Лице на триъгълник

Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Геометрия

Вижте:

ТеорияОсновни задачиТест за УНСС

Тест – Технически университет и матура

Лицето на триъгълник със страни 5 cm, 6 cm и 7 cm е:
- А)6 cm²
- Б)6 cm²
- В)3 cm²
- Г)2 cm²
- Д)2 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Хероновата формула.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Хероновата формула:
  - p = = 9.
  - S = = 6 cm².
- Верен отговор Б).

Да се намери дължината на височината CH в ΔABC със страни AB = 16, BC = 12 и височина AD = 8.
- А)9
- Б)8
- В)6
- Г)11
- Д)12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете лицето по формула (1) и след това, пак по същата формула намерете другата височина.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме лицето по формула (1):
  S = = 48.
- От същата формула намираме другата височина:
  S = CH = 6.
- Верен отговор В).

В ΔABC AB = 8, AC =15 и BAC = 60°. Височината AH (H BC) на триъгълника е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте косинусова теорема, за да намерите ВС.
2. Намерете лицето на триъгълника.
3. От лицето по формула (1) за лице намерете височината АН.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От косинусова теорема намираме ВС:
  BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos 60° = 8² + 15² – 2.8.15. = 169 BC = 13.
- Намираме лицето на триъгълника по формула (2):
  S = .AB.AC.sin 60° = . 8 . 15 . = 30.
- Намираме височината AH от формула (1) за лице:
  S = .
- Верен отговор Д).

За равнобедрен ΔABC дължината на основата AB е 12 cm и cos BAC = , то лицето на триъгълника е:
- А)48 cm²
- Б)24 cm²
- В)12 cm²
- Г)10 cm²
- Д)16 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От косинусова теорема намерете бедрото на триъгълника.
2. Използвайте формула за лице на триъгълник.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека BC = AC = x. Прилагаме косинусова теорема:
  BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos BAC x² = 12² + x² – 2.12.x. x = 10. Тогава BC = x = 10 cm.
- Намираме лицето на триъгълника по Хероновата формула:
  - p = = 16.
  - S = = 48 cm².
- Верен отговор А).

Височината към бедрото на равнобедрен триъгълник е 6 cm, а синусът на ъгъла между основата и бедрото му е . Лицето на триъгълника е:
- А)27 cm²
- Б)17 cm²
- В)9 cm²
- Г) cm²
- Д)36 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Приложете тригонометрична функция синус за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите основата АВ на ΔABC.
2. Като използвате тригонометрични формули (2.2) и (1.2) намерете тангенса на ъгъла между основата и бедрото на ΔABC.
3. От тригонометрична функция тангенс приложена за подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината към основата на ΔABC.
4. Използвайте формула (1), за да намерете лицето на ΔABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

За ΔABC на чертежа точка M е средата на BC, а точка N е средата на AB. Правите AM и CN се пресичат в точка P. Каква част от лицето на ΔABC е лицето на ΔMNP?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Постройте височините CD и BP. Пресечната им т. Н е ортоцентъра на триъгълника.
1. Използвайте подточка а) на Основна зад. 3, за да изразите лицето на ΔNMC чрез лицето на ΔABC.
2. Постройте височината на ΔNMP и ΔPMC, и намерете връзката между лицата им.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека лицето на ΔABC да е равно на S.
- CN – медиана в ΔABC и от подточка а) на Основна зад. 3 следва, че S_ΔNBC = S.
- NM – медиана в ΔNBC и от същата основна задача следва, че S_ΔNMC = S_ΔNBC = .
- т. Р – медицентър на ΔABC NP = CN.
- Построяваме MD CN. Отсечката MD е височина в ΔNMP, а така също и в ΔNMC.
- Прилагаме формула (1) за лицето на ΔNMP и ΔNMC:
- Верен отговор Г).

В равнобедрения ΔABC на чертежа CM (M AB) е медиана към основата и MP BC (P BC). Ако BP = 9 и PC =16, то лицето на ΔABC е равно на:
- А)50
- Б)600
- В)300
- Г)3600
- Д)30
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Приложете формула (6) за правоъгълния ΔMBC и намерете МР.
2. Намерете лицето на ΔMBC.
3. ΔABC – равнобедрен и СМ – медиана, височина следователно S_ΔABC = 2S_ΔMBC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и СМ – медиана СМ е и височина.
- Намираме лицето на ΔMBC:
  - ΔМВС – правоъгълен и МР – височина MP² = 9.16, т.е. MP = 12.
  - S_ΔMBC = = 150.
- CM – медиана S_ΔABC = 2S_ΔMBC = 2.150 = 300.
- Верен отговор В).

В ΔABC AC = 12 cm, BC = 8 cm и ACB = 30°. Ако CL е ъглополовяща на ACB, то лицето на ΔACL е:
- А)9, 6 cm²
- Б)16 cm²
- В)14,4 cm²
- Г)18 cm²
- Д)12,8 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. С формула (2) намерете лицето на ΔABC.
2. Използвайте свойство на ъглополовящата CL, за да определите каква част е AL от AB.
3. Използвайте формула (1), за да намерите връзка между лицата на ΔABC и ΔALC.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Даден е ΔABC със страни AC = 2, BC = и лице S_ΔABC = 1. Центърът O на описаната около триъгълника окръжност:
- А)винаги е външна точка за ΔABC
- Б)винаги е вътрешна точка за ΔABC
- В)винаги лежи на AB
- Г)може да е външна точка за ΔABC, може да е и вътрешна точка за ΔABC
- Д)винаги лежи на АС
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формула за лице определете ъгъл ACB.
2. Знаем, че в зависимост от вида на триъгълника центърът на описаната около него окръжност (т. О) е на различно место.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (2):
  S_ΔABC = .AC.BC.sin ACB 1 = .2. sin ACB sin ACB = .
- Решенията на това тригонометрично уравнение са: ACB = 45° или ACB = 135°.
- Т.е. триъгълникът е или остроъгълен или тъпоъгълен и не може да определим точната позиция на т.О.
- Верен отговор Г).

Равнобедрен триъгълник с ъгъл 30° при основата има лице . Да се намери радиусът на описаната около триъгълника окръжност.
- А)
- Б)3
- В)1
- Г)
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ъглите та триъгълника.
2. От формули за лице на триъгълник намерете страните на триъгълника и радиуса на описаната окръжност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека AC = BC = a, AB = c, ABC = BAC = α, ACB = γ. Прилагаме теорема за сбор на ъгли в триъгълник:
  2α + γ = 180° 2.30° + γ = 180° γ = 120°.
- От формула (2) за лице на триъгълник намираме страните:
  - S_ΔABC = .a.a.sin γ = a².sin 120° = .a². a² = 4, т.е. a = 2.
  - S_ΔABC = .a.c.sin α = .2.c.sin 30° = c. c = 2.
- От формула (4) за лице на триъгълник намираме R:
  S_ΔABC = R = 2.
- Верен отговор Д).

Основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са съответно 12 cm и 10 cm. Радиусът на вписаната му окръжност е равен на:
- А)1,5 cm
- Б)3 cm
- В)5 cm
- Г)8 cm
- Д)10,5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули (5) и (4) за лице на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека AC = BC = a = 10 cm, AB = c = 12 cm.
- Намираме лицето на триъгълника по Хероновата формула:
  - p = = 16 cm.
  - S = = 48 cm².
- Използваме формула (4) за лице на триъгълник:
  S = p.r 48 = 16.r r = 3 cm.
- Верен отговор Б).

Даден е ΔABC, за който AC = 5, BC = 12 и S_ΔABC = 15. Дължина на страната AB може да бъде числото:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)нито едно от посочените
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формула за лице на триъгълник намерете ъгъл АСВ.
2. От косинусова теорема намерете страната АВ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме ACB = γ като използваме формула за лице на триъгълник: S_ΔABC = .a.b.sin γ 15 = .5..12.sin γ sin γ = , т.е. γ₁ = 30° или γ₂ = 150°.
- Прилагаме Косинусова теорема за двата случая на γ:
  - При γ₁ = 30° имаме AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cos γ₁ c² = 75 + 144 – 2.5..12. = 39 c = , но такава стойност на страната c = AB в отговорите няма, т.е. c = не е търсеното решение.
  - При γ₂ = 150° имаме AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cos γ₂ c² = 75 + 144 – 2.5..12. = 399 c = . Това е отговор В).
- Верен отговор В).

На чертежа е даден равнобедреният ΔABC, за който основата AB =16 cm и S_ΔABC = 48 cm². Ако точката D е средата на AB и DT AC (T AC), то дължината на AT е:
- А)3,6 cm
- Б)4,8 cm
- В)6,4 cm
- Г)8 cm
- Д)8 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула (1), за да намерите височината CD на ΔABC.
2. В правоъгълният ΔADC намерете хипотенузата АС и височината DT.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и CD – медиана CD – височина, т.е. AD = DB = 8 cm, ADC = 90°.
- От формула за лице на триъгълник намираме тази височина:
  S_ΔABC = AB.CD 48 = .16.CD CD = 6 cm.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔADC:
  AC² = AD² + DC² = 8² + 6² = 100 AC = 10 cm.
- Прилагаме формула (7) за ΔADC:
  AC.DT = AD.CD 10.DT = 8.6 DT = 4,8 cm.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔATD:
  AD² = AT² + DT² 8² = AT² + 4,8² AT² = 40,96 AT = 6,4 cm.
- Верен отговор В).

Страните на триъгълник са 2 cm, 3 cm и 4 cm, а R и r са съответно радиусите на описаната и вписаната в триъгълника окръжност. Построен е правоъгълен ΔMNP с катети MN = R и MP = r. Лицето на ΔMNP е равно на:
- А) cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г) cm²
- Д) cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формулите за лице на триъгълник, за да намерите R и r.
2. Използвайте формула за лице на правоъгълен триъгълник.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Даден е равнобедрен триъгълник, на който основата, бедрото и височината към основата, взети в този ред, образуват геометрична прогресия. Ако лицето на триъгълника е 18 cm², то бедрото му е с дължина:
- А) cm
- Б)12 cm
- В)3 cm
- Г)6 cm
- Д)3 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (1) за лице на триъгълник и Свойство 1 на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека основата, бедрото и височината към основата да отбележим съответно с c, a и h. От формула (1) за лице на триъгълник получаваме:
  S = c.h = 36.
- Геометричната прогресия има вида: c, a, h.
- От Свойство 1 получаваме:
  a² = c.h = 36 a = 6 cm.
- Верен отговор Г).

Даден е равностранен триъгълник със страна a = . През точка M, лежаща на страната AB, успоредно на страните AC и BC, са прекарани прави, пресичащи тези страни съответно в точки K и L. Ако лицето на ΔKLM е cm², то дължината на отсечката KL е:
- А) cm
- Б) cm
- В) cm
- Г) cm
- Д) cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ъгъл KML.
2. Намерете КМ и ML.
3. От косинусова теорема за ΔKML намерете търсената страна KL.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

От точка А на окръжност са прекарани две хорди в окръжността с дължини 9 и 17. Ако разстоянието между средите на хордите е равно на 5, радиусът на окръжността е равен на:
- А)10
- Б)
- В)9
- Г)
- Д)11
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че MN е средна отсечка в ΔABC, за да намерите ВС.
2. Намерете радиуса на описаната окръжност като използвате формули (5) и (4) за лице на триъгълник.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- т. М и т. N са среди на страните АВ и АС в ΔABC MN – средна отсечка в ΔABC, т.е. BC = 2MN = 2.5 = 10.
- Намираме радиуса R на описаната около ΔABC окръжност:
- Верен отговор Г).

В ΔABC са дадени BC = 44, лицето S = 264 и радиусът на вписаната окръжност r = . Точка P е допирната точка на окръжността със страната AB. Разстоянието AP е равно на:
- А)4
- Б)5
- В)7
- Г)6
- Д)3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете полупериметъра на триъгълника като използвате Формула (4) от лице на триъгълник.
2. Използвайте това, че АВ е допирателна до окръжността и от Формула (5) намерете отсечката АР.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Формула (4) за лице на триъгълник намираме полупериметъра:
  S = p.r 264 = p. p = 48.
- От Формула (5) намираме търсената отсечка:
  AP = p – BC = 48 – 44 = 4.
- Верен отговор А).

Разстоянията от центъра на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност до върховете на острите му ъгли са и . Дължината на радиуса на тази окръжност е:
- А)
- Б)
- В)2
- Г)
- Д)1
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От основна Зад.2 намерете ъгъл AOB.
2. От косинусова теорема за ΔABO намерете АВ.
3. Като използвате формули (1) и (2) разпишете лицето на ΔABC по два начина и намерете r.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- АО и ВО са ъглополовящи и от основна Зад.2 получаваме:
  AOC = 90° + ACB = 90° + 45° = 135°.
- От Косинусова теорема за ΔABO намираме АВ:
  AB² = AO² + BO² – 2AO.BO.cos AOB = AB = 5.
- Намираме лицето на ΔABO по два начина:
- Верен отговор Д).

Страните на ΔABC са с дължини AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Медианите AN,BL и CP се пресичат в точка M. Да се намери лицето на ΔAPM.
- А)56
- Б)112
- В)48
- Г)52
- Д)104
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Хероновата формула намерете лицето на ΔABC.
2. За да намерите търсеното лице използвайте Основна Зад.3
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме лицето на ΔABC:
  - p_ΔABC = = 42.
  - Лицето на ΔABC намираме от Хероновата формула:
- От Основна Зад.3 следва, че:
  S_ABC = 6S_ΔAPM 336 = 6.S_ΔAPM S_ΔAPM = 56.
- Верен отговор А).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура