Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия
Лице на триъгълник
ТеорияТест за ТУ и МатураТест за УНСС
Основни типове задачи за Матура и Технически университет
- Зад. №1:
-
Страните на триъгълник са a = 4 cm, b = 13 cm, c = 15 cm. Намерете:
а) радиуса на вписаната в триъгълника окръжност;
б) радиуса на описаната около триъгълника окръжност;
в) височините в триъгълника.
- Зад. №2:
- В равнобедрен триъгълник бедрото е 5 cm, а котангенсът на ъгълът между бедрата е 2. Намерете лицето на триъгълника.
- Зад. №3:
- От вътрешна точка М на равностранен ΔABC са спуснати перпендикулярите MN = 5 cm (N BC), MP = 14 cm (P AB), MQ = 16 cm (Q AC) към страните на триъгълника. Намерете:
а) височината в ΔABC;
б) страната на ΔABC;
в) страните на ΔNPQ.
а) Нека т. О е вътрешна за равностранния ΔABC тогава от SΔABC = SΔABO + SΔBOC + SΔAOC намерете търсената височина.
б) Използвайте формула (6).
в) За да намерите търсените страни използвайте Косинусова теорема съответно за ΔQMN, ΔQPM и ΔPNM.
- Зад. №4:
- а) В ΔABC точките D, E, F са среди съответно на отсечките AC, BC, BE. Нека G е пресечната точка на AF и BD. Намерете лицето на четириъгълника CDGF, ако лицето на ΔABC е 360.
(СУ, 02.04.2023).
б) Даден е ΔABC с лице S. Нека точка D дели страната AC в отношение p : q, а точка F дели страната BC в отношение n : m считано от върха C. Отсечките AF и BD се пресичат в точка G. Да се намери лицето на четириъгълника CDGF.
- Намерете триъгълници с обща височина и намерете отношението на лицата им.
- Изразете лицето на търсемия четириъгълник чрез лицето на подходящ триъгълник (например, чрез лицето на ΔDBC).
Нека да имаме означенията: SΔABC = S, SCDGF = S0, SΔGBF = S1, SΔGFC = S01, SΔAGD = S2, SΔDGC = S02.
а)
- От условието, че точките D, E, F са среди съответно на отсечките AC, BC, BE следва, че BF = x, CF = 3x, BC = 4x и CD = AD = y, AC = 2y.
- ΔGBF и ΔGFC имат обща височина h1. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
(A): S01 = 3S1.
- ΔDGC и ΔDGA имат обща височина h2. Отново прилагаме формула (1) и делим лицата им:
(B): S02 = S2.
- ΔDBC и ΔABC имат обща височина h, а от чертежа се вижда, че SΔDBC = S0 + S1. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
(C): S1 = S – S0.
- ΔAFC и ΔABC имат обща височина h, а от чертежа се вижда, че SΔAFC = S2 + S0. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
(D): S2 = S – S0.
- Използваме равенства (A), (B), (C), (D) и чертежа:
S0 = S01 + S02 = 3S1 + S2 = 3 (S – S0) + S – S0 20S0 = 9S.
- Заместваме даденото лице:
20S0 = 9S 20S0 = 9.360 S0 = 162.
- Отговор: SCDGF = 162.
б)
- От дадените отношения в условието следва, че CF = nx, BF = mx, BC = (n + m)x и CD = py, AD = qy, AC = (p + q)y.
- ΔGBF и ΔGFC имат обща височина h1. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
- ΔDGC и ΔDGA имат обща височина h2. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
- ΔDBC и ΔABC имат обща височина h, а от чертежа се вижда, че SΔDBC = S0 + S1. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
- ΔAFC и ΔABC имат обща височина h, а от чертежа се вижда, че SΔAFC = S2 + S0. Прилагаме формула (1) и делим лицата им:
- Използваме равенства (E), (F), (G), (H) и чертежа:
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година: