Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия
- Зад. №1:
- Намерете лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна пирамида, ако:
а) Основният ръб е равен на 4, а апотемата на пирамидата е .
б) Радиусът на описаната около основата ѝ окръжност е с дължина 4 cm, а височината на пирамидата е 3 cm.
в) Радиусът на вписаната в основата ѝ окръжност е с дължина 2 cm, а околният ръб на пирамидата е с дължина 5 cm.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи формули.
- Зад. №2:
- Околният ръб на правилна четириъгълна пирамида е , а апотемата ѝ е с 1 cm по-малка от основния ръб. Намерете обема на пирамидата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте подходящи формули.
- ABCDM – правилна четириъгълна пирамида ABCD – квадрат. Нека AB = BC = CD = AD = b.
- Избираме т. E среда на BC, тогава ME – височина в равнобедрения ΔBCM, т.е. ME е апотемата на пирамидата или ME = k = b – 1.
- Намираме височината h = MO на пирамидата:
- От Питагорова теорема за ΔECM
ME2 + CE2 = CM2 (b – 1)2 + 5b2 – 8b – 132 = 0, b1 = 6, b2 = – и не е решение, т.е. AB = b = 6 cm. - ME = k = b – 1 = 5 cm.
- т. E среда на BC BE = CE = 3 cm.
- OE – височина в правоъгълния ΔBCO OE2 = BE.CE = 3.3 = 9 OE = 3 cm.
- От Питагорова теорема за ΔECM
- Намираме обема на пирамидата:
- B = SABCD = b2 = 62 = 36 cm2.
- V = = 48 cm2.
- Зад. №3:
- Основата на триъгълна пирамида е равностранен триъгълник със страна 12 cm. Две от околните стени на пирамидата са перпендикулярни на основата ѝ, а третата околна стена сключва с основата на пирамидата ъгъл, равен на 60°. Намерете обема на пирамидата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Използвайте твърдение (15), за да определите височината на пирамидата.
- Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
- Обема на пирамидата намерете от формула (31).
- Зад. №4:
- Основата на пирамида е правоъгълен ΔABC с хипотенуза AC. Всички околни ръбове са равни на cm. Околната стена (BCM) сключва с основата на пирамидата ъгъл равен на 60°. Ако CAM = 30° да се намери:
а) основния ръб AB;
б) радиуса на описаната около основата на пирамидата окръжност;
в) обема на пирамидата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Използвайте твърдение (4), за да определите височината на пирамидата.
- Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
- За решаването на подточка б) използвайте Косинусова теорема за ΔACM.
- Зад. №5:
- Сфера е описана около триъгълна пирамида, на която всички околни ръбове l сключват с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете радиуса R на сферата, ако основните ръбове на пирамидата са 17 cm, 25 cm и 28 cm.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Използвайте твърдение (4.2), за да определите височината на пирамидата.
- Намерете радиуса на описаната около основата окръжност, като запишете лицето на основата по два начина.
- Използвайте подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите радиуса на описаната сфера.
- Зад. №6:
- Основата на триъгълна пирамида ABCD е равнобедрен ΔABC, за който AB = 8 и AC = BC = 4. Околният ръб CD е перпендикулярен на равнината на основата и CD = 6. Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Използвайте Синусова теорема, за да намерите радиуса на описаната около основата окръжност.
- Начертайте триъгълник, който да е вписан в голямата окръжност на сферата (използвайте примерен начин), за да намерите центъра на описаната сфера.
- Докажете, че този триъгълник е правоъгълен и намерете хипотенузата му.
- Намерете R.
- Зад. №7:
- Основата на четириъгълна пирамида ABCDS е квадрат ABCD със страна 3 cm. Околният ръб CS = 8 cm е перпендикулярен на равнината на основата на пирамидата. Да се намери радиуса на сфера описана около пирамидата BCDS.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Начертайте триъгълник, който да е вписан в голямата окръжност на сферата (използвайте примерен начин), за да намерите центъра на описаната сфера.
- От подходящ правоъгълен триъгълник намерете R.
- Нека с т. H отбележим центъра на описаната около пирамидата BCDS сфера. Намираме позицията на т. H:
- CO е височина и медиана в равнобедрения ΔBCD.
- Тогава ΔACS е вписан в голямата окръжност на сферата.
- По условие ΔACS – правоъгълен, т.е. пресечната точка на симетралите му е в средата на хипотенузата AS.
- Това означава, че т. Н лежи на AS и AH = SH = R.
- От правоъгълния ΔABC намираме:
AC2 = AB2 + BC2 = 18 + 18 = 36 AC = 6 cm. - От правоъгълния ΔACS намираме:
AS2 = AC2 + CS2 = 62 + 82 = 100 AS = 10 cm. - R = AS = .10 R = 5 cm.
Бележка:
Забележете, че около пирамидите BCDS и ABCDS е описана една и съща сфера, т.е т. Н е център на описаната сфера около пирамидата BCDS и около пирамидата ABCDS.
Намирането на позицията на т. Н може да стане и по следния начин:
- От твърдение (45) следва, че около основата ABCD може да се опише окръжност, като т. О е център на тази окръжност (т. О – пресечна точна на диагоналите на квадрата ABCD).
- Построяваме права, минаваща през т. О и перпендикулярна на равнината на основата. Тази права е симетралата sAC на диагонала АС.
- Построяваме симетралата sCS на околния ръб CS.
- ΔACS е правоъгълен и затова симетралите sAC и sCS се пресичат в средата на хипотенузата му AS, а това е т. Н.
- Така доказахме, че AH = SH = R.
- Зад. №8:
- В правилна четириъгълна пирамида с височина h = 9 cm е вписана сфера с радиус r = 4 cm. Намерете обема на пирамидата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Начертайте триъгълник, който да е описан около голямата окръжност на сферата, за да намерите центъра на вписаната сфера.
- Използвайте подходящи подобни триъгълници, за да намерите страната на основата.
- Използвайте формула (31), за да намерите обема.
- Нека точките E и F са средите на страните BC и AD на квадрата ABCD, а точките P и O са допирните точки на сферата до стените (BCM) и (ABCD).
- Тогава радиуса r на вписаната в пирамидата сфера е равен на радиуса r на вписаната в ΔFEM окръжност.
- Намираме основния ръб AB = b:
- HO = PH = r = 4, тогава MH = h – r = 9 – 4 = 5.
- От Питагорова теорема за ΔHPM
MP2 = MH2 – PH2 = 52 – 42 = 9 MP = 3. - FE || AB и т. O е пресечната точна на диагоналите на квадрата ACBD OE = OF = b, но EP и EO са допирателни на окръжността OE = PE = b.
- ΔOEM ~ ΔPHM по І признак, защото: 1) EOM = HPM = 90°; 2) M – общ b = AB = 24.
- Намираме обема на пирамидата:
- B = SABCD = b2 = 242 = 576.
- V = = 1728 cm3.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Реклама
Реклама