Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА
профилирана подготовка

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест - профилирана подготовка – Май 2024 година

ЧАСТ 1

Отговорите на задачите от 1. до 15. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от дадените уравнения е на права, сключваща тъп ъгъл с положителната посока на абсцисната ос?
- А)y = – 2
- Б)y = 2
- В)y = – 2x + 1
- Г)y = 2x – 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от декартово уравнение на права.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадените отговори виждаме, че всички прави са зададени с декартовите си уравнения.
- От „Таблица за стойностите на тригонометричните функции във всеки от квадрантите“ знаем, че tg α < 0, ако α е във втори квадрант.
- За да е изпълнено условието (правата да сключва тъп ъгъл с положителната посока на абсцисната ос), търсената права трябва да има отрицателен коефициент, защото от начини за задаване на права (формула 11) имаме:
  tg α < 0 k = tg α < 0.
- Само в отговор В) имаме отрицателно k.
- Верен отговор В).

Ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията f (x) = – x³ + 2x + 1 в точката A с абсциса x_A = – 1 е:
- А)– 5
- Б)– 1
- В)1
- Г)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула от допирателна към графика на функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Търсим k на допирателната към графиката на функцията и затова използваме формула (4):
  - Намираме първата производна:
    f ' = – 3x² + 2.
  - За x_А = – 1 използваме формула (4):
    k = f ' (– 1) = – 3.(– 1)² + 2 = – 1.
- Верен отговор Б).

Едночленът от шеста степен в нормалния вид на (x – 1)⁷ е:
- А)– 21x⁶
- Б)– 7x⁶
- В)7x⁶
- Г)21x⁶
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата за нютонов бином.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулата за нютонов бином (формула 13), за да определим коефициентите пред неизвестните:
  (x – 1)⁷ = + … .
- Използваме формулата за биномен коефициент (формула 11) и получаваме отговора:
  = – x⁶.1 = – 7x⁶.
- Верен отговор Б).

От три еднакво големи партиди изделия е избрано едно изделие за контрол на продукцията. Каква е вероятността това изделие да е бракувано, ако в една от партидите от изделията са бракувани, в друга са бракувани и в третата има само висококачествени изделия?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете вероятностите за избор на бракувани изделия от всяка партида.
2. Намерете вероятността за избор на партида.
3. Използвайте правилото за умножение, за да получите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От всяка партида се избира само едно изделие.
- Записваме вероятността това изделие да е бракувано (дадени са по условие):
  - Р₁ (1 бракувано изделие от първа партида) = .
  - Р₂ (1 бракувано изделие от втора партида) = .
  - Р₃ (1 бракувано изделие от трета партида) = 0.
- Използваме правилото за събиране, за да намерим вероятността бракуваното изделие да е „или“ от 1 „или“ от 2 „или“ от 3 партида:
  P₁ + P₂ + P₃ = .
- Всички партиди са 3. Вероятността P_П бракуваното изделие да е в една от тези три партиди е:
  P_П = .
- Използваме правилото за умножение, защото събитията са зависими и намираме, че търсената вероятност е:
  P = P_П (P₁ + P₂ + P₃) = .
- Верен отговор А).

Коя от изброените функции притежава една хоризонтална и две вертикални асимптоти?
- А)y =
- Б)y =
- В)y =
- Г)y =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за видове асимптоти.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Определяме вертикалните асимптоти на дадените функции – Обикновено вертикалната асимптота се търси около точката на прекъсване на функцията, ако има такава:
  - Функцията от отговор А) има една вертикална асимптота, защото имаме:
    2x + 3 = 0 x = – .
    
    Т.е. функцията от отговор А) НЕ е възможен отговор.
  - Функциите от отговори Б) и В) имат две вертикали асимптоти, защото имаме:
    x² – 1 = 0 x = ± 1.
    
    Т.е. функциите от отговори Б) и В) Е възможен отговор.
  - Функцията от отговор Г) няма вертикална асимптота, защото уравнението 2x⁴ + 3 = 0 няма решение, т.е. функцията от отговор Г) НЕ е възможен отговор.
- Ще изследваме за хоризонтална асимптота само функциите от отговори Б) и В):
  - За функцията от отговор Б) намираме границата на y при x → ± ∞:
    т.е. функцията от отговор Б) има хоризонтална асимптота y = 0.
  - Функцията от отговор В) няма хоризонтална асимптота, защото:
- Верен отговор Б).

Критерии за оценяване

Стойността на реалното число k, за което векторите с координати (2k; – 1) и (– 3; – 6) са взаимно перпендикулярни, е равна на:
- А)k = – 1
- Б)k = – 0,25
- В)k = 0
- Г)k = 1
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете координатите на скаларното произведение (използвайте формула 18).
2. Използвайте Теорема от скалното произведение на два вектора и решете полученото уравнение спрямо k.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме координатите на скаларното произведение на дадените два вектора (формула 18):
  x_a.x_b + y_a.y_b = 2k.(– 3) + (– 1). (– 6) = – 6k + 6.
- Прилагаме Теоремата за скаларното произведение на двата вектора (формула 8) и заместваме с получения израз:
  – 6k + 6 = 0 k = 1.
- Верен отговор Г).

Първият член на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 2. Ако всеки следващ член на прогресията е три пъти по-малък от сбора на съседните му два члена, то сумата от членовете на прогресията е равна на:
- А)
- Б)1 +
- В)1 –
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От условието намерете частното на безкрайно намаляващата геометрична прогресия и за тази безкрайно намаляваща прогресия използвайте подходяща Теорема, за да намерите отговора.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме безкрайно намаляваща геометрична прогресия, т.е. |q| < 1.
- Дадената прогресия е:
  2; 2q; 2q².
- Използваме условието и решаваме полученото квадратно уравнение:
  2q = q² – 3q + 1 = 0, q₁ = > 1, т.е. q₁ НЕ е решение, q₂ = .
- Използваме Теоремата за безкрайно намаляващата геометрична прогресия и намираме отговора:
- Верен отговор Б).

Тяло се движи по закона S (t) = 2t² – 4t + 2 (в метри), където t е времето, измерено в секунди. Скоростта на тялото в определен момент t₁ e V (t₁) = 8 m/s. Стойността на t₁ в секунди е:
- А)t₁ = 1
- Б)t₁ = 3
- В)t₁ = 6
- Г)t₁ = 2,5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема 1 от механичен смисъл на производната.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме първата производна:
  S ' = 4t – 4.
- Прилагаме Теорема 1 от механичен смисъл на производната:
  V (t₁) = S ' 8 = 4t₁ – 4 t₁ = 3 s.
- Верен отговор Б).

Основният ръб на правилна триъгълна призма ABCA₁B₁C₁ е равен на 2 cm, а диагоналът на околна стена е cm. Ъгълът между равнината (ABC) и равнината (ACB₁) е:
- А)30°
- Б)45°
- В)60°
- Г)90°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте (ABC; ACB₁) = φ.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете околен ръб на призмата.
3. Използвайте подходяща формула на равностранен триъгълник, за да намерете височината на основата.
4. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете φ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме (ABC; ACB₁):
  - Избираме т. D – среда на АС.
  - ΔABC – равностранен, т.е. BD – височина в ΔABC.
  - ΔACB₁ – равнобедрен, защото призмата е правилна и диагоналите (AB₁ и CB₁) на околните стени са равни, но т. D е среда на АС, т.е. B₁D е височина в ΔACB₁.
  - От теоремата за трите перпендикуляра следва, че (ABC; ACB₁) = BDB₁ = φ.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔABB₁ (ABB₁ = 90°):
  AB² + BB₁² = AB₁² 2² + BB₁² = ² BB₁ = 1.
- ΔABC – равностранен и BD – височина, тогава от формула (6) получаваме:
  BD = .
- Използваме формула (12) в ΔBDB₁ (DBB₁ = 90°):
  tg φ = φ= 30°.
- Верен отговор А).

Дадена е окръжност с уравнение (x – 2)² + (y – 1)² = 13. Точка O е център на окръжността, а A и B са пресечните точки на правата g: x + y – 4 = 0 с окръжността. Колко от точките A, B и O лежат на правата с уравнение l: 3x + 2y – 8 = 0?
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От уравнението на окръжност определете координатите на центъра на окръжността.
2. Намерете координатите на общите точки между права и окръжност (решете системата от формула 6).
3. Проверете кои от получените точки в стъпка 2) лежат върху правата l.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От уравнението на окръжност (формула 2) определяме координатите на центъра на окръжността:
  (x – 2)² + (y – 1)² = 13 O (α; β) = O (2; 1).
- От общи точки между права и окръжност (формула 6) съставяме система и я решаваме, за да определим координатите на пресечните точки между окръжността и правата g:
- Координатите на пресечните точки на окръжността с правата g са: A (0; 4) и B (5; – 1).
- Проверяваме кои от тези точки лежат на правата l:
  - Точката O (2; 1) лежи върху правата l, защото:
    3.2 + 2.1 – 8 = 0.
  - Точката A (0; 4) лежи върху правата l, защото:
    3.0 + 2.4 – 8 = 0.
  - Точката B (5; – 1) НЕ лежи върху правата l, защото:
    3.5 + 2.(– 1) – 8 = 5 ≠ 0.
- Извод: Само точките O (2; 1) и A (0; 4) лежат върху правата l.
- Верен отговор В).

Дадена е функцията f(x) = , където a е реален параметър. Стойността на a, за която функцията е непрекъсната в x = 2, е:
- А)9
- Б)
- В)–
- Г)– 9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за непрекъснатост на функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилото за намиране на граница, ако имаме неопределеност :
- Отново намираме границата на другата част от функцията:
- За да бъде функцията непрекъсната при x = 2, то двете граници трябва да съвпадат. Това ще се случи, ако a = 9.
- Верен отговор А).

Намерете границата .
- А)
- Б)
- В)
- Г)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете граница на тригонометрична функция, като чрез Тригонометрична Формула (3.11) сведете до основна граница (12).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Тр.Ф. (3.11) и свеждаме дадената граница до основна граница (12):
- Верен отговор Б).

Абсцисата на инфлексната точка за функцията f (x) = x.e ^{– x} е равна на:
- А)– 1
- Б)1
- В)– 2
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема за инфлексна точка.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящо правило за намиране на първа производна:
  f ' = x '.e ^{– x} + x.(e ^{– x}) ' = e ^{– x} + x.e ^{– x}.(– 1) = e ^{– x} – x.e ^{– x}.
- Намираме втората производна:
  f '' = – e ^{– x} – (e ^{– x} – x.e ^{– x}) = x.e ^{– x} – 2e ^{– x}.
- Абсцисата на инфлексната точка е решението на уравнението:
  f '' = 0 x.e ^{– x} – 2e ^{– x} = 0 (x – 2).e ^{– x} = 0 x = 2, защото e ^{– x} > 0 за всяко x.
- Верен отговор Г).

Ако в правилна триъгълна призма с основен ръб 6 cm може да се впише сфера, то дължината на околния ѝ ръб е:
- А)3 cm
- Б)3 cm
- В)6 cm
- Г)6 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете височината на основата.
2. Използвайте ОЗ 4.1, за да намерите разстоянието от медицентъра на основата до основен ръб.
3. Използвайте Бележките от призма, описана около сфера, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадена е правилна триъгълна призма, т.е. основата е равностранния ΔABC.
- Построяваме CD – височина в равностранния ΔABC и използваме формула (6):
  BD = = 9.
- Нека т. О е център на вписаната в равностранния ΔABC окръжност, т.е. тя е и медицентър. Използваме ОЗ.4.1:
  OD = . 9 = 3.
- Така намерихме, че радиусът на вписаната в ΔABC окръжност е OD = r = 3.
- Нека височината на призмата е BB₁ = l = h.
- Правоъгълникът DBB₁D₁ е перпендикулярно сечение на призмата, като страната му BB₁ се явява височина на призмата.
- Използваме Бележките от призма, описана около сфера, за да намерим отговора:
  BB₁ = h = 2r = 2.3 = 6 cm.
- Верен отговор В).

При паркиране на автомобили на платен паркинг се пускат монети в машина. Устройството отхвърля дадена монета с вероятност 0,05. Пускаме 2 монети в машината. Намерете вероятността поне едната от тях да бъде приета от устройството.
- А)0,95
- Б)0,9025
- В)0,92
- Г)0,9975
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте правилото за умножение, за да намерите вероятността да се отхвърлят и двете монети.
2. Намерете вероятността на противоположното събитие (формула 7.3) на събитието, чиято вероятност намерихте в стъпка 1.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме събитията:
  - A = {Отхвърлят се и двете монети}.
  - Противоположното събитие на събитието А е = {Приема поне една от монетите}.
  - B = {Отхвърля се само една монета}.
- По условие е дадена вероятността P (B) = 0,05.
- Прилагаме правилото за умножение на съвместими събития (отхвърля се едната монета и след това се отхвърля другата монета), за да намерим вероятността да се отхвърлят и двете монети:
  P (A) = P (B) . P(B) = 0,05.0,05 = 0,0025.
- Използваме формулата за вероятност на противоположно събитие (формула 7.3):
  P () = 1 – P (A) = 1 – 0,0025 = 0, 9975.
- Верен отговор Г).

Условията на останалите задачи и указание за решенията им, може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове профил, 2023 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура