Модул 1: Момент на импулса

Самоподготовка по Физика
за кандидат-студенти и матура

Теория

I. Абсолютно (идеално) твърдо тяло.

Определение – Тяло, което не мени формата и размерите си (не се деформира) под действие на външни сили.

Бележка:

Материалните точки са най-простите механични обекти, защото пренебрегваме формата и размерите на телата и разглеждаме само тяхната маса.

От всички видове по-сложни обекти, най-прост е абсолютно твърдото тяло или просто твърдо тяло.

II. Видове движения на твърдо (абсолютно твърдо) тяло:

Движението на твърдо тяло може да се разглежда като комбинация (суперпозиция) от две прости движения:

Постъпателно движение – Тялото се движи така, че всяка права линия, съединяваща кои да са две точки от него, се премества успоредно сама на себе си. При постъпателното движение твърдото тяло НЕ променя ориентацията си в пространството.
Въртеливо движение около постоянна ос – Всички точки на тялото описват окръжности с центрове върху тази ос. Тези окръжности режат в равнина, перпендикулярна на оста.

Бележка:

Ние ще разглеждаме само най-простия случай, когато тялото се върти около неподвижна ос или около ос, която се движи заедно с тялото, без да променя направлението си в пространството.

III. Център на масите.

Казахме, че когато твърдото тяло се движи постъпателно, всички негови точки се движат по един и същи начин, т.е. за равни интервали от време изминават едни и същи пътища. Ето защо, когато тялото се движи постъпателно, може да го заменим с една материална точка, която се нарича център на масите. Обикновено центърът на масите на еднородни симетрични тела съвпада с техния геометричен център.

IV. Въртеливо движение на абсолютно твърдо тяло (Фиг. 1):

Ъглова скорост ω на абсолютно твърдо тяло – Нека мислено твърдото тяло се раздели на много голям брой материални точки. Когато твърдото тяло се върти около неподвижна ос, всички тези материални точки се движат по окръжности с една и съща ъглова скорост ω, която се изчислява от формули (8) и (9):
(1): .

Затова ъгловата скорост ω на отделните точки от тялото характеризира движението на цялото тяло и се нарича ъглова скорост на твърдото тяло. Тя се изчислява от формула (1).
Бележки:
1. Обърнете внимание, че линейните скорости v = ωr (получени от формула 9) на отделните точки от твърдото тяло са различни. Колкото е по-голямо разстоянието r на точката от оста на въртене, толкова по-голяма е нейната скорост v. Например: на Фиг. 1 най-голяма скорост v ще имат точките от периферията на тялото (точки А и В), а тези които лежат на оста на въртене (точка О), не се движат.
2. В обяснението на формула (1) казахме, че всички точки от твърдото тяло имат едни и същи ъглови скорости. Ако ъгловите скорости на отделните елементи на твърдото тяло бяха различни, то щеше да се деформира, но това противоречи на определението за твърдо тяло.
Ъглово ускорение ε на абсолютно твърдо тяло – Когато твърдото тяло се върти около неподвижна ос, всички точки от него имат едно и също ъглово ускорение ε. Това ускорение се нарича ъглово ускорение на твърдото тяло и от формула (11) определяме, че ъглово ускорение на твърдото тяло ε се намира по формулата:
(2): .

От формула (12) получаваме връзката между тангенциалното ускорение a_τ и ъгловото ускорение ε на абсолютно твърдо тяло:

(3): = εr.

V. Инерчен момент:

Определение – В бележката след формула (9) казахме, че при въртеливо движение ъгловата скорост е аналог на линейната скорост. При въртеливо движение инерчният момент е аналог на масата m на тяло (както знаем масата е мярка за инертността на телата). Подобно на масата инерчният момент е мярка за инертността на телата при въртеливите движения, т.е. инерчният момент показва колко дълго тялото може да запази състоянието си на равномерно въртене.
Формула за намиране на инерчен момент – Ако материална точка с маса m се върти около неподвижна ос на разстояние r от центъра на оста, то инерчният момент I се намира по формулата:
(4): I = mr².

Бележка:
От горната формула се вижда, че инерчният момент I зависи не само от масата на тялото, но и от това как тази маса е разпределена спрямо оста на въртене, т.е. колкото по-далече от оста на въртене (по-голямо r) се намира останалата част от масата на твърдото тяло, толкова по-голям е инерчният му момент.
Тяло с по-голям инерчен момент (с по-голяма маса) по-трудно може да бъде спряно или завъртяно, т.е. да се промени неговата ъглова скорост.
Мерна единица за инерчен момент
– Мерната единица за инерчен момент се намира от формула (4) и тя е [kg.m²] (килограм по метър на квадрат).

Прилики между маса и инерчен момент – Една от приликите между маса и инерчен момент е, че инерчният момент на твърдо тяло (както и масата му) е сума от инерчните моменти на всички елементи, от които е създадено тялото.
Някои разлики между маса и инерчен момент:
- Инерчният момент зависи от начина, по който отделните елементи, съставящи тялото, са разположени около дадена ос.
  Например инерчният момент на еднородна пръчка около ос, перпендикулярна на пръчката и минаваща през средата ѝ (Фиг. 2 - а) е (I_a = ml²) по-малък от инерчния момент (I_b = ml²) спрямо ос, минаваща в края на пръчката (Фиг. 2 - б).
- Инерчният момент зависи от формата на тялото – Ако тялото има постоянна маса и постоянна ос на въртене, но си променя формата, то инерчният му момент също ще се промени.

VI. Кинетична енергия на въртеливо движение.

Ако твърдо тяло има инерчен момент I и ъглова скорост ω, то кинетичната му енергия E_k се намира по формулата:

(5): E_k = Iω².

VII. Въртящ момент:

Предварителни бележки – Способността на една сила да предизвика въртене на твърдо тяло около неподвижна ос, се измерва с величината въртящ момент (или момент на сила) и се бележи с M.

Основни величини:
- Приложна точка – точката, в която се прилага силата. На Фиг. 3 това е т. А, а на Фиг. 4 – т. В.
- Опорна точка – точката около която се върти тялото (точка от оста на въртене). На Фиг. 3 и Фиг. 4 това е т. О.
- Линия на действие на силата – Правата, която минава през приложната точка на силата и е успоредна на вектора . На Фиг. 3 линията на действие на силата съвпада с вектора (защото силата е перпендикулярна на тялото OA), а на Фиг. 4 линията на действие на силата е отсечката PB.
- Рамо на силата – Разстоянието d от оста на въртене до линията на действие на силата (перпендикулярът, спуснат от т. О към линията на действие на силата). На Фиг. 3 d = OA, а на Фиг. 4 d = OP.
Определение – Големината на въртящия момент M на сила спрямо дадена ос е равна на произведението на силата F и нейното рамо d:
(6): M = Fd.

Ако силата сключва ъгъл различен от 90° с правата свързваща приложната точка и опорната точка (Фиг. 4), то d = rsin α, където α е по-малкият ъгъл между правата, минаваща през опорната и приложната точки, и линията на действие на силата , тогава горната формула има вида:

(7): M = Frsin α.
Мерна единица за въртящ момент – От определението (формула 6) следва, че мерната единица за въртящ момент е [N.m] (нютон по метър).
Връзка между въртящ момент M и ъглова скорост ω:
(8): M = I , където I е инерчния момент.
Връзка между въртящ момент M и ъглово ускорение ε:
(9): M = Iε, където I е инерчния момент.

Бележка:
Формула (9) е в сила както за материална точка, така и за всяко твърдо тяло, което се върти около неподвижна ос и затова може да смятаме, че формула (9) изразява втория принцип на механиката, приложен за въртенето на твърдо тяло около неподвижна ос.
Като съпоставим втория принцип на механиката записан за въртеливо движение (M = Iε) и за постъпателно движение (F = ma), отново се убеждаваме, че въртящият момент M при въртеливо движение е аналог на силата F при постъпателно движение, инерчният момент I е аналог на масата m, ъгловото ускорение ε е аналог на линейното ускорение a.
Положителен и отрицателен момент на сила (въртящ момент) спрямо ос – В общ вид въртящият момент е векторна величина, но ние разглеждаме само проекцията на този вектор върху оста на въртене и затова го наричаме въртящ момент M спрямо ос и затова въртящият момент ще го разглеждаме като скаларна величина, т.е. ще има само големина, която се намира по формула 6).
Положителен въртящ момент M спрямо ос (M > 0) ще имат тези сили, които въртят тялото в посока обратна на посоката на часовниковата стрелка, а силите, които въртят тялото по посока на часовниковата стрелка, ще имат отрицателен въртящ момент M спрямо ос (M < 0).
Сумарен въртящ момент – Виж формула (5) и следствия от условието за моментите.

VIII. Момент на импулса:

Момент на импулса на материална точка – Нека да имаме материална точка с маса m, която се движи със скорост v по окръжност с радиус r около ос, перпендикулярна на окръжността и преминаваща през нейния център. Произведението от импулса на материалната точка (p = mv) и радиуса на окръжността r, се нарича момент на импулс L и се задава с формулата:
(10): L = pr = mvr.
Момент на импулс на твърдо тяло – Ако твърдото тяло се върти около неподвижна ос с ъглова скорост ω и има инерчен момент I, то моментът на импулса му L се намира по формулата:
(11): L = Iω.
Положителен и отрицателен момент на импулс – В общ вид моментът на импулса е векторна величина, но ние разглеждаме само проекцията на този вектор върху оста на въртене (по подобен начин разглеждахме въртящия момент спрямо ос) и затова моментът на импулса ще го разглеждаме като скаларна величина, т.е. ще има само големина. Големината на L се определя от формула (11), а L се приема за положителен (L > 0), ако тялото се върти в посока, която е обратна на часовниковата стрелка. Когато движението е по посока на часовниковата стрелка, моментът на импулса е отрицателен (L < 0).
Връзка между момента на импулса и въртящия момент (уравнение на моментите) – Знаем, че вторият принцип на механиката може да се запише по два начина: чрез ускорението F = ma и чрез импулса F = (от формула II.15 в тема „Динамика“). При въртеливо движение формула (9) е аналог на първата формула. Може да се получи връзка между въртящия момент и изменението на момента на импулса на твърдо тяло, което се върти около неподвижна ос.
Ако за много малък интервал от време Δt ъгловата скорост на тялото нараства с Δω, то от формула (11) изменението на импулса е ΔL = IΔω и ако използваме подходящи формули (няма да правим този извод) стигаме до равенството:

(12): M = ,

т.е. общият въртящ момент на силите (въртящият момент M), приложени на тялото е равен на изменението на момента на импулса на твърдо тяло, което се върти около неподвижна ос.

Бележка:
Формула (12) изразява втория принцип на механиката при въртеливото движение и е аналог на втори принцип на механиката, който е изразен чрез импулса (F = ).
Закон за запазване момента на импулса – Ако моментът на външните сили е нула (имаме затворена система), то моментът на импулса НЕ се променя с времето, т.е.:
(13): ΔL = 0 (L = comst).

Бележка:
В механиката имаме три основни закона за запазване: закон за запазване на енергията (формула 11 от тема „Динамика“), закон за запазване на импулса (формула 21 от тема „Динамика“) и закон за запазване на момента на импулса (формула 13).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура