Технически университет - тест по математика, 2014 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юли 2014 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Изразът е равен на:
- А)8 +
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: За числото с отрицателната степен приложете формула (7) и извършете преобразуванията.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разкриваме скобата и извършваме преобразуванията:
- Верен отговор В).

Квадратното уравнение, чиито корени са с различни знаци е:
- А)x² + 2x + 3 = 0
- Б)x² – 2x + 3 = 0
- В)x² + 4x – 3 = 0
- Г)x² – 4x + 3 = 0
- Д)4x² + 12x + 9 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте условие (10), за да определите знаците на корените на квадратно уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Проверяваме за кое квадратно уравнение е изпълнена условие (10):
  А) x₁ . x₂ = = 3 > 0, т.е. корените на това квадратно уравнение не са с различни знаци.
  
  Б) x₁ . x₂ = = 3 > 0, т.е. корените на това квадратно уравнение не са с различни знаци.
  
  В) x₁ . x₂ = = – 3 < 0, т.е. корените на това квадратно уравнение са с различни знаци.
- Верен отговор В).

Положителното число a, за което a² – 65 = 0 принадлежи на интервала:
- А)[5; 5,5]
- Б)[6; 6,5]
- В)[7; 7,5]
- Г)[8; 8,3]
- Д)[8,5; 9]
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете непълното квадратно уравнение.
2. Преценете полученото ирационално число на кой от дадените интервали принадлежи.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Ако f(x) = log₂ x, то изразът f (1) + 3.f (4) e равен на:
- А)5
- Б)6
- В)7
- Г)8
- Д)9
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете стойността на дадената функция при x = 1 и x = 4.
2. Намерете логаритъм от получените числа и заместете в дадения израз.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме стойността на функцията при x = 1 и x = 4:
  - f (1) = log₂ 1 = 0.
  - f (4) = log₂ 4 = log₂ 2² = 2.
- Заместваме в дадения израз:
  f (1) + 3.f (4) = 0 + 3.2 = 6.
- Верен отговор Б).

Ако (x; y) е решение на системата то изразът (x – y)² е равен на:
- А)–1
- Б)13
- В)15
- Г)16
- Д)32
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Допълнете първото уравнение до точен квадрат и решете системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- В първото уравнение прибавяме и изваждаме 2xy и решаваме системата чрез заместване:
- Верен отговор Д).

Изразът 2.log₇ 49 – 3.log₁₆ 64 + е равен на:
- А)
- Б)
- В)4
- Г)7
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули за пресмятане на логаритмите и корена.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме логаритмите:
- Верен отговор А).

Ако x₁ и x₂ са корените на квадратното уравнение 2x² – 10x – 5 = 0, то стойността на израза е равна на:
- А)–5
- Б)–2
- В)1
- Г)2
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет имаме:
  x₁.x₂ = ; x₁ + x₂ = .
- Намираме израза:
- Верен отговор Б).

Ако sin α + cos α = , то изразът 12sin е равен на:
- А)
- Б)3
- В)4
- Г)4
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте тригонометрична формула (8. 12).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме тригонометрична формула (8. 12):
  sin α + cos α =
- Намираме търсения израз:
  12sin = 12. = .
- Верен отговор А)

Ако cos (7π – α) = и π < α < , то:
- А)α =
- Б)α =
- В)α =
- Г)α =
- Д)α =
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете основното тригонометрично уравнение cos x = a при k = 0.
2. Оставате само тези решения, които принадлежат на III квадрант.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Най-малкото цяло положително число m, за което извадката 7,2,1,2,4,10,m,5,3,4 има единствена мода, е равно на:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за мода.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Модата е числото, което се повтаря.
- Ако имаме повече от едно повтарящи се числа с еднаква честота, то извадката ще има повече от една мода.
- По условие се иска извадката да има единствена мода. Това може да се случи само при m = 2. При всички други дадени числа модата е повече от една.
- Верен отговор Б).

Ако за аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₃ + a₁₄ = 90, то сборът на a₇ и a₁₀ е равен на:
- А)50
- Б)60
- В)70
- Г)80
- Д)90
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойството за равната отдалеченост на членове на аритметична прогресия (Свойство 2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Трябва да отбележим, че за индексите на даденият и търсеният сбор имаме 3 + 14 = 7 + 10.
- Това означава, че може да приложим Свойство 2 (свойството за равната отдалеченост), т.е.:
  a₇ + a₁₀ = a₃ + a₁₄ = 90.
- Верен отговор Д).

Ако за геометрична прогресия с общ член a_n е известно, че a₁ + a₃ = 19 и a₂ + a₄ = 57, то частното на прогресията е равно на:
- А)
- Б)
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Въведете неизвестните първи член a₁ и частното q на геометричната прогресия.
2. Съставете система от дадените две уравнения и я решете чрез делене.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме теорема за общия член на геометрична прогресия (Теорема 1):
  a₂ = a₁.q, a₃ = a₁.q², a₄ = a₁.q³.
- Решаваме системата:
- Верен отговор Г).

Стойността на параметъра a, за която функцията f (x) = (a³ – 8)x² + (a + 2) sin x + ax е нечетна, е равна на:
- А)–2
- Б)0
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за нечетна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме f (–x):
  f (–x) = (a³ – 8)(–x)² + (a + 2) sin (–x) + a(–x) = (a³ – 8)x² – (a + 2) sin x – ax.
- Една функция е нечетна, ако е изпълнено равенството:
  f (–x) = –f (x) (a³ – 8)x² – (a + 2) sin x – ax = –[(a³ – 8)x² + (a + 2) sin x + ax] a³ = 8 a = 3.
- Верен отговор Г).

Множеството от стойностите на функцията f (x) = е:
- А)(–∞; –3]
- Б)[–3; –2]
- В)[–2; –1]
- Г)[1; +∞)
- Д)[–1; 1]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за ФМ (функционално множество или стойности на функцията) и Правилото за намирана на НМС (най-малка стойност) и НГС (най-голяма стойност).

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Най-голямата стойност на функцията f (x) = (x – 2)(x + 4) в затворения интервал [–3; 3] е равна на:
- А)–9
- Б)0
- В)3
- Г)7
- Д)8
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте функцията до квадратна и използвайте Свойство 3 на тази функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме дадената функция:
  f (x) = (x – 2)(x + 4) = x² + 4x – 2x – 8 = x² + 2x – 8.
- Изследваме квадратната функция за НГС като използваме Свойство 3 на тази функция:
  - Графиката на f (x) е парабола с връх надолу.
  - Намираме х-тата координата на този връх:
  - x_V [–3; 3], което означава, че f (x) намалява в интервала [–3; –1] и расте в интервала [–1; 3], т.е. НГС на функцията е по-голямото от числата f (–3) и f (3):
    f (–3) = (–3)² + 2.(–3) – 8 = –5.
    
    f (3) = 3² + 2.3 – 8 = 7.
    
    f (–3) < f (3), т.е. НГС на функцията f (x) е при x = 3 и тя е равна на 7.
- Верен отговор Г).

В правоъгълен триъгълник ABC с катет AC = 6 cm тангенсът на ABC е равен на . Радиусът на вписаната в триъгълника окръжност е:
- А)1 cm
- Б)2 cm
- В) cm
- Г)3 cm
- Д)4 cn
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте тригонометрична функция тангенс, за да намерите катета ВС.
2. От Питагорова теорема намерете хипотенузата АВ.
3. Използвайте формула (9), за да намерите радиуса r.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека ABC = β. Използваме тригонометрична функция тангенс:
  tg β = BC = 8 cm.
- Използваме Питагорова теорема:
  AB² = AC² + BC² = 6² + 8² = 100 AB = 10 cm.
- Намираме радиуса на вписаната в ΔABC окръжност:
  r = = 2 cm.
- Верен отговор Б).

Страната на ромб е равна на негов диагонал. Острият ъгъл на ромба е равен на:
- А)10°
- Б)15°
- В)30°
- Г)45°
- Д)60°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство на равностранен триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека BAD – остър и BD – диагонал, но по условие BD = AD = AB, т.е. ΔABD – равностранен или BAD = 60°.
- Верен отговор Д).

Равнобедрен трапец с остър ъгъл 30° и лице 162 cm² е описан около окръжност. Бедрото на трапеца има дължина:
- А)18 cm
- Б)16 cm
- В)15 cm
- Г)10 cm
- Д)9 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте свойство на трапец описан около окръжност, за да намерите бедрото на трапеца.
2. Използвайте формулата за лице на трапец.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме DH – височина в трапеца ABCD.
- В ΔAHD имаме: H = 90°, A = 30°, AD = c DH = .
- ABCD – описан трапец 2c = a + b.
- Намираме бедрото AD = c, като използваме формулата за лице на трапец:
  c² = 324 c = 18 cm.
- Верен отговор А).

Ако телесният диагонал на куб има дължина 4 cm, то ръбът на куба има дължина:
- А)1 cm
- Б)2 cm
- В)3 cm
- Г)4 cm
- Д)5 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете диагонала на основата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете околния ръб на куба.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABD:
  BD² = AB² + AD² = a² + a² BD² = 2a².
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔDBD₁:
  BD₁² = BD² + DD₁² = 2a² + a² a² = 16 a = 4 cm.
- Верен отговор Г).

Радиусът на основата на прав кръгов цилиндър е 2 cm, а диагоналът на осното му сечение е 5 cm. Височината на цилиндъра е равна на:
- А)3 cm
- Б)4 cm
- В)5 cm
- Г)2 cm
- Д)6 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете диагонала на основата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на цилиндъра.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Осното сечение е ABB₁A₁ – правоъгълник с диагонал AB₁, а търсената височина е BB₁ = h.
- AB – диаметър на основата AB = 2r = 2.2 = 4 cm.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABB₁:
  AB₁² = AB² + BB₁² 5² = 4² + h² h² = 9 h = 3 cm.
- Верен отговор А).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2013 г. 2015 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура