основата на цилиндъра е квадрат, а лицето на квадрат се намира по формулата B = πr².
- Осното сечение на цилиндъра е правоъгълник със страни 2r и h, където r и h са радиус и височина на цилиндъра, а лицето на правоъгълник се намира по формулата S_ПРАВ. = 2r.h.
- Съставяме даденото отношение:
  h = 2r.
- Т.е. страните на осното сечение са равни, което означава, че осното сечение е квадрат.
- По определение диагоналите на квадрат са перпендикулярни.
- Верен отговор Д).

Отношението на лицето на осното сечение към лицето на околната повърхнина на прав кръгов цилиндър е равно на:
- А)2π
- Б)π²
- В)
- Г)π
- Д)
Зад. от изпит в ТУ, 11.07.2007 г.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (13) и твърдение (12).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Осното сечение на цилиндъра е правоъгълник със страни 2r и h, където r и h са радиус и височина на цилиндъра, а лицето на правоъгълник се намира по формулата S_ПРАВ. = 2r.h.
- Околната повърхнина на цилиндъра намираме от твърдение (12), т.е. S = 2πr.h.
- Съставяме отношението:
  .
- Верен отговор Д).

В прав кръгов цилиндър през една образуваща са построени две сечения, едното от които е осно. Лицата на сеченията са 24 cm² и 12 cm². Големината на двустенния ъгъл φ между равнините на сеченията е:
- А)15°
- Б)30°
- В)45°
- Г)60°
- Д)75°
Зад. от изпит в ТУ, 29.04.2011 г.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Съобразете, че от двете сечения осното сечение има по-голямо лице.
2. Разпишете лицата на двете сечения.
3. Докажете, че DE = r, където r – радиус на цилиндъра.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От дадените две сечение, осното сечение има по-голямо лице, защото отсечката DC (диаметър на цилиндъра) е по-голяма от DE.
- Лицето на осното сечение е S_ОСНО = 2r.h 24 = 2r.h r.h = 12.
- Лицето на другото сечение е S₁ = DE.h = 12.
- Т.е. ΔDEO₁ – равностранен EDC = φ = 60°.
- Верен отговор Г).

В прав кръгов цилиндър е построена равнина, успоредна на оста му, която отсича от окръжността на основата дъга от 120°. Дължината на оста на цилиндъра е 10, а разстоянието ѝ до секущата равнина е 2. Намерете обема на цилиндъра.
- А)120π
- Б)160π
- В)220π
- Г)250π
- Д)300π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете r – радиуса на цилиндъра.
2. Използвайте твърдение (14), за да намерите обема.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Правоъгълникът ABCD е развивката на околната повърхнина на прав кръгов цилиндър, като BC е височината на цилиндъра. Дадено е, че AC = 13 и sin BAC = . Обемът на цилиндъра е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула (10) за ΔABC, за да намерите височината h на цилиндъра.
2. Приложете питагорова теорема за ΔABC, за да намерите радиуса на цилиндъра.
3. Използвайте твърдение (14), за да намерите обема.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме формула (10) за ΔABC (ABC = 90°):
  sin BAC = h = 5.
- По условие AB = 2πr, където r е радиуса на основата на цилиндъра.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABC (ABC = 90°):
  AB² + BC² = AC² (2πr)² + 5² = 132 r² = .
- Използваме твърдение (14):
  V = πr² . h = π .
- Верен отговор В).

Колко пъти ще се увеличи обемът на прав кръгов цилиндър, ако диаметърът на основата и височината му се увеличат два пъти?
- А)2 пъти
- Б)4 пъти
- В)6 пъти
- Г)8 пъти
- Д)10 пъти
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте твърдение (14).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека r и r₁ са радиусите на двата цилиндъра, а h и h₁ са техните височини.
- По условие имаме r₁ = 2r, h₁ = 2h.
- Заместваме в твърдение (14):
  V₁ = πr₁² . h₁ = π(2r)² . 2h = 8πr² . h = 8V.
- Т.е. обемът на втория цилиндър се увеличава 8 пъти.
- Верен отговор Г).

Прав кръгов цилиндър има лице на околната повърхнина 20π и лице на основата 4π. Намерете обема на цилиндъра.
- А)20π
- Б)22π
- В)24π
- Г)26π
- Д)28π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формулата за лице на кръг, за да намерите радиуса на цилиндъра.
2. Използвайте твърдение (12), за да намерите височината на цилиндъра.
3. Използвайте твърдение (14) и намерете обема на цилиндъра.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Основата на цилиндъра е кръг, т.е. B = πr² 4π = πr² r² = 4, т.е. r = 2.
- Използваме твърдение (12):
  S = 2πrh 20π = 2π.2.h h = 5.
- Използваме твърдение (14):
  V = πr² . h = π . 2² . 5 = 20π.
- Верен отговор А).

Около прав кръгов цилиндър с радиус на основата 2 cm и височина 30 cm е описана правилна четириъгълна призма. Пълната повърхнина на призмата е:
- А)352 cm²
- Б)480 cm²
- В)32 cm²
- Г)384 cm²
- Д)512 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че радиусът на цилиндъра е равен на основен ръб на призмата, а височините на цилиндъра и призмата са равни.
2. Използвайте твърдение (13), за да намерите повърхнината на призмата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека цилиндърът да има радиус r = NO = 2 cm и височина h = MM₁ = 30 cm.
- Цилиндърът е вписан в сферата, следователно основите му са вписани окръжности в основите на призмата, т.е. a = AB = NM = 2r = 2.2 = 4 cm, а височините на призмата и цилиндъра са равни, т.е. h = 30 cm.
- Намираме лицето на повърхнината на призмата:
  - B = S_ABCD = a² = 4² = 16 cm².
  - P_ABCD = 4a = 4.4 = 16 cm.
  - От твърдение (11) намираме лицето на околната повърхнина на призмата:
    S = P . h = 16 . 30 = 480 cm².
  - От твърдение (13) намираме лицето на повърхнина на призмата:
    S₁ = S + 2B = 480 + 2.16 = 512 cm².
- Верен отговор Д).

От метален прав кръгов цилиндър е направено кълбо. Ако диаметърът на основата и височината на цилиндъра са равни на 4, то радиуса на кълбото е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте твърдение (14), за да намерите V_{ЦИЛИНДЪР}.
2. По условие обемите на цилиндъра и кълбото са равни и за да намерите търсения радиус, използвайте твърдение (5).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие обемите на цилиндъра и кълбото са равни.
- Използваме твърдение (14):
  V_{ЦИЛИНДЪР} = πr² . h = π . 2² . 4 = 16π.
- Този обем е равен на обема на кълбото и от твърдение (5) получаваме:
  V_КЪЛБО = V_{ЦИЛИНДЪР} = πR³ 16π = πR³ R³ = 12 R = .
- Верен отговор Г).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура