Самоподготовка по Математика
за кандидат-студенти и матура
Стереометрия
- Зад. №1:
- Сфера е вписана в цилиндър. Докажете, че лицето на околната повърхнина на цилиндъра е равно на лицето на сферата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте твърдения (15) и (16), и формула (13).
- По условие сферата е вписана в цилиндър, тогава от Твърдения (15) и (16) следва, че осното сечение ABB1A1 е квадрат и в него може да се впише окръжност, като радиусът на тази окръжност е равен на радиуса на сферата.
- Точка H е пресечната точка на диагоналите на квадрата ABB1A1, т.е. т. H е центъра на вписаната сфера.
- Тогава сферата има радиус HP = HO = HO1 = rсфера, а AO = A1O1 = rцил. е радиус на цилиндъра.
- Нека Sцил. е лицето на околната повърхнина на цилиндъра, а Sсфера – лицето на сферата.
- Sцил. = 2πrцил.h = 2π.AO.OO1 = 2π.PH.2OH = 4π.rсфера = 4πrсфера2 = Sсфера.
- Зад. №2:
- В правилна четириъгълна призма може да се впише кълбо с обем 36π cm3. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Докажете, че призмата е куб.
- Използвайте формула (5), за да намерите радиуса на кълбото.
- Намерете лицето на повърхнината на призмата.
- Кълбо е вписано в правилна четириъгълна призма, когато в основата на призмата може да се впише окръжност, като височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност (Твърдение 19), т.е. призмата е куб с ръб a = h = 2r.
- Центърът H на кълбото лежи в квадрата PQST, получен от равнина, перпендикулярна на основата и минаваща през допирните точни O и O1 на кълбото до основите на призмата.
- Намираме радиуса на кълбото:
V = πr3 36π = πr3 r3 = 27 r = 3 cm. - Намираме височината на призмата:
h = a = 2r = 2.3 = 6 cm. - Намираме лицето на повърхнината на призмата:
S1 = 6a2 = 6.62 = 216 cm2.
- Зад. №3:
- Намерете обема на кълбо, в което е вписана правилна триъгълна пирамида с основен ръб 9 cm и околен ръб l, равен на радиуса R на кълбото.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
- Ако с Н отбележим центъра на кълбото, то намерете позицията на този център.
- От подходящ равностранен триъгълник намерете R на кълбото.
- Използвайте формула (5), за да намерите обема на кълбото.
- Кълбото е описано около пирамидата, т.е. центърът му H лежи на височината MO на пирамидата (Твърдение 47).
- По условие ΔHCM е равностранен (защото CM = l = R и HC = HM = R) и ΔABC също е равностранен (защото имаме правилна триъгълна пирамида), т.е. т. H е извън пирамидата.
- Нека CD е височина в равностранния ΔABC CD = AB = .9 = cm.
- т. O е медицентър в равностранния ΔABC CO = cm.
- CO е проекцията на височината MO на пирамидата върху основата, т .е. CO MH (Теорема за трите перпендикуляра) или CO е височина в равностранния ΔHCM. Тогава
CO = HM 3 = .R R = 6 cm. - Vсфера = πR3 = π.63 = 288π cm3.
Върни се нагоре Начало Предходен
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Реклама