Лого за уроци по математика
физика-атом

Самоподготовка по Физика
за кандидат-студенти и матура


Профилирана подготовка – Модул 4, Тема 8: Специална теория на относителност

Преговор: Ефект на Доплер (ООП)

Съдържание на темата:

  1. Трансформации на Лоренц
    Вижте подточките
  2. Постулати на специална теория на относителност (СТО). Синхронизиране на часовниците
    Вижте подточките
  3. Връзка между пространство и време
    Вижте подточките
  4. Закон на Айнщайн за събиране на скорости
  5. Други ефекти на СТО
    Вижте подточките
  6. Ефект на Доплер
    Вижте подточките
  7. Маса, енергия и импулс в СТО
    Вижте подточките
  8. Частици с нулева маса. Динамика в СТО
    Вижте подточките
  9. Релативистки фактор

Тестови задачи от изпити:

Софийски университетМатура


Теория

I. Трансформации на Лоренц:

  • Противоречие между трансформациите на Галилей и електродинамичните процеси – Ако трансформациите на Галилей са в сила за светлината (която е електродинамичен процес) следва, че скоростта на светлината в различните отправни системи, които се движат праволинейно и равномерно спрямо избрана инерциална система, ще бъде различна. Нещо повече, в такива системи скоростта на светлината в различни посоки е различна.

    Например: Ако имаме светлинен източник (с него е свързана системата K'), движещ се спрямо неподвижна система K със скорост v, то от закона за събиране на скорости на Галилей (формула 3) следва, че наблюдател в K' ще измери скорост c' = c – v, а в обратна посока – измерва скорост c' = c + v.

    Но опитите показват, че скоростта на светлината е една и съща във всички посоки и НЕ зависи от това дали източникът се движи или не. Това показва, че трансформациите на Галилей и законът за събиране на скорости на Галилей НЕ могат да се прилагат за скоростта на светлината.

  • Преобразования на Лоренц – Нека в системата K едно събитие става в момент t = 0 с координати (x, y, z). В системата K', която се движи спрямо K праволинейно и равномерно със скорост v, същото събитие ще става в момент t' = 0 с координати (x', y', z'). Осите на системите K и K' са избрани както на Фиг. 1. Ако времената са различни, т.е. t ≠ t', то за тези координати имаме формулите:

    Тези формули се наричат трансформации (преобразования) на Лоренц. Получени са от Лоренц, но правилното им тълкуване и извеждане е направено от Айнщайн в специалната теория на относителността (СТО).

II. Постулати на специална теория на относителност (СТО). Синхронизиране на часовниците:

  • Постулати на специалната теория на относителност (СТО) – От горе казаното следва, че законът за събиране на скорости на Галилей НЕ може да се приложи за светлината. За да обясни това разминаване Айнщайн въвежда два постулата (принципа), които стоят в основата на СТО:
    1. Принцип на Айнщайн за относителността – Всички физични закони са еднакви във всички инерциални отправни система (с никакви физични опити НЕ може да се установи равномерното праволинейно движение на системата, в която те се провеждат).
      Бележка:
      Айнщайн разширява принципа на относителност на Галилей с твърдението, че НЕ само законите на механиката, но и всички физични закони (законите в оптиката, електротехниката, магнитните полета и др.) са еднакви във всички инерциални системи. Това означава, че с никакви физични опити НЕ можа да се установи една система дали е в покой или се движи праволинейно равномерно, т.е. всички инерциални отправни системи са напълно равностойни и НЕ съществува признак, по който да се определи една от тях като „абсолютна“.
    2. Принцип за постоянството на скоростта на светлината във вакуум – Скоростта на светлината във вакуум има една и съща стойност (c ≈ 3.108 m/s2) във всички инерциални отправни системи, независимо с каква скорост се движи източникът или приемникът на светлина.
  • Правило на Айнщайн за синхронизиране на часовниците (едновременност на събитията) – Според класическата механика времето тече по един и същи начин, както във всички точки на Земята, така и във всяка друга точка от Вселената, т.е. времето е абсолютно. Едно от важните следствия от СТО е, че времето тече по различен начин в различните отправни системи (това следва от преобразованията на Лоренц. От формула (1) се вижда, че t' и t НЕ са равни). Затова въпросът как да се измерва времето в дадена инерциална отправна система и как да установим дали две събития, станали на различни места, са едновременни, е много важен в СТО. Айнщайн предлага за измерване на времето вместо само един часовник да се използва мрежа от еднакви часовници. За да отчитат еднакво време, тези часовници трябва да се синхронизират.

    Синхронизацията става с изпращането на светлинни сигнали. Например на Фиг. 1 в точките А и В поставяме еднакви часовници, които са неподвижни спрямо инерциална отправна система K. В момента tA от часовник А към часовник В изпращаме светлинен сигнал, който се отразява от обикновено огледало, поставено във В и се връща в часовник А за време tA'. Времената tA и tA' се отчитат по часовника в А. (очевидно е, че tA < tA'). Айнщайн прави определението, че часовникът в В е синхронизиран с този в А, ако показва време tB, което се намира от формулата:

    (2): tB – tA = tA' – tB

  • Понятие за едновременни събития – По такъв начин могат да се синхронизират всички часовници, които са неподвижни спрямо инерциална отправна система K. Тогава две пространствено разделени събития (намират се в различни части от пространството) са едновременни спрямо инерциална отправна система K, ако часовниците (които са еднакви и неподвижни спрямо K), намиращи се на местата, където са станали събитията, показват едно и също време.

III. Връзка между пространство и време:

  • Връзка между пространствените и времевите интервали между две събития – В класическата механика пространството и времето се разглеждат като независими (те са абсолютни и могат да съществуват независимо едно от друго). Айнщайн отхвърля идеята за абсолютност на пространството и времето и основавайки се на двата принципа на СТО и трансформациите на Лоренц, получава уравнения за връзката между пространствените и времевите интервали между две събития. Ако са известни пространственият интервал Δx' и времевият интервал Δt' между две събития в движеща се с постоянна скорост v отправна система K', от трансформациите на Лоренц (формула 1) могат да се определят съответните интервали Δx и Δt в неподвижна отправна система K, използвайки формулите:

    (3): Лоренцови трансформации от K' в K:

    От Първият принцип на СТО (принципът на относителността), наблюдател от движещата се система K' може да смята себе си за неподвижен, защото за него системата K се движи със скорост „– v“ (знакът минус показва, че скоростта на системата K е насочена в противоположна посока на оста x') и съответните уравнения се получават от формула (3):

    (4): Лоренцови трансформации от K в K':

    Бележка:
    От формули (3) и (4) следва, че времето НЕ е абсолютно, а тече по различен начин в различните отправни система, защото Δt ≠ Δt'.
  • Относителност на едновременността – Нека да имаме две събития, които се случват едновременно в отправна система. Например двама човека, които се намират на брега на река, ритат едновременно топка. Двете събития са едновременни, защото t1 = t2 = 0, но координатите им са различни, защото x1 ≠ x2. Имаме кораб (инерциална система K'), който се движи равномерно праволинейно спрямо брега и друг човек, който наблюдава тези две събития. От Лоренцовите трансформации (формула 4) следва, че щом x1 ≠ x2, то t1' ≠ t2'. Така доказахме, че две събития, които са едновременни в една отправна система, НЕ са едновременни в друга отправна система, т.е. понятието едновременност е относително.
  • Обединение на пространство и време – От формули (3) и (4) още следва, че при преминаване от една отправна система в друга, която се движи праволинейно равномерно спрямо първата, времето също се трансформира, т.е. пространството и времето се разглеждат обединени. Това обединено четиримерно пространство-време, се нарича пространство на Минковски. В това към трите пространствени оси се добавя четвърта ос на времето и всяко събитие има четири координати: (x, y, z, t).

IV. Закон на Айнщайн за събиране на скорости:

Нека да имаме тяло P, движещо се със скорост u по оста x на инерциална система K, както е показано на Фиг. 2. Друга инерциална отправна система K' се движи със скорост v по оста x. Скоростта u' на тялото P спрямо K' се намира от формулата:

(5):

Ако е дадена скоростта u' на тялото P спрямо K', а се търси скоростта u спрямо K, то се използва формулата:

(6):

Формулите (5) и (6) ни дават закона за събиране на скорости в СТО. При много малки скорости (u и u' са много по-малки от скоростта на светлината c), изразът в знаменателя на формула (5) може да се пренебрегне и така законът за събиране на скорости от СТО преминава в класическия закон на Галилей u' = u – v (формула 2).

С формула (6) може да се докаже II постулат на СТО (постоянството на скоростта на светлината във вакуум). И наистина, ако във формула (6) положим, че u' = c, то получаваме:

(7):

т.е. скоростта на светлината е еднаква в двете инерциални системи, както изисква принципът за постоянство на скоростта на светлината.

Бележка:
Не забравяте, че формули (5) и (6) са изведени за еднопосочни скорости u' и v. Ако скоростите u' и v са една срещу друга, т.е. с противоположни посоки, то във формули (5) и (6) скоростта „v“ се замества с „– v„.

V. Други ефекти на СТО:

  • Скъсяване размерите на движещи се обекти (Лоренцово скъсяване) – Разглеждаме две отправни системи (Фиг. 3): неподвижната система K и равномерно праволинейно движещата се система K', която се движи спрямо K с постоянна скорост v. Поставяме неподвижно тяло в инерциалната система K'. В собствената си система това тяло ще има координати x1' и x2' (очевидно е, че t1' ≠ t2', защото двете събития – отчитането на координатите, НЕ може да стане едновременно, но тялото е в покой), т.е. ще има дължина (Фиг. 3):

    L' = Δx' = x2' – x1'.

    Дължината L' на тяло в собствената си координатна система, се нарича собствена дължина.

    Координатите на тялото спрямо неподвижната отправна система K са x1 и x2 (определянето на координатите x1 и x2 става в един и същи момент и със синхронизирани часовници, т.е. Δt = 0). Дължината на тяло, намиращо се в K', но е измерена от системата K (Фиг. 3), е:

    L = Δx = x2 – x1.

    За да намерим връзката между L' и L, ще използваме трансформациите на Лоренц (формули 4), като положим, че Δx' = L', Δx = L, Δt = 0 и получаваме:

    (8):

    От формула (8) следва, че линейният размер (дължината) L на едно тяло спрямо отправна система, в която се движи се скъсява по направление на движението (L < L'), защото коренът е между 0 и 1, т.е. дължината L' на едно тяло е най-голяма в системата, в която то е в покой. Във всяка друга система, която се движи спрямо първата праволинейно и равномерно, дължината L на тялото е по малка. Този ефект се нарича лоренцово скъсяване на дължината.

    Бележки:
    1. Трябва да отбележим, че лоренцовото скъсяване на дължината на тялото НЕ се дължи на механични деформации, т.е. НЕ е свързано с възникването на сили, които свиват тялото в направление на движението (както е смятал Лоренц), а просто понятието „разстояние“ е различно в различните отправни системи.
    2. Тялото променя само надлъжните си размери (размерите, по посока на движението). Напречните размери на тялото, които са перпендикулярни на посоката на движение, НЕ се променят.
  • Забавяне на времето – Нека в движещата се инерциална отправна система K' разгледаме две събития, които са станали в една и съща точка от K', но НЕ едновременно. Тогава Δx' = 0 и Δt' ≠ 0. За наблюдател, намиращ се в неподвижна система K, тези събития са станали в различни точки. Във формула (2) заместваме с Δx' = 0, Δt' ≠ 0 и намираме интервалът от време Δt между тези две събития, отчетен спрямо неподвижната система K:

    (9):

    Обърнете внимание, че двамата наблюдателя измерват различен интервал от време. Всъщност имаме Δt' < Δt, защото коренът в знаменател е между 0 и 1. Това означава, че часовникът в подвижната инерциална система K' отмерва по-кратко време Δt', спрямо часовникът в неподвижната система K. С други думи, часовник в движеща се система се забавя.

    Времето Δt', което движещият се часовник измерва в собствената си отправна система, се нарича собствено време.

    Бележка:
    От формула (9) следва, че колкото по-бързо се движи тялото, толкова по-бавно тече собственото му време в сравнение с времето, измерено от неподвижен наблюдател. Забавя се не само времето, но и всички физични, химични и биологични процеси.
  • Относителна скорост на две частици, движещи се една срещу друга – Нека да имаме две частици, които да се движат една срещу друга със скорости v1 и v2. Скоростите v1 и v2 са измерени спрямо неподвижна инерциална система K (например земната повърхност). Относителната скорост vотн на двете частици е равна на модула на скоростта u на едната частица, измерена в оправната система, в която другата частица е в покой, т.е. относителната скорост vотн на един обект е скоростта му, от гледна точка на другия обект.

    Ако частиците се движат със скорости много по-малки от скоростта на светлината (v1, v2 << c), т.е. важи механиката на Нютон и от законът за събиране на скорости на Галилей (формула 4) получаваме:

    (10): vотн = |u| = v1 + v2.

    Ако частиците се движат със скорости близки до скоростта на светлината (v1, v2 ≈ c), т.е. важи СТО, тогава от законът за събиране на скорости на Айнщайн (формула 6) получаваме:

    (11):

VI. Ефект на Доплер:

  • Ефект на Доплер за звукови вълни – От задължителната подготовка по физика (тема „Атомна и ядрена физика. Астрономия“) знаем, че дължината на вълната намалява, когато източникът се приближава към наблюдател, и се увеличава, когато източникът се отдалечава от наблюдател (Фиг. 14 от тема „Атомна и ядрена физика. Астрономия“). Нарастването на дължината на вълната на отдалечаващ се източник се нарича червено отместване.
  • Ефект на Доплер за светлинни вълни – Ефектът на Доплер се наблюдава и със светлина. Нека в неподвижната отправна система K поставим приемник П на светлина, а в подвижната инерциална система K' да поставим източник И на светлина. Очевидно е, че източникът И се движи с постоянна скорост (тази скорост е насочена по оста x) спрямо приемника П. Източникът излъчва светлинни импулси с честота ν' (да не забравяме, че честотата на вълната зависи от честотата на източника) и през интервал от време Δt' (собственото време Δt' и собствената честота ν' са измерени в отправната система K', спрямо която източникът е в покой). Нека да означим с ν – честота (или T – период), измерена в отправната система K. Разглеждаме два случая:
    1. Източникът И се отдалечава от приемника П по оста x – Като използваме трансформациите на Лоренц (формула 3 или 4) и формулата за забавяне на времето (формула 9) може да запишем, че честотата ν на приемане на периодичните сигнали е свързана със собствената честота ν' на източника с уравнението:

      (12): .

    2. Източникът И се приближава към приемника П по оста x – Когато източникът се приближава към приемника, в горното уравнение трябва скоростта v да се замени с „– v“, защото скоростта на източника е с променена посока:

      (13): .

    Бележка:
    Формули (12) и (13) описват изменението на честотата на електромагнитните вълни при преминаването от една инерциална отправна система в друга (релативиски ефект на Доплер).
  • Изводи от ефекта на Доплер – От уравнение (12) и (13) може да се направят изводите:
    • Червено отместване – Когато източникът И и приемникът П се отдалечават един от друг (ν < ν'), приемникът П регистрира по-ниска честота. Този ефект се нарича червено отместване, защото и приетите светлинни сигнали са изместени към дълговълновата (червената) част от спектъра на светлината.
    • Виолетово отместване – Когато източникът И и приемникът П се приближават един към друг (ν > ν'), приемникът П регистрира по-висока честота. Този ефект се нарича виолетово отместване, защото приетите светлинни сигнали са изместени към високочестотната (късовълновата) част от спектъра на видимата светлина, където се намират виолетовите лъчи.
  • Разширяваща се Вселена – При обектите във Вселената се наблюдава червено отместване. Това показва, че космическите обекти се отдалечават от Земята, т.е. галактиките се разбягват една от друга. Може да се пресметне скоростта, с която една галактика се отдалечава от нас.

    Ако за даден космически обект отбележим: λ0 – излъчената дължина на вълната, λ – регистрираната дължина на вълната, c – скоростта на светлината във вакуум, то скоростта v (измерена в km/s), с която галактиката се отдалечава от нас, се намира по формулата:

    (14):

VII. Маса, енергия и импулс в СТО:

  • Релативистка маса и маса на покой – Нека с m0 да отбележим масата на неподвижно тяло (тяло в покой), която ще измери наблюдател в собствената си отправна система K' (тази маса се нарича маса в покой), а с m – масата измерена във всяка друга отправна система K (да не забравяме, че системата K' се движи спрямо системата K с постоянна скорост v). Връзката между тези две маси се задава с формулата:

    (15):

    Бележка:
    От формула (15) следва, че колкото скоростта v на тялото е по-близка до скоростта на светлината c, толкова по-голяма става маса му m и ако тялото може да се движи със скоростта на светлината, масата му ще се увеличи до безкрайност.

    Увеличаването на масата НЕ означава, че се увеличава количеството вещество, изграждащо тялото или че реално се увеличават неговите размери. Това означава само, че нараства инертността на тялото, т.е. за да се измени скоростта на тялото ще е необходима по-голяма сила, отколкото ако тялото е в покой с маса m0. Масата на покой е винаги най-малка, т.е. m0 ≤ m.

    Масата на покой m0 на едно тяло е постоянна величина. Независимо каква скорост има едно тяло в произволна координатна система, в свързаната с него система, тялото е в покой и ще има ненулева маса.

    Бележка:
    Ние познаваме една частица, която има нулева маса на покой (такива частици се наричат безмасови частици или частици с нулева маса. Тези частици ще разгледаме по-късно) и това е фотонът (светлинните кванти). Затова фотоните задължително се движат със скоростта на светлината и тяхната скорост НЕ зависи от отправната система. Такъв извод може да направим за всички безмасови частици, т.е. скоростта на безмасовите обекти е равна на скоростта на светлината c, независимо дали я мерим от Земята, някоя друга планета или измерваме скоростта ѝ от много бързо движещ се към нас обект.
  • Релативистки импулс – Нека да имаме тяло с маса m и движещо се със скорост v, тогава импулсът му p се определя от формулата:

    (16):

    От формула (16) се вижда, че:

    • при движение с много малки скорости (спрямо скоростта на светлината) имаме 1 и релативисткият импулс p се изчислява с познатата от класическата механика формула за импулс на тяло p = mv.
    • При движение със светлинни скорости се наблюдава важен релативистки ефект: импулсът p на тялото бързо нараства, докато скоростта му v почти не се променя.
  • Енергия на покой Е0 – Казахме, че всяко тяло в покой има най-малка ненулева маса (масата на покой m0). Това означава, че всяко тяло с маса m има „запазена“ в себе си енергия, която е следствие единствено на неговата ненулева маса. Тази най-малка енергия Е0, която тялото притежава, се нарича енергия на покой и се изчислява по формулата:

    (17): E0 = m0c2.

  • Пълна релативистка енергия Е – Енергията Е на всяко тяло с ненулева маса е винаги по-голяма от нула (и очевидно е по-голяма от енергията на покой E0). Като се отчете формула (15) и формула (17) Айнщайн определя, че пълната релативистка енергия Е на тяло с маса m и движещо се със скорост v се намира от формулата:

    (18):

  • Релативистка кинетична енергия ЕK – Кинетичната енергия е работата, която трябва да извърши външна сила, за да се ускори тяло от покой до скорост v. По време на ускорението релативистка маса постепенно нараства, т.е. тя не е константа и пресмятанията ще са по-сложни. Айнщайн е направил тези математически преобразувания и извежда следната формулата за кинетичната енергия ЕK на тяло, движещо се с релативистична скорост v:

    (19):

    От формула (19) може да получим друга формула за пълна релативистка енергия и да кажем, че пълната релативистка енергия E е сума от кинетичната енергия EK и енергията на покой E0, т.е.:

    (20): E = EK + E0.

  • Закон за запазването на механичната енергия в СТО – Релативистка енергия на затворена система НЕ се изменя с течение на времето.
  • Връзка между маса и енергия – Неразривната връзка между маса и енергия се изразява със знаменитата формула на Айнщайн (формула 17):

    (21): E0 = m0c2.

    Бележка:
    Формула (21) ни показва, че масата и енергията са неразривно свързани, а в редките случаи, когато масата се превръща изцяло в енергия, с това уравнение може да пресметнем колко енергия ще получим. С това уравнение Айнщайн много елегантно обединява три коренно различни части на природата: енергия, скорост на светлината и маса.
  • Връзка между импулс и енергия в СТО – Като извършим някои математически преобразования с формули (16), (18) и (21), (например повдигаме на квадрат уравнения (16) и (18), за да изразим импулсът и енергията, след това умножаваме уравнение (16) с c2 и го извадим от уравнение (18), и след някои алгебрични преобразования) ще получим:

    (22): E2 – p2c2 = m02c4 = E02 = const,

    където E0 = m0c2 е енергията на покой (формула 21).

    От формула (22) следва, че ако движението на тялото се разглежда в различни инерциални отправни системи, то енергията E и импулсът p на тялото ще имат различни стойности, но стойността на величината E2 – p2c2 винаги е равна на квадрата на енергията на покой, т.е. тя НЕ зависи от инерциалната отправна система.

    Формула (22) може да се запише във вида:

    (23): E2 = p2c2 + m02c4.

    Тази формула ни дава връзката между маса, енергия и импулс. Както се вижда, връзката между масата, енергията и импулса НЕ зависи от скоростта v на движещото се тяло.

    Бележка:
    В миналото се смяташе, че на всяка форма на енергия (не само вътрешната), на който и да е физически обект съответства определена маса. Затова за всяко движещо се тяло се въвеждаше понятието релативистична маса, която умножена с коефициента c2 дава пълната енергия на обекта. Такъв подход НЕ е много точен, защото смята, че масата и енергията е едно и също. Съвременната наука смята, че масата на един обект е фундаментална негова характеристика и НЕ зависи от това дали обектът се движи, или е в покой. Затова казваме, че масата е релативистки инвариант (инвариант е величина, признак, която НЕ се променя при преобразувания). Тя НЕ се променя от координатната система, спрямо която ще описваме движенията и ще измерваме скоростите.

    Разглеждането на „масата като релативистки инвариант“ има много по-фундаментално значение, отколкото въвеждането на понятието „релативистична маса“. Масата като релативистки инвариант е скалар (т.е. изразява се с едно число) и е инвариантна величина, която не се променя, когато се сменя отправната система. Освен това е единственият скалар, който не само характеризира инертните свойства на тялото при ниски скорости, но също и чрез която тези свойства могат просто да бъдат записани за всяка скорост на тялото.

    Навсякъде, където говорим за маса (или маса на покой) ще разбираме масата като релативистки инвариант.

VIII. Частици с нулева маса. Динамика в СТО:

  • Частици с нулева маса – Досега разглеждахме тела, които имат ненулева маса. Това го правихме за удобство, защото в класическата механика обекти с нулева маса НЕ се разглеждат. Според принципите на Нютон, ако тяло има нулева маса, то под действие на много малка сила ще получи безкрайно ускорение. По същата причина в класическата механика енергията на тялото (потенциалната и кинетичната енергия) винаги се свързва с масата.

    В релативистката механика връзката между енергия, импулс и маса (формула 23) е валидна и за частици с нулева маса. Ако във формула (23) положим, че m0 = 0, то получаваме:

    (24): E = pc.

    За обекти с нулева маса може да направим изводите:

    • Ако един безмасов обект има импулс, то е достатъчно, за да има енергия – това следва от формула (24).
    • Скоростта на безмасовите обекти е равна на скоростта на светлината c – Това заключение НЕ зависи от отправната система, в която отчитаме съответната скорост, независимо дали я мерим на Земята, в космоса, от бързо движещ се към нас обект или сме в покой.
  • Динамика в СТО – Досега разглеждахме Специалната теория на относителността от кинетична гледна точка – без да отчитаме действащите сили. Най-общо казано действието на външна за движещия се обект сила води до промяна на импулса на обекта. Формулата за релативистки импулс (формула 16) ни позволява да използваме връзката между сила и промяната на импулса, която ни е позната от класическата механика (Втори принцип на механиката, записан чрез импулса):

    (25):

    Когато силата, действаща на много бързо движещи се обекти е перпендикулярна на скоростта на движение на обекта, то връзката между сила, маса и ускорение се дава с формулата:

    (26):

    Бележка:
    Когато силата е с произволно направление и действа върху много бързо движещи се обекти, то формула (26) НЕ може да се използва.

IX. Релативистки фактор:

В повечето формули от СТО има повтарящ се множител . Той се отбелязва с гръцката буква γ и се нарича релативистки фактор, т.е. релативисткият фактор е:

(27):

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

Матура

10 клас

7 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.

Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

Реклама


© Учебен център „СОЛЕМА”

Реклама