Решение:

• Намираме ДМ:
  x – 2 > 0 x > 2.
• Логаритмичното уравнение е в основен вид и затова използваме формула (16):
  log₂ (x – 2) = 7 x – 2 = 2⁷ x = 128 + 2 = 130.
• Верен отговор В).

Решение:

• Намираме ДМ:
  2x – 3 > 0 x > .
• Логаритмичното уравнение е в основен вид и затова използваме формула (16):
  = 5 x = 4 > 0.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x (3; +∞).
• С помощта на формула (13) привеждаме логаритмичното уравнение в основен вид и след това използваме формула (16):
  log₇ (x + 3) + log₇ (x – 3) = 1 log₇ (x + 3)(x – 3) = 1 (x + 3)(x – 3) = 7¹ x² – 16 = 0
  x₁ = –4 ∉ ДМ, x₂ = 4 ДМ.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме ДМ:
  .
• С помощта на формула (13) привеждаме логаритмичното уравнение в основен вид и след това използваме формула (16):
  log₂ (x + 1) + log₂ (3x – 1) = 2 log₂ (x + 1)(3x – 1) = 2 (x + 1)(3x – 1) = 2² x² + 2x – 5 = 0, т.е.
  x₁ = – ДМ, x₂ = 1 ДМ.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Намираме ДМ:
  .
• Привеждаме под общ знаменател и след това прилагаме формули (6) и (17):
  = 2 lg 3x = 2lg (15 – 6x) = lg (15 – 6x)² 3x = (15 – 6x)² 36x² – 183x + 225 = 0 x₁ = 3 ∉ ДМ, x₂ = ДМ.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме ДМ: x > 0.
• Привеждаме под общ знаменател и след това прилагаме формули (6), (13) и (16):
  = 3 lg x = 3 – 3lg 2 = 3 – lg 2³ = 3 – lg 8 lg x + lg 8 = 3 lg (8.x) = 3 8x = 10³
  x = = 125.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x – 5 > 0 x > 5.
• Основата на даденото неравенство е 2 > 0, т.е. след като приложим формула (18) знакът на неравенството се запазва:
  log₂ (x – 5) > 0 x – 5 > 2⁰ x – 5 > 1 x > 6.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x² – 5x + 6 > 0, x₁ = 2, x₂ = 3 x (–∞; 2) (3; +∞).
• Основата на даденото неравенство е 0,5 (0; 1), т.е. след като приложим формула (18) знакът на неравенството се променя:
  log_0,5 (x² – 5x + 6) > –1 x² – 5x + 6 < 0,5^–1 x² – 5x + 6 < 2 x² – 5x + 4 < 0, x₁ = 1, x₂ = 4
  x (1; 4).
• Засичаме с ДМ x (1; 2) (3; 4).
• В тези интервали няма цели положителни числа.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Намираме ДМ:
  > 0 x (–∞; –2) .
• Основата на даденото неравенство е (0; 1), т.е. след като приложим правило (18) знакът на неравенството се променя:
• Това е решението и след засичането с ДМ.
• Верен отговор А).

Решение:

• Намираме ДМ:
  .
• Основата на даденото неравенство е 2 > 1, т.е. след като приложим формула (19) знакът на неравенството не се променя:
  log₂ > log₂ x > x.
• Това неравенство е ирационално от вида (9). Като отчетем ДМ разписваме само втората система от (9), т.е. направо повдигаме на квадрат двете страни на неравенството:
  5x – 4 > x² x² – 5x + 4 < 0, x₁ = 1, x₂ = 4 x (1; 4).
• Това е решението и след засичането с ДМ.
• Верен отговор В).

Решение:

• Даденото уравнение го решаваме като логаритмично от вида (16):
  log₃ (3^x – 8) = 2 – x 3^x – 8 = 3^{2 – x}.
• Преобразуваме това показателно уравнение:
  3^x – 8 = 3^{2 – x} 3^x – 8 = 3^x – 8 = .
• Полагаме 3^x = y > 0:
  y – 8 = y² – 8y – 9 = 0, y₁ = –1 ДМ_y, y₂ = 9.
• От полагането получаваме:
  3^x = 9 3^x = 3² x = 2.
• Верен отговор Д).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x (0; 1) (1; +∞).
• Прилагаме формула (15) и след това решаваме полученото логаритмично уравнение:
  log₅ (4x + 5).log_x 5 = 2 log_x (4x + 5) = 2 4x + 5 = x² x² – 4x – 5 = 0, x₁ = – 1 ∉ ДМ, x₂ = 5.
• Уравнението има само едно решение, т.е. търсеният сбор е равен на 5.
• Верен отговор Б).

Решение:

Решение:

Решение:

• Намираме ДМ:
  > 0 x (–∞; –1) (0; +∞).
• Неравенството е от вида (18). Основата му е 9 > 0 и получаваме:
• Този интервал принадлежи на ДМ.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Намираме ДМ:
  x (–5; –2) (–2; +∞).
• Неравенството е от вида (19). Основата му е 4 > 0 и получаваме:
  log₄ (x + 2)² ≤ log₄ (4x + 20) (x + 2)² ≤ 4x + 20 x² – 16 ≤ 0 (x – 4)(x + 4) ≤ 0 x [–4; 4].
• Засичаме с ДМ и получаваме крайните решения x [–4; –2) (–2; 4].
• Верен отговор А).

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

• Намираме ДМ:
  1. > 0 2^x – 4^x < 2^x – 4^x < 1 2^2x – 2^x + 1 > 0 .
     • Полагаме 2^x = t > 0 t² – t + 1 > 0, D = 1² – 4 = –3 < 0 t ≠ 0.
     • От полагането получаваме 2^x > 0 x.
  2. 2^x – 4^x > 0 2^2x < 2^x 2x < x x < 0.
• От (1) и (2) следва, че ДМ е x < 0.
• Основата на най-външният логаритъм е 2 > 1 и затова получаваме: ≤ 2.
• Основата на този логаритъм е 0 < < 1 и затова получаваме:
  2^x – 4^x ≥ 4.2^x – 4.4^x ≥ 1 4.2^2x – 4.2^x + 1 ≤ 0 (2.2^x – 1)² ≤ 0 2.2^x – 1 = 0 2^x = x = –1.
• Засичаме с ДМ и получаваме, че крайните решения са x = –1.
• Верен отговор В).