Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА
профилирана подготовка

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест - профилирана подготовка – Май 2025 година

ЧАСТ 1

Отговорите на задачите от 1. до 15. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Дадени са векторът (2; – 1) и точката Q (1; – 2). Координатите на точката Р са:
- А)(– 1; – 1)
- Б)(1; – 1)
- В)(3; – 3)
- Г)(– 3; 3)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от координати на вектор в равнината.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека търсената точа да има координати P (x_P; y_P).
- По условие имаме:
  - Q (1; – 2) x_Q = 1, y_Q = – 2.
  - Използваме координати на вектор в равнината (формула 13):
    .
- Намираме отговора:
  P (– 1; – 1).
- Верен отговор А).

Числото 2A3₍₁₆₎ в десетична бройна система е равно на:
- А)672
- Б)675
- В)691
- Г)10800
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте схемата на Хорнер.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме схемата на Хорнер и това, че A = 10:
  2A3₍₁₆₎ = 2.16² + A.16 + 3 = 2.256 + 10.16 + 3 = 765.
- Верен отговор Б).

Колко различни думи (включително и безсмислени) могат да се образуват чрез пренареждане на буквите в думите „АНАНАС“?
- А)720
- Б)240
- В)80
- Г)60
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за пермутации с повторения.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Буквите в дадената дума се повтарят, като броят на повторенията е:
  - Буквата А – повтаря се 3 пъти, т.е.:
    n₁ = 3! = 3.2.1 = 6.
  - Буката Н – повтаря се 2 пъти, т.е.:
    n₂ = 2! = 2.1 = 2.
  - Буката С – повтаря се 1 път, т.е.:
    n₃ = 1! = 1.
- Всички букви са n = 6.
- Намираме отговора (броя на пермутациите с повторения):
  = 60.
- Верен отговор Г).

Плик съдържа 3 шоколадови и 2 ягодови бонбона. Дете взима един бонбон, записва си какъв е, връща го и повтаря опита общо три пъти. Каква е вероятността, че ще е извадил повече пъти ягодови, отколкото шоколадови бонбони?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Трите опита са независими, защото бонбонът се връща обратно след всяко изваждане, т.е. имаме извадка с връщане.
2. Условието „ягодовите (Я) бонбони са повече от шоколадовите“ може да се случи, ако имаме два случая: 3 ягодови и 0 шоколадови или 2 ягодови и 1 шоколадов.
3. Използвайте формулата на Бернули и подходящо следствие на тази формула, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме събитията:
  - Ш = {Изважда се 1 шоколадов (Ш) бонбон}.
  - Я = {Изважда се 1 ягодов (Я) бонбон}.
- Трите опита са независими, защото бонбонът се връща обратно след всяко изваждане (извадка с връщане).
- Всички бонбони са 5, т.е. всички възможни случаи са n = 5.
- Намираме вероятността за събитието Ш:
  - В пликът има 3 шоколадови бонбона, т.е. благоприятните случаи са m = 3.
  - Използваме формулата за класическа вероятност (формула 7):
    P (Ш) = .
- Намираме вероятността за събитието Я:
  - В пликът има 2 ягодови бонбона, т.е. благоприятните случаи са m = 2.
  - Отново използваме формулата за класическа вероятност (формула 7):
    P (Я) = .
- Условието Я > Ш се изпълнява, ако:
  - сме извадили три ягодови бонбона. Използваме правилото за умножение и намираме вероятността:
    Р (Я;Я;Я) = Р (Я) . Р (Я) . Р (Я) = .
  - Извадили сме 2 ягодови бонбона и 1 шоколадов в следните комбинации: (Я;Я;Ш), (Я;Ш;Я) и (Ш;Я;Я) и за всяка от тях отново използваме правилото за умножение, за да намерим вероятността на всяка подредба, а след това ги събираме, за да намерим вероятността да извадим 2 Я и 1 Ш:
    P (Я;Я;Ш) = Р (Я) . Р (Я) . Р (Ш) = .
    
    P (Я;Ш;Я) = Р (Я) . Р (Ш) . Р (Я) = .
    
    P (Ш;Я;Я) = Р (Ш) . Р (Я) . Р (Я) = .
    
    Р (2Я;1Ш) = P (Я;Я;Ш) + P (Я;Ш;Я) + P (Ш;Я;Я) = .
- Намираме вероятността да се изпълни условието Я > Ш:
  Р (Я > Ш) = Р (Я;Я;Я) + Р (2Я;1Ш) = .
- Верен отговор А).
- Вероятността за:
  - успех е:
    p = P (Я) = .
  - неуспех е:
    q = 1 – p = 1 – .
- Разглеждаме случая да се извадят 3Я и 0Ш, т.е. подредбата (Я;Я;Я):
  - Имаме три независими опита, т.е. n = 3.
  - Събитието Я настъпва точно три пъти, т.е. k = n = 3 пъти.
  - Използваме Следствие 1 (формула 6) на формулата на Бернули:
    Р (Я;Я;Я) = pⁿ = .
- Разглеждаме случая да се извадят 2Я и 1Ш:
  - Имаме три независими опита, т.е. n = 3.
  - Събитието Я настъпва точно 2 пъти, т.е. k = 2 пъти.
  - Броят на начините, по които могат да се разпределят k = 2 успеха при n = 3 опита, е равнен на броя комбинации на три елемента от 2-ри клас (формула 6):
    C₃² = = 3.
  - Използваме формулата на Бернули (формула 5):
    Р (2Я;1Ш) = C₃².p².q^{3 – 2} = 3 . .
- Използваме правилото за събиране и намираме вероятността да се изпълни условието Я > Ш:
  Р (Я > Ш) = Р (Я;Я;Я) + Р (2Я;1Ш) = .
- Верен отговор Г).

Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и M, N и P са вътрешни точки съответно от ръбовете AB, BC и DD₁. Видът на сечението на куба с равнина, минаваща през точките M, N и P е:
- А)триъгълник
- Б)четириъгълник
- В)петоъгълник
- Г)шестоъгълник
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте метода на пресечниците, за да постройте сечение на многостен с равнина.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме метода на пресечниците:
  - Правите MN, AD и CD лежат в равнината на основата (ABCD).
  - MN ∩ AD = т. G и MN ∩ CD = т. E.
  - PE ∩ CC₁ = т. Q.
  - PG ∩ AA₁ = т. F.
- Търсеното сечение е петоъгълника MNQPF.
- Верен отговор В).

Критерии за оценяване

В правоъгълна координатна система са дадени точките P (– 2p; 4) и Q (p + 6; – p), където p R. Стойността на p, за която правата, минаваща през точките P и Q е успоредна на ординатната ос, е:
- А)p = – 4
- Б)p = – 2
- В)p = 2
- Г)p = 2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че правата PQ е успоредна на ординатната ос y, ако абсцисите на т. P и т. Q са равни.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме:
  - P (– 2p; 4) x_P = – 2p.
  - Q (p + 6; – p) x_Q = p + 6.
- PQ е успоредна на ординатната ос, ако:
  x_P = x_Q – 2p = p + 6 p = – 2.
- Верен отговор Б).

Стойността на реалното число k, за която полиномът p (x) = x³ + 2x² + 3x – 3k се дели без остатък на полинома q (x) = x + 3 е равна на:
- А)k = – 18
- Б)k = – 6
- В)k = 6
- Г)k = 18
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Полиномът q (x) (този полином е делител) е от първа степен и затова използвайте теоремата на Безу и схемата на Хорнер, като положите, че R = 0, защото деленето е без остатък.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Полиномът q (x) = x + 3 е двучлен и затова получаваме, че x₀ = – 3.
- Използваме схемата на Хорнер:
- За да делим без остатък, то трябва да имаме:
  R = 0 – 18 – 3k = 0 k = – 6.
- Верен отговор Б).

В квадрат със страна 4 cm последователно са вписани безброй много квадрати, като страната на всеки е равна на половината от страната на предходния. Сборът от лицата на всички квадрати е равен на:
- А) cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г)32 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Лицата на квадратите образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия и използвайте подходяща теорема, за да намерите отговора.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ако страната на първия квадрат е a₁ = 4 cm, то лицето му е:
  S₁ = a₁² = 4² = 16 cm².
- Вторият квадрат ще има страна a₂ = a₁ : 2 = 4 : 2 = 2 cm и лице:
  S₂ = a₂² = 2² = 4 cm².
- Третият квадрат ще има страна a₃ = a₂ : 2 = 2 : 2 = 1 cm и лице:
  S₃ = a₃² = 1² = 1 cm².
- Редицата от лица е безкрайно намаляваща геометрична прогресия с:
  - първи член S₁ = 16 и
  - частно:
    q = .
- Използваме Теорема за тази безкрайно намаляваща геометрична прогресия:
- Верен отговор В).

Границата е равна на:
- А)
- Б)
- В)–
- Г)–
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Тригонометрична Формула (Тр.Ф.7.4), за да преобразувате до основна тригонометрична граница.
2. Използвайте формула (12) и получете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Имаме неопределеност .
- Преобразуваме, така че в числител да използваме Тригонометрична Формула (Тр.Ф.7.4), използваме формула (12) и намираме границата:
- Верен отговор А).

Материална точка се движи по закона s (t) = t³ – 3t² + 6t, където s е пътят в метри, а t – времето в секунди. Колко метра е изминала точката до момента, в който нейното ускорение е 24 m/s²?
- А)5 m
- Б)24 m
- В)51 m
- Г)80 m
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Теорема 1 и Теорема 2 от механичен смисъл на производната и намерете времето t.
2. Заместете в закона s (t) и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме механичен смисъл на производната:
  - От Теорема 1 намираме скоростта на точката:
    v (t) = s ' (t) = 3t² – 6t + 6.
  - Използваме Теорема 2 и заместваме в даденото ускорение:
    a (t) = v ' (t) = s '' (t) = 6t – 6 24 = 6t – 6 t = 5 s.
- Заместваме в дадената функция:
  s (5) = 5³ – 3.5² + 6.5 = 80 m.
- Верен отговор Г).

Втората производна на функцията f (x) = (2x – 1)(x + 3)² е:
- А)2(x + 3)(3x + 2)
- Б)2(6x + 11)
- В)6x + 11
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи правила за диференциране на сложна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Таблица №1 използваме подходящо правило за намиране на първа производна:
  f ' = (2x – 1) ' . (x + 3)² + (2x – 1).[(x + 3)²] ' = 2(x + 3)² + (2x – 1) . 2(x + 3) = (x + 3)(6x + 4).
- Отново от Таблица №1 намираме втората производна:
  f '' = 6x + 4 + (x + 3).6 = 12x + 22 = 2(6x + 11).
- Верен отговор Б).

Радиусът на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида ABCDM с височина MO = 4 cm и основен ръб AB = 6 cm, е:
- А) cm
- Б) cm
- В) cm
- Г) cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От елементите на пирамида (твърдение 3) следва, че петата на височината на правилна пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност.
2. Използвайте твърдение (42.1) от пирамида, която е описана около сфера.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От елементи на пирамида (твърдение 3) следва, че петата на височината на правилна пирамида съвпада с центъра на вписана в основата окръжност.
- От чертежа се вижда, че:
  - МО = h – височина на пирамидата.
  - т. Н – център на вписаната сфера и той лежи на МО.
  - OH = r – радиус на вписаната сфера.
  - т. К – среда на ВС и HK – ъглополовяща на OKM = (BCM; ABCD).
  - r₁ = OK – радиус на вписаната в основата окръжност.
- През пресечната точка на диагоналите на квадрата ABCD построяваме OK || AB, тогава:
  r₁ = OK = .6 = 3.
I начин:
- Използваме твърдение (42.1) от пирамида, която е описана около сфера и решаваме полученото квадратно уравнение:
  r₁² = 3² = 2r² + 9r – 18 = 0; r₁ = , r₂ = – 6 < 0, т.е. r₂ = – 6 ∉ ДМ_r.
- Т.е. r = OH = cm.
- Верен отговор Б).
II начин:
- Разглеждаме ΔOKM (O = 90°, OKM = φ):
  - Прилагаме теоремата на Питагор:
    MK² = OK² + MO² = 3² + 4² = 25 MK = 5 cm.
  - Прилагаме формула (10):
    sin φ = .
- Използваме основното тригонометрично равенство (Тр.Ф.1.1):
  sin² φ + cos² φ = 1 + cos² φ = 1 cos² φ = .
- т. Н – център на вписаната сфера, т.е. НК е ъглополовяща на OKM = φ, тогава OKH = .
- Използваме Тригонометрична формула (Тр.Ф.5.15):
  .
- Прилагаме формула (12) за правоъгълния OKH (O = 90°, OKH = ):
  tg r = cm.
- Верен отговор Б).

Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е 2 cm, а всички стени сключват с основата равни ъгли с големина 60°. Обемът на пирамидата е равен на:
- А)1 cm³
- Б)2 cm³
- В)3 cm³
- Г)6 cm³
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формули (6) и (7), за да намерите височината и лицето на основата на пирамидата.
2. Използвайте основна задача (ОЗ.4.1), за да намерите разстоянието от медицентъра на основата до основен ръб.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на пирамидата.
4. Използвайте формулата за обем на пирамида и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме дадения ъгъл с големина 60°:
  - ABCM – правилна триъгълна пирамида ΔABC – равностранен.
  - Избираме т. К среда на основен ръб АВ, т.е.: СК – медиана и височина на равностранния ΔABC (CK AB), а МК – медиана и височина в равнобедрения ΔABM (MK AB).
  - От Теоремата за трите перпендикуляра получаваме:
    (ABM; ABC) = CKM = 60°.
- За равностранния ΔABC използваме:
  - Формула (7):
    B = S_ΔABC = B = 3.
  - Формула (6):
    CK = = 3.
- т. О е проекцията на върха М в равнината на основата, като O AB, т.е. т. О – медицентър в равностранния ΔABC и използваме основна задача (ОЗ.4.1 а):
  OK = . 3 = 1.
- Използваме формула (12) за правоъгълния ΔKOM (O = 90°, OKM = 60°):
  tg 60° = MO = h = .
- Намираме обема на правилната пирамида:
  V = = 3 cm³.
- Верен отговор В).

За коя стойност на реалния параметър m функцията f (x) = x³ + mx² + 4x + 3 има локален максимум в точката с абсциса x = – 2?
- А)3
- Б)4
- В)8
- Г)16
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо правило за намиране на локален екстремум.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме първата производна:
  f ' = 3x² + 2mx + 4.
- Намираме стойността на първата производна при x = – 2:
  f ' (– 2) = 3.(– 2)² + 2m.(– 2) + 4 = 16 – 4m.
- Използваме условието и решаваме линейното уравнение:
  f ' (– 2) = 0 16 – 4m = 0 m = 4.
- Верен отговор Б).

В една кутия има 11 сини и един червен химикал, а в друга – 9 сини и един червен химикал. Случайно избран химикал от първата кутия е прехвърлен във втората, след което от втората кутия по случаен начин е избран един химикал. Каква е вероятността избраният химикал да е червен?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележите събитията: A = {Прехвърляме син химикал от кутия 1 (К₁) в кутия 2 (К₂)} и B = {Прехвърляме червен химикал от К₁ в К₂}.
2. Използвайте формулата за класическа вероятност, за да намерите вероятността P (A) – да извадите син химикал от К₁ и вероятността P (В) – да извадите червен химикал от К₁.
3. За кутия К₂ имаме два случая: при прехвърлен син химикал, намерете условната вероятност Р (червен/А) – от К₂ се вади червен, ако от К₁ е прехвърлен син и вероятността Р (червен/В) – от К₂ се вади червен, ако от К₁ е прехвърлен червен.
4. Използвайте формула за пълна вероятност, т.е. P (червен от К₂) = P (A) . Р (червен/А) + P (B) . Р (червен/В).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме събитията:
  - A = {Прехвърляме син химикал от кутия 1 (К₁) в кутия 2 (К₂)}.
  - B = {Прехвърляме червен химикал от К₁ в К₂}.
- В началното състояние на кутия 1 (К₁):
  - Намираме всички възможни случаи n – общо в кутията има 12 химикала (11 сини + 1 червен = 12).
  - Намираме вероятността за събитието А – благоприятните случаи m на събитие А (ако се прехвърли син химикал) са m = 11 (в кутията има 11 сини химикала) и използваме формула за класическа вероятност (формула 7):
    P (A) = .
  - Намираме вероятността за събитието В – благоприятните случаи m на събитие В (ако се прехвърли червен химикал) са m = 1 (в кутията има 1 червен химикал) и отново използваме формула за класическа вероятност:
    P (B) = .
- След прехвърлянето на произволен химикал в К₂ имаме:
  - При събитие А (прехвърля се син химикал) всички случаи са n = 11 (10 сини + 1 червен).
  - При събитие В (прехвърля се червен химикал) всички случаи са n = 11 (9 сини + 2 червени).
- Намираме вероятността от К₂ да се изтегли червен химикал, ако от К₁ се е изтеглил 1 произволен химикал:
  - При събитие А (прехвърлен син химикал) благоприятните случаи са m = 1 (в К₂ има 1 червен) и вероятността е:
    Р (червен/А) = .
  - При събитие B (прехвърлен червен химикал) благоприятните случаи са m = 2 (в К₂ има 2 червени) и вероятността е:
    Р (червен/В) = .
- Използваме формула за пълна вероятност:
  P (червен от К₂) = P (A) . Р (червен/А) + P (B) . Р (червен/В) = .
- Верен отговор А).

Условията на останалите задачи и указание за решенията им, може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове профил, 2024 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура