Тест за 10 клас по математика (НВО), 2025 г

Тест от Национално външно оценяване (НВО)
по МАТЕМАТИКА
за 10 клас

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2025 година

Отговорите на задачите от 1. до 15. включително отбележете в листа за отговори!

Критерии за оценяване

Стойността на израза е:
- А)
- Б)2
- В) + 1
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Премахнете корена от знаменателя на дробта и извършете действията.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Премахваме корена от знаменател на дробта (използваме формула 13) и извършваме действията:
- Верен отговор Б).

Сборът от корените на уравнението 4x² – 7x – 4 = 0 е:
- А)–
- Б)– 1
- В)1
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите (теоремата) на Виет:
  x₁ + x₂ = – .
- Верен отговор Г).

Най-малкият корен на уравнението (x² – 9)( – 2) = 0 е:
- А)– 3
- Б)2
- В)3
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете уравнение от вид (11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество (ДМ) на квадратен корен:
  ДМ: x ≥ 0.
- Уравнението е от вид (11) и затова се разпада на две уравнения:
  - x² – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x₁ = – 3 ∉ ДМ, x₂ = 3 ДМ.
  - – 2 = 0 = 2 ↑² |x| = 4 x₃ = – 4 ∉ ДМ, x₄ = 4 ДМ.
- Решенията на даденото уравнение са x₂ = 3 и x₄ = 4, но x₂ < x₄, т.е. x = 3 е търсеното число.
- Верен отговор В).

При посещение на кинопрожекция група от 17 посетители е заплатила общо 308 лв. Цената за билета за едно дете е 14 лв., а за един възрастен е 24 лв. Ако броят на децата е x, а y е броят на възрастните, то коя от системите отразява зависимостта, чрез която може да се намери броят на децата в групата?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте даденото, че всички посетители са 17 (х деца и y възрастни) и така съставяте първото уравнение на системата.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Едното уравнение се съставя от условието, че всички посетители са 17 (х деца и y възрастни), т.е. уравнението е x + y = 17.
- Съставяме второто уравнение:
  - Цената заплатена от децата е 14x, защото цената за едно дете е 14 лв., а децата са x.
  - Цената заплатена от възрастните е 24y, защото цената за един възрастен е 24 лв., а броят на възрастните е y.
  - Общата заплатена цена е 308 лв.
  - Тогава второто уравнение е 14x + 24y = 308.
- Верен отговор А).

Графиките на коя от линейните функции е представена на чертежа?Графиката показва движението на автомобил с постоянна скорост за определено време, където S е изминатият път в километри, а t е времето в часове. Графиката на коя от дадените функции е представена на чертежа?
- А)y = x
- Б)y = 2x
- В)y = 4x
- Г)y = x
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте графика на линейна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От графиката се вижда, че линейната функция трябва да бъде права пропорционалност, защото графиката ѝ е права линия, минаваща през центъра на координатната система.
- От графиката избираме точка, която има абсциса x = 1 и определяме, че ординатата ѝ е y = 2.
- Непосредствено проверяваме, че точка с координати (1; 2) лежи на графиката на функцията y = 2x.
- Верен отговор Б).

Клиент изтегля кредит от 1000 лв. за срок от две години при 5% годишна лихва. Сумата, която трябва да върне в края на втората година, е:
- А)1010,25 лв.
- Б)1050 лв.
- В)1100 лв.
- Г)1102,50 лв.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От видове лихви използвайте формулата за сложна лихва (формула 19).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме сложна лихва, при която:
  - K₀ = 1000 лв. – начален капитал.
  - n = 2 – лихвен период.
  - p = 5% = 0,05 – лихвен процент.
  - K_n – сумата, която се търси.
- От видове лихва използваме формула за сложна лихва (формула 19):
  - q = 1 + 0,05 = 1,05.
  - K_n = K₀.q² = 1000.1,05² = 1102,50.
- Верен отговор Г).

Пръскачка полива с вода тревната площ в градината. Струята вода описва част от параболата с уравнение g (x) = , x > 0, както е показано на чертежа. Кое е най-голямото разстояние OA, до което стига струята вода?
- А)9 m
- Б)6 m
- В)3 m
- Г)2 m
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Дължината на търсената отсечка е равна на x₂ – x₁, където x₁ и x₂ са решенията на квадратното уравнение g (x) = 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Функцията g (x) е квадратна.
- Параболата ѝ пресича оста x в т. О и т. А.
- Тези точки отговарят на корените на уравнението g (x) = 0.
- Намираме отговора:
  - Решаваме квадратното уравнение:
    g (x) = 0 = 0 x² – 6x = 0 x(x – 6) x₁ = 0, x₂ = 6.
  - Намираме дължината на търсената отсечка:
    OA = x₂ – x₁ = 6 – 0 = 6.
- Верен отговор Б).

Първият ден тренировката на спортист е с продължителност 30 минути. Всеки следващ ден продължителността ѝ се увеличава с 5 минути повече от предходния ден. Колко дни е тренирал спортистът, ако последния ден тренировката му е с продължителност 1 час?
- А)5
- Б)6
- В)7
- Г)12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи теореми на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме аритметична прогресия, защото членовете ѝ се различават с едно и също число, за която:
  - a₁ = 30 min – първи член на прогресията.
  - d = 5 min – разлика на прогресията.
  - a_n = 1 h = 60 min – последен член.
  - n – брой на членовете (търсеното число).
- Използваме теорема за общ член на аритметична прогресия:
  a_n = a₁ + (n – 1)d 60 = 30 + (n – 1).5 5n = 35 n = 7.
- Верен отговор В).

В обедно меню на един ресторант са включени 5 предястия, 8 основни ястия и 4 десерта. Колко са всички възможности да се поръча обяд, включващ по едно предястие, едно ястие и един десерт?
- А)5!.8!.4!
- Б)5! + 8! + 4!
- В)5.8.4
- Г)5 + 8 + 4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за умножение за поръчка на 1 ястие от всички видове.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Ще използваме правилото за умножение, защото различните елементи на обяда са свързани със съюза „и“, защото обядът се състои от 1 предястие и 1 ястие и 1 десерт:
  - Намираме по колко начина се избира 1 предястие – Общо всички предястия са 5 и се избира само 1, т.е. 1 предястие се избира по 5 начина.
  - Намираме по колко начина се избира 1 основно ястие – Общо всички основни ястия са 8 и се избира само 1, т.е. 1 основно ястие се избира по 8 начина.
  - Намираме по колко начина се избира 1 десерт – Общо всички десерти са 4 и се избира само 1, т.е. 1 десерт се избира по 4 начина.
  - Използваме правилото за умножение на тези числа:
    5.8.4.
- Верен отговор В).

Диаграмата представя броя на служителите в една фирма според тяхната длъжност. Ако заплащането за час на младши експерт е 7 лв., на експерт е 10,50 лв., на старши експерт е 12 лв., за главен експерт е 16 лв. и управител е 30 лв., то средното възнаграждение на служител от фирмата за час е:
- А)10,50 лв.
- Б)12 лв.
- В)13 лв.
- Г)13,50 лв.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за средна стойност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От диаграмата определяме броя на служителите:
  - младши експерт – 2 човека.
  - експерт – 4 човека.
  - старши експерт – 1 човек.
  - главен експерт – 2 човека.
  - управител – 1 човек.
- Общият брой служители е 10.
- Намираме средната заплата, като използваме формула за средна стойност (формула 9):
  Ср. заплата = = 13.
- Верен отговор В).

Чертежите и изображенията са само за илюстрация. Те не са начертани в мащаб и не са предназначени за директно измерване на дължини и на ъгли.

Височината AH (H BC) в остроъгълния ΔABC има дължина 20 cm. Ако AB = 40 CM, то sin ABC е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща тригонометрична функция в правоъгълен триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме тригонометрична функция синус за правоъгълния ΔABH (H = 90°):
  sin .
- Верен отговор Г).

Лицето на триъгълник с дължини на страните 8 cm, 10 cm и 12 cm е:
- А)30 cm²
- Б)15 cm²
- В)40 cm²
- Г)16 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за лице на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека страните на триъгълника са: AB = c = 12 cm, BC = a = 8 cm, AC = b = 10 cm.
- За лицето на триъгълник използваме Хероновата формула:
  - Изчисляваме полупериметъра:
    p = = 15 cm.
  - За лицето на триъгълника ABC използваме Хероновата формула (формула 45):
- Верен отговор Б).

На чертежа е представена бариера на жп прелез, като късото рамо е с дължина 1 m, а дългото – с дължина 3 m. Ако при вдигането на бариерата краят на дългото рамо се издига на разстояние 1,8 m от хоризонталното положение на бариерата, то разстоянието h, на което се спуска късото рамо, е:
- А)0,6 m
- Б)0,5 m
- В)0,4 m
- Г)0,3 m
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: За двойка подобни триъгълници използвайте подходящо свойство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- На чертежа имаме двойка подобни правоъгълни триъгълника, защото имат един ъгъл от 90° и успоредни прави (височината h и разстоянието 1,8 m).
- Използваме свойство на подобни триъгълници (формула 8):
  h = 0,6 m.
- Верен отговор А).

Три хотела А, В и С са разположени на бреговете на езеро, както е показано на чертежа. Разстоянието между хотелите А и В по права линия е 7 km, а между А и С е 5 km. За да се построи пряк път между хотелите В и С, е необходимо да се намери разстоянието между тях по права линия. Колко километра е това разстояние?
- А)3 km
- Б)2 km
- В)2 km
- Г)8 km
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме косинусова теорема и решаваме полученото квадратно уравнение:
  AB² = BC² + AC² – 2BC.AC.cos 120° 7² = BC² + 5² – 2.BC.5. BC² + 5BC – 24 = 0 BC₁ = 3, BC₂ < 0.
- Остава само отговор BC = 3 m.
- Верен отговор А).

Обемът на правилна четириъгълна призма ABCDA₁B₁C₁D₁ с основен ръб AB = 4 cm и диагонал AC₁ = 8 cm е:
- А)64 cm³
- Б)128 cm³
- В)64 cm³
- Г)128 cm³
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете диагонала на основата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на призмата.
3. Използвайте формула за обем на призма.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCDA₁B₁C₁D₁ – правилна четириъгълна призма, т.е. основата ѝ е квадрата ABCD. Построяваме AC – диагонал на този квадрат.
- Прилагаме теоремата на Питагор за ΔABC (ABC = 90°):
  AC² = AB² + BC² = 4² + 4² = 32 AC = cm.
- Прилагаме теоремата на Питагор за ΔACC₁ (ACC₁ = 90°):
  AC² + CC₁² = AC₁² + CC₁² = 8² CC₁² = 32 CC₁ = cm.
- Намираме обема на призмата, като използваме формула за обем на правоъгълен паралелепипед (формула 14):
  V = AB.BC.CC₁ = 4.4.4 = 64 cm³.
- Верен отговор В).

Правилна четириъгълна пирамида ABCDM има основен ръб с дължина 3 cm и околен ръб с дължина 5 cm. Обемът на пирамидата е:
- А)24 cm³
- Б)30 cm³
- В)36 cm³
- Г)72 cm³
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула за лице на квадрат, за да намерите лицето на основата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете диагонал на основата.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на пирамидата.
4. Използвайте формула за обем на пирамида, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От видове пирамиди следва, че щом ABCDM е правилна четириъгълна пирамида, то основата ѝ ABCD е квадрат.
- За ΔABC (ABC = 90°) прилагаме Питагорова теорема:
  AC² = AB² + BC² = = 36 AC = 6.
- AC – диагонал на квадрат, т.е.:
  CO = AO = .6 = 3.
- За ΔCOM (O = 90°) прилагаме Питагорова теорема:
  CO² + MO² = CM² 3² + MO² = 5² MO² = 16 MO = 4.
- Намираме лицето на квадрата ABCD:
  B = AB² = = 18.
- Намираме обема на пирамидата:
  V = = 24 cm³.
- Верен отговор А).

Условията на задачи 17, 18 и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2024 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура